Caracterul unei reprezentări a unui grup finit

În matematică caracterul unei reprezentări a unui grup finit este un instrument folosit pentru a analiza reprezentările unui grup finit .

Caracterul unei reprezentări ( V , ρ) a unui grup G corespunde aplicării lui G în corpul spațiului reprezentării care unui element s asociază urmele imaginii lui s cu ρ.

Această definiție nu este compatibilă cu cea a caracterelor unui grup în general, care își ia valorile numai în setul de complexe diferite de zero.

Utilizarea caracterului unei reprezentări a unui grup finit este esențială pentru clasificarea reprezentărilor. O sumă directă de reprezentări are suma personajelor ca un personaj, și două non - echivalente ireductibili reprezentări au caractere ortogonale.

Definiții

Caracter chi ρ reprezentare ( V , ρ) a unui grup finit G este aplicarea G în corpul K al reprezentării, care în s asociază pista lui ρ s : ${\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ chi _ {\ rho} (s) = \ mathrm {Tr} (\ rho _ {s}).}$

Un caz important este atunci când K este câmpul numerelor complexe.

Un exemplu simplu este acela al reprezentărilor de gradul 1. Este posibil să se identifice V cu K . Personajul apare ca un morfism al grupurilor . În Lagrange teorema arată că setul de imagini este inclus într - una din rădăcini | G | -ths de unitate .

Un personaj ireductibil este caracterul unei reprezentări ireductibile .

Context

Istorie

Lucrarea lui Jordan cu publicarea unei cărți despre ecuații algebrice reprezintă o primă analiză a unui grup finit de matrice reprezentând un grup Galois . Frobenius începe în 1896 studiul teoriei caracterelor grupurilor finite, personajele nu sunt încă legate de noțiunea de reprezentare. În același an, el a comunicat, într-o scrisoare către Dedekind, personajele reprezentărilor ireductibile ale grupurilor simetrice S 4 și S 5 .

Teoria este dezvoltată rapid; între 1897 și 1899, mașinile au fost puse în funcțiune. Frobenius dezvoltă produsul tensorial, reprezentările induse, precum și teorema sa de reciprocitate. În 1900 a determinat caracteristicile grupurilor simetrice și anul următor cele ale grupurilor alternante . În acest timp, Heinrich Maschke demonstrează teorema care îi poartă acum numele, care afirmă că orice reprezentare a unui grup finit este o sumă directă de reprezentări ireductibile.

William Burnside a înțeles rapid profunzimea operei lui Frobenius. El folosește teoria caracterelor pentru a arăta că un grup de ordine p n .q m dacă p și q sunt prime este un grup rezolvabil . În 1911 a publicat a doua ediție a unei cărți de referință. Formalizează într-o teorie cunoașterea timpului pe grupuri finite, ediția conține lucrarea despre personajele lui Frobenius.

Un alt actor important al teoriei, Issai Schur , este un elev al lui Frobenius. Nu numai că a lucrat la aspectele teoretice și și-a demonstrat lema , dar, mai mult, în anul 1925 , a aplicat teoria la fizica cuantică .

Teoria face obiectul unei dezvoltări ample în secolul XX E. Putem cita opera lui Emil Artin cu noțiunea de caracter virtual , cele ale lui Richard Brauer cu teorema sa asupra combinațiilor liniare cu coeficienți întregi sau chiar mai recent John Griggs Thompson , care în 1970 a primit o medalie Fields pentru că a demonstrat o veche supoziție Burnside că orice grup finit de ordin impar este rezolvabil .

Motivație

Teorema lui MASCHKE arată că , dacă caracteristica a corpului de bază nu divide ordinul grupului G studiat atunci orice reprezentare este o sumă directă de reprezentări ireductibile.

Apoi, teoria se concentrează pe două puncte cheie: cum să cunoaștem reprezentările ireductibile și cum, pentru o reprezentare dată, să îi cunoaștem factorii ireductibili. Teoria caracterelor răspunde parțial la aceste două întrebări.

