Funcția centrală pe un grup finit

În matematică și mai precis în teoria grupurilor , o funcție centrală pe un grup finit este un exemplu de funcție centrală pe un grup : este o hartă definită pe un grup finit și central, adică constantă pe fiecare clasă de conjugare .

Funcțiile centrale au un rol special în cadrul teoriei reprezentărilor unui grup finit . Dacă, de exemplu, câmpul K este zero caracteristic și algebric închis (ca și câmpul complexelor ), atunci spațiul vectorial al funcțiilor centrale cu valori în K poate fi prevăzut cu o formă bilineară simetrică pentru care caracterele ireductibile formează o bază ortonormală , iar o reprezentare este în întregime determinată (până la echivalență) de coordonatele caracterului său din această bază.

Definiție și exemple

Definiție

Fie G un grup (finit sau nu). O aplicație definită pe G este o funcție centrală dacă este constantă pe fiecare clasă de conjugare.

Exemple

Pe orice grup de torsiune G (în special pe orice grup finit), funcția care oricărui element din G asociază numărul conjugatelor sale este centrală.
Orice caracter al unei reprezentări a unui grup finit este o funcție centrală a acestui grup.

Proprietăți

Proprietăți elementare

Pentru corp K și orice set X , K X reprezintă spațiul vectorial al aplicațiilor X în K . Când X este terminat, baza canonică a acestui spațiu este familia ( δ x ) x ∈ X , unde δ x ( y ) este 1 pentru y = x și este 0 pentru alții acolo ∈ X .

În K G , indiferent dacă G este finit sau nu,

setul de funcții centrale pe G cu valori în K este un subspatiu vector izomorf natural la K C , unde C denota ansamblul claselor de conjugare ale lui G.

Atunci când G este finit, baza canonică a acestui subspațiu este deci familia ( 1 c ) c ∈ C a funcțiilor indicator ale claselor de conjugare, iar dimensiunea sa este numărul h al acestor clase. Indicatorul unei clase de conjugare c se separă în baza canonică a lui K G în: 1 c = ∑ s ∈ c δ s .

Funcții și caractere centrale

Dacă caracteristica lui K nu împarte g (cu alte cuvinte: dacă g este inversabil în K ), teorema lui Maschke asigură că într-o reprezentare a lui G , orice subreprezentare este un factor direct, ceea ce face posibilă demonstrarea faptului că orice reprezentare lui G este suma directă a reprezentărilor ireductibile .

Arătăm apoi, sub ipoteza suplimentară că polinomul X g - 1 este împărțit peste K (sau chiar numai polinomul X e - 1, unde e denotă exponentul lui G ):

Fie ( S , ρ) o reprezentare K ireductibilă a gradului n și a caracterului χ și f o funcție centrală cu valori în K. Apoi, endomorfismul ρ f al lui S definit prin ${\ displaystyle \ rho _ {f} = \ sum _ {s \ în G} f (s) \ rho _ {s}}$ este dilatarea raportului ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {s \ în G} f (s) \ chi (s)}$ .

(Împărțirea cu n are sens în această afirmație, deoarece n este un divizor al lui g , care a fost presupus a fi inversabil în K. )

Deducem că pentru forma bilineară nedegenerată simetrică pe K G definită de

{\ displaystyle (f_ {1} | f_ {2}) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f_ {1} (s) f_ {2} (s ^ {- 1})}

caracterele ireductibile formează o bază ortonormală a subspațiului funcțiilor centrale.

Rezultă (luând în considerare dimensiunea acestui sub spațiu):

Numărul de caractere ireductibile este egal cu numărul h de clase de conjugare din grup.

Prin urmare, grupul are pe K (până la echivalență) doar h reprezentări ireductibile ρ 1 , ..., ρ h , ale căror caractere χ 1 , ..., χ h formează o bază a spațiului funcțiilor centrale.

O consecință fundamentală este:

Dacă K are o caracteristică zero, atunci două reprezentări având același caracter sunt echivalente.

Într-adevăr, orice reprezentare (până la echivalență) ρ = ⊕ n i ρ i este apoi în întregime determinată de caracterul său χ = ∑ n i χ i .

Din faptul că χ i formează o bază ortonormală, deducem și:

Dacă n ( s ) indică numărul conjugatelor unui element s al lui G și dacă t este un element al lui G neconjugat la s, atunci:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (s) = {\ frac {g} {n (s) }} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (t) = 0 }

. Demonstrații

Fie ρ o K -reprezentare ireductibilă a gradului n și a caracterului χ, atunci n este inversabil în K și pentru orice funcție centrală f cu valori în K , endomorfismul ρ f al lui S definit prin ρ f = ∑ s ∈ G f ( s ) ρ s este omotietatea raportului (1 / n ) ∑ s ∈ G f ( s ) χ ( s ).

Corolar 1 al articolului „Lema Schur“ show n este inversabil în K , iar dacă egalitățile sunt satisfăcute, atunci ρ f este un homothety:

{\ displaystyle \ forall t \ in G \ quad \ rho _ {f} \ circ \ rho _ {t} = \ rho _ {t} \ circ \ rho _ {f}}

Cu toate acestea, avem următoarea egalitate:

{\ displaystyle \ forall t \ in G \ quad \ rho _ {t} ^ {- 1} \ circ \ rho _ {f} \ circ \ rho _ {t} = \ sum _ {s \ in G} f ( s) \ rho _ {t} ^ {- 1} \ circ \ rho _ {s} \ circ \ rho _ {t} = \ sum _ {s \ in G} f (s) \ rho _ {t ^ { -1} st} = \ sum _ {u \ in G} f (tut ^ {- 1}) \ rho _ {u} = \ sum _ {u \ in G} f (u) \ rho _ {u} = \ rho _ {f}}

Fie k raportul dintre omotime. Notând Tr (ρ f ) urmele lui ρ f avem:

{\ displaystyle nk = \ mathrm {Tr} (\ rho _ {f}) = \ mathrm {Tr} \ left (\ sum _ {s \ in G} f (s) \ rho _ {s} \ right) = \ sum _ {s \ in G} f (s) \ mathrm {Tr} (\ rho _ {s}) = \ sum _ {s \ in G} f (s) \ chi (s)}

Caracterele ireductibile formează o bază ortonormală a subspațiului funcțiilor centrale.

Faptul că formează o familie ortonormală este o consecință imediată a Corolarului 4 al articolului „Lema lui Schur” . Prin urmare, este suficient să se demonstreze că familia este un generator sau, din nou, definind f * cu f * ( s ) = f ( s -1 ), că dacă f este o funcție centrală cu valori în K astfel încât f * este ortogonală pentru toate caracterele ireductibile, atunci f este funcția nulă.

Pentru orice reprezentare ireductibilă ρ, a caracterului χ, harta ρ f este zero conform punctului anterior, deoarece f * se presupune că este ortogonală la χ, prin urmare raportul de omotitate este zero. Acum considerați reprezentarea regulată λ. Deoarece este o sumă directă de reprezentări ireductibile, λ f este, de asemenea, zero. Avem apoi egalitatea:

{\ displaystyle 0 = \ lambda _ {f} (\ delta _ {1}) = \ sum _ {s \ în G} f (s) \ lambda _ {s} (\ delta _ {1}) = \ sum _ {s \ în G} f (s) \ delta _ {s} = f}

care pune capăt demonstrației.

Dacă n ( s ) indică numărul conjugatelor unui element s al lui G și dacă t este un element al lui G neconjugat la s , atunci:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (s) = {\ frac {g} {n (s) }} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (t) = 0 }

Fie c clasa de conjugare a lui s (cardinalitatea sa