Introducere prin exemplu

Se consideră polinomul P ( X ) = X 3 + X + 1, cu coeficienți în câmpul ℚ al numerelor raționale . Teoria arată că grupul său Galois este izomorf la grupul simetric S 3 , astfel încât dimensiunea spațiului vectorial ℚ- pe care operează în mod natural este egală cu 6. Grupul este reprezentat de șase matrice pătrate 6 × 6, ceea ce face ca problema un pic dificilă. Dar o altă teoremă asigură că această acțiune a grupului Galois este echivalentă cu reprezentarea regulată λ a lui S 3 , care, prin urmare, trebuie descompusă.

În primul rând, să căutăm toate reprezentările ireductibile. În ceea ce privește orice grup, reprezentarea unității este morfismul trivial t care oricărui element al grupului asociază identitatea lui ℚ. Pentru un grup simetric, o altă reprezentare a gradului 1 (deci și ireductibilă) este morfismul semnăturii σ, care cu orice permutare impară asociază –1. De asemenea, avem reprezentarea standard a lui S 3 , ilustrată în figura din stânga. Spațiul ℚ-vectorial este de dimensiunea 2. Când extindem la ℝ câmpul de bază și dotăm acest plan cu o structură euclidiană ad hoc , morfismul θ trimite fiecare element al grupului pe o izometrie : pentru că elementul neutru este identitate; pentru cele trei transpuneri, acestea sunt simetrii ortogonale, ale axelor reprezentate în roșu în figură; pentru cele două 3- cicluri , acestea sunt rotațiile unghiurilor 2π / 3 și –2π / 3. Caracterul asociat χ θ ia deci respectiv valorile 2, 0 și –1 pe aceste trei clase de conjugare 1 = {id}, T = { t 1 , t 2 , t 3 } și C = { c 1 , c 2 }. Ca orice caracter, este, prin urmare, într-adevăr o funcție centrală , adică constantă pe fiecare clasă de conjugare.

Aceste trei reprezentări ireductibile t , σ și θ ale lui S 3 sunt singurele, deoarece studiul funcțiilor centrale arată că numărul reprezentărilor ireductibile este egal cu numărul claselor de conjugare ale grupului.

În plus, există în spațiul funcțiilor centrale o formă canonică biliniară pentru care caracterele ireductibile formează o bază ortonormală . Acest rezultat se află în centrul teoriei caracterului. În cazul nostru, dacă φ și ψ sunt două funcții centrale, această formă biliniară este dată de:

{\ displaystyle \ langle \ varphi \ mid \ psi \ rangle = {\ frac {1} {6}} {\ Big (} \ varphi (1) {\ psi (1)} + 3 \ varphi (T) \ psi (T) +2 \ varphi (C) \ psi (C) {\ Big)}.}

Aceste proprietăți permit calcularea coeficienților (numere întregi naturale) $a$ , $b$ și $c$ a descompunerii reprezentării regulate:

{\ displaystyle \ lambda = at \ oplus b \ sigma \ oplus c \ theta.}

Notați cu χ t , χ σ , χ θ caracterele celor trei reprezentări ireductibile și χ λ cel al reprezentării regulate. Asa de,

{\ displaystyle \ chi _ {\ lambda} = a \ chi _ {t} + b \ chi _ {\ sigma} + c \ chi _ {\ theta}.}

Deoarece cele trei caractere χ t , χ σ , χ θ formează o familie ortonormală, cei trei coeficienți sunt:

{\ displaystyle a = \ langle \ chi _ {\ lambda} \ mid \ chi _ {t} \ rangle, ~ b = \ langle \ chi _ {\ lambda} \ mid \ chi _ {\ sigma} \ rangle {\ text {et}} c = \ langle \ chi _ {\ lambda} \ mid \ chi _ {\ theta} \ rangle.}

Acum, caracterul reprezentării regulate este anulat pe toate clasele de conjugări, cu excepția celei de identitate, iar pe această clasă valoarea unui caracter este egală cu gradul de reprezentare. Deducem cele trei valori: $a = 1, b = 1, c = 2$ .

Figura din dreapta ilustrează personajele grupului S 3 . Caracterele reprezentate de bile portocalii sunt cele trei ireductibile, bila albastră reprezintă caracterul reprezentării regulate λ. Este suma directă a celor trei reprezentări ireductibile cu coeficienții 1 pentru trivial, 1 pentru semnătură și 2 pentru cel al izometriilor triunghiului.

Primele proprietăți

Orice caracter χ al unei reprezentări ( V , ρ) îndeplinește:
- ${\ displaystyle \ chi (1) = \ dim (V).}$
- χ este o funcție centrală , adică sau din nou: ${\ displaystyle \ chi (sts ^ {- 1}) = \ chi (t)}$ ${\ displaystyle \ chi (uv) = \ chi (vu)}$
- Dacă două reprezentări sunt izomorfe, atunci ele au același caracter.

Prima proprietate apare deoarece ρ 1 (unde 1 este elementul de identitate al G ) este egală cu identitatea lui V . Celelalte două sunt o consecință directă a proprietăților urmelor: două matrice similare (adică care reprezintă același endomorfism în două baze diferite) au aceeași urmă. Sub anumite ipoteze, care sunt verificate atunci când K este câmpul complexelor, inversul celei de-a treia proprietăți este adevărat (cf. paragraful „Consecințe” ).

Fiecare χ ( s ) este întreg peste ℤ .

Într-adevăr, este urma unui endomorfism ρ s de ordine finită. Această urmă este, prin urmare, suma rădăcinilor unității, deci este un element întreg pe ℤ.

Dacă câmpul K este inclus în cel al complexelor și s un element al grupului, atunci imaginea lui s -1 de către caracter este conjugatul imaginii lui s .

Urma lui ρ s este suma rădăcinilor complexe ale unității, care sunt deci de modulul 1. În consecință, urma lui ρ ( s -1 ) = (ρ s ) -1 , suma inverselor acestor complexe, este egală la suma conjugatelor lor, ceea ce dovedește propoziția. (O altă dovadă, nespecifică grupurilor finite, folosește procesul de unitarizare .) Obținem următorul corolar:

Dacă câmpul K este inclus în cel al realilor și s un element al grupului, atunci imaginea lui s -1 de către caracter este aceeași cu cea a lui s .

Suma directă

Dacă caracteristica lui K nu împarte ordinea g a grupului (cu alte cuvinte: dacă g este inversabil în K ), teorema lui Maschke asigură că orice reprezentare a lui G este o sumă directă de reprezentări ireductibile. Acest lucru face posibilă exprimarea caracterului său ca o sumă de caractere ireductibile, datorită următoarei propoziții:

Caracterul sumei directe a două reprezentări ( V , ρ) și ( V ' , ρ') ale unui grup G este suma caracterelor celor două reprezentări.

Într-adevăr, dacă s este un element al lui G , R s și R s 'matricile lui ρ s și ρ' s în bazele B și B ' , atunci unirea celor două baze este o bază a lui V⊕V' . În această bază, matricea S s a ρ⊕ρ ' s ia forma:

{\ displaystyle S_ {s} = {\ begin {pmatrix} R_ {s} & 0 \\ 0 & R '_ {s} \ end {pmatrix}}}

Egalitatea pe personaje, văzută ca urme de matrice, este atunci evidentă.

Această propoziție este generalizată prin inducerea la cazul unei sume directe a unui număr finit de reprezentări.

Ortogonalitate

Funcția centrală

O funcție centrală este o aplicație constantă pe fiecare clasă de conjugare a grupului. Primele proprietăți ale personajelor arată că acestea sunt funcții centrale.

Arătăm apoi (cf. corolarul 4 al articolului „Lema lui Schur” ), sub ipoteza suplimentară că polinomul X g - 1 este împărțit peste K (sau chiar numai polinomul X e - 1, unde g denotă ordinea l ' de G și e desemnează exponentul său ), că

pentru forma bilineară simetrică nu degenerează pe K G definită de

{\ displaystyle (f_ {1} | f_ {2}) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f_ {1} (s) f_ {2} (s ^ {- 1}),}

caractere ireductibile formează o bază ortonormală valorii spațiului vectorial al funcțiilor centrale în K .

Rezultatul este:

numărul de reprezentări ireductibile ale $G$ la echivalență aproape egal cu numărul $h$ de clase de conjugare $G$ .
Prin urmare, grupul are pe K (până la echivalență) numai $h$ reprezentări ireductibile $ρ 1 , ..., ρ h$ , ale căror caractere $χ 1 , ..., χ h$ formează o bază ortonormală a spațiului funcțiilor centrale;
${\ displaystyle \ forall s, t \ in G \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s) \ chi _ {i} (t ^ {- 1}) = { \ begin {cases} \ left | C_ {G} (s) \ right | & {\ mbox {si}} s, t {\ mbox {sunt conjugate}} \\ 0 & {\ mbox {altfel,}} \ sfârșit {cazuri}}}$
unde $| C G ( s ) |$ desemnează ordinea centralizatorului din $s$ .

Variantă.

Când K este un subcâmp al lui ℂ , este obișnuit, în locul formei biliniare simetrice de mai sus, să se utilizeze pe K G un produs hermitian :

{\ displaystyle \ langle f_ {1} | f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f_ {1} (s) {\ overline {f_ {2 } (s)}}.}

Dacă f 2 este un caracter atunci ( f 1 | f 2 ) = ⟨ f 1 | f 2 ⟩, și caracterele ireductibile forma , de asemenea, produsul Hermitian, o bază ortonormală a spațiului funcțiilor centrale.

Consecințe

Faptul că caracterele ireductibile formează o bază ortonormală are consecințe teoretice imediate: fie ρ o reprezentare a cărei descompunere directă a sumelor ireductibile este:

{\ displaystyle \ rho \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} m_ {i} \ rho _ {i},}

unde notația m i ρ i înseamnă:

{\ displaystyle m_ {i} \ rho _ {i} = \ rho _ {i} \ oplus \ ldots \ oplus \ rho _ {i} \ quad (m_ {i} {\ text {times}}).}

Apoi descompunerea caracterului său χ în suma caracterelor ireductibile χ 1 , ..., χ h este:

{\ displaystyle \ chi = \ sum _ {i = 1} ^ {h} m_ {i} \ chi _ {i},}

și deducem egalitățile:

{\ displaystyle m_ {i} = (\ chi | \ chi _ {i}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum m_ {i} ^ {2} = (\ chi | \ chi).}

În special când caracteristica lui K este zero:

Multiplicitatea m i a reprezentării ireductibile ρ i în ρ este egală cu (χ | χ i ).
O reprezentare este în întregime determinată (cu excepția echivalenței) de caracterul său.
(χ | χ) este un număr întreg.
Acest număr întreg valorează 1 dacă și numai dacă ρ este ireductibil.
Orice funcție χ care este o combinație liniară cu coeficienți întregi (pozitivi sau negativi) de caractere și care satisface (χ | χ) = 1 și χ (1)> 0 este caracterul unei reprezentări ( ireductibile ).

Exemple

Grup alternativ de index 4

Caracterele ireductibile ale unui grup sunt uneori date sub forma unui tabel (în) . Deoarece un caracter este constant pe o clasă de conjugare, tabelul este dat pe clasele de conjugare. Cel al grupului alternativ A 4 este, de exemplu:

Pentru că. ir.	1	( ab ) ( cd )	( abc )	( acb )
t	1	1	1	1
σ 1	1	1	j	d 2
σ 2	1	1	d 2	j
φ	3	-1	0	0

Un element de tipul (ab) (cd) are inversul în aceeași clasă de conjugare, valoarea caracterului este întotdeauna reală pentru această clasă. Pe de altă parte, inversul lui (abc) este (acb) , cele două valori sunt întotdeauna conjugate.

Grupul cuaternar

Grupul de quaternions Q = {± 1, ± i, ± j, ± k} are 5 clase de conjugare: {1}, {-1}, {± i}, {± j}, {± k}, deci 5 personaje ireductibile. Cei de gradul 1 sunt elementele sale de grup dublu , natural izomorfe cu cea a lui abelianized Q / {± 1} ≃ V ( grupul lui Klein ). Prin urmare , acestea sunt cele 4 caractere t, χ i , χ j și χ k din tabelul de mai jos. Completăm această familie ortonormală prin funcția centrală unică a normei 1 care este ortogonală pentru ele și a cărei valoare pe 1 este pozitivă: (2, –2, 0, 0, 0). Este caracterul celei de-a cincea reprezentări complexe ireductibile, ρ, care este în consecință de gradul 2 (poate fi explicitat ca exemplu de reprezentare indusă de reprezentarea naturală a subgrupului {± 1, ± i}).

Pentru că. ir.	1	–1	± i	± j	± k
t	1	1	1	1	1
χ i	1	1	1	–1	–1
χ j	1	1	–1	1	–1
χ k	1	1	–1	–1	1
χ ρ	2	–2	0	0	0

Tabelul de caractere al celuilalt grup nu este abelian de ordinul 8 , grupul diedru D 8 este identic, dar - spre deosebire de ρ - reprezentarea ireductibilă a gradului 2 D 8 este reală (în) .

Grup simplu de ordine 168

Grupul GL 3 ( F 2 ) este, după ordinul său (168), cel mai mic grup simplu necomutativ după grupul alternativ A 5 . Găsim următorul tabel, stabilit în articolul detaliat:

Pentru că. ir.	C 1	C 2	C 3	C 4	C 7a	C 7b
χ 1	1	1	1	1	1	1
χ 3a	3	–1	0	1	(–1 + i √ 7 ) / 2	(–1 - i √ 7 ) / 2
χ 3b	3	–1	0	1	(–1 - i √ 7 ) / 2	(–1 + i √ 7 ) / 2
χ 6	6	2	0	0	–1	–1
χ 7	7	–1	1	–1	0	0
χ 8	8	0	–1	0	1	1

Cardinalii claselor de conjugare sunt C 1 : 1, C 2 : 21, C 3 : 56, C 4 : 42, C 7a : 24, C 7b : 24. Deducem produsul Hermitian pentru două caractere χ φ și χ ψ , în cazul unei reprezentări complexe:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle \ chi _ {\ varphi}, \ chi _ {\ psi} \ rangle = {\ frac {1} {168}} {\ Big (} & \ chi _ {\ varphi} (C_ {1}) \ cdot {\ overline {\ chi _ {\ psi} (C_ {1})}} + 21 \ chi _ {\ varphi} (C_ {2}) \ cdot {\ overline { \ chi _ {\ psi} (C_ {2})}} + 56 \ chi _ {\ varphi} (C_ {3}) \ cdot {\ overline {\ chi _ {\ psi} (C_ {3})} } \\ & + 42 \ chi _ {\ varphi} (C_ {4}) \ cdot {\ overline {\ chi _ {\ psi} (C_ {4})}} + 24 \ chi _ {\ varphi} ( C_ {7a}) \ cdot {\ overline {\ chi _ {\ psi} (C_ {7a})}} + 24 \ chi _ {\ varphi} (C_ {7b}) \ cdot {\ overline {\ chi _ {\ psi} (C_ {7b})}} {\ Big)}. \ end {align}}}

Caracterele din tabel sunt într-adevăr toate normele 1 și două câte două ortogonale.

Performanță regulată

Reprezentarea regulată λ a lui G , pe spațiul K - vectorial K G al hărților lui G în K , este cea rezultată din acțiunea din stânga lui G asupra sa prin traducere. Caracterul său χ este:

{\ displaystyle \ forall s \ in G, \ qquad \ chi (s) = {\ begin {cases} g \ quad {\ text {si}} \ quad s = 1 \\ 0 \ quad {\ text {în caz contrar. }} \ end {cases}}}

Cu toate acestea, sub aceleași ipoteze ca anterior (permițând aplicarea teoremei lui Maschke și a lemei lui Schur), demonstrăm că descompunerea sa într-o sumă directă de ireductibile este:

{\ displaystyle (K ^ {G}, \ lambda) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}), \ quad {\ text {cu}} \ quad d_ {i} = \ dim (S_ {i}).}

Prin urmare, descompunerea caracterului χ al lui λ în suma caracterelor ireductibile χ 1 , ..., χ h este:

{\ displaystyle \ chi = \ sum _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} \ chi _ {i}.}

Extensie

Produs direct și produs tensor

În teoria grupurilor, prima metodă de extensie este dată de produsul direct al două grupuri. În ceea ce privește reprezentarea, această extensie are ca rezultat un produs tensor din două reprezentări a două grupuri.

Există o relație analogă pentru produsul tensor al reprezentărilor:

Caracterul tensorului produsului a două reprezentări ( V , ρ) și ( V ' , ρ') ale unui grup G este produsul caracterelor celor două reprezentări.

Folosind notațiile anterioare și dacă (r ij ) (resp. (R ' i'j' ) este matricea R s (resp. R s ') matricea P s a produsului tensorial asociat este egală cu (p ij i' j ' ) cu p ij i'j' = r ij. r ' i'j' . Un calcul simplu al urmelor permite concluzia.

Dacă χ σ (resp. Χ α ) denotă caracterul reprezentării pătratului simetric (resp. Alternativ), atunci se aplică următoarele două formule:

{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ chi _ {\ sigma} (s) = {\ frac {1} {2}} (\ chi _ {\ rho} (s) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (s ^ {2})) \ quad și \ quad \ chi _ {\ alpha} (s) = {\ frac {1} {2}} (\ chi _ {\ rho} (s) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (s ^ {2})) \;}

Definițiile reprezentărilor pătratului simetric și alternativ sunt date în articolul detaliat.

Produs semi-direct și reprezentare indusă

Reprezentarea indusă este o modalitate de a construi o reprezentare a unui grup G cu una dintre subgrupele sale H . Fie ( W , θ) o reprezentare a lui H , o reprezentare ( V , ρ) se spune că este indusă de cea a lui ( W , θ) dacă și numai dacă diferitele subspații ρ c W unde se formează valorile lui c un sistem de reprezentanți ai claselor la stânga ale G / H , sunt în sumă directă egal cu V .

Există o reprezentare unică indusă de G printr - o reprezentare ( W , θ) a unui subgrup H . În ceea ce privește modulul G , reprezentarea indusă este exprimată simplu:

V \ simeq K [G] \ otimes _ {K [H]} W \;

Induced corespunde reprezentare, în ceea ce privește G -modul o extensie a scalari K [ H ] la inelul K [ G ] pe H -modul W .

În cazul în care H este un subgrup normal de G , reprezentarea indusă este echivalentă cu un produs semi-direct .

Există o metodă simplă pentru a calcula produsul hermitian al caracterului unei reprezentări induse: formula de reciprocitate Frobenius Si ψ desemnează caracterul reprezentării θ a lui H și χ cel al unei reprezentări a lui G , dacă Ind ψ desemnează caracterul unei reprezentarea indusă și Res χ caracterul restricției de la ρ la H , apoi:

<Ind_ {H} ^ {G} \, \ psi \, | \, \ chi> _ {G} = <\ psi \, | \, Res_ {H} ^ {G} \, \ chi> _ {H } \;

Note și referințe

C. Jordan , Tratat privind substituțiile și ecuațiile algebrice ,1870
(de) FG Frobenius , „ Über Gruppencharaktere ” , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ,1896, p. 985-1021
(De) H. Maschke , " Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind " , Math. Ann. , vol. 52,1899, p. 363-368
(în) W. Burnside , „ Cu privire la reprezentarea unui grup de ordine finită au un grup ireductibil de substituții liniare directe și stabilirea relațiilor dintre caracteristicile grupului ” , Proc. London Math. Soc. , Seria 2 e , vol. 1,1904, p. 117-123
(în) W. Burnside , Teoria grupurilor de ordine finită , Dover,1911( retipărire 2004)
(De) I. Schur , „ Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochenen linearen Substitutionen ” , J. Reine. Angew. Matematica. , vol. 132,1907, p. 85-137
Acest corolar imediat permite explicarea rapidă a tuturor caracterelor ireductibile ale diferitelor grupuri. Vezi de exemplu (ro) Robert Steinberg , „ Reprezentările GL (3, q ), GL (4, q ), PGL (3, q ) și PGL (4, q ) ” , Can. J. Math. , vol. 3,1951, p. 225-235 ( citește online ).

Articol asociat

Indicator Frobenius-Schur (ro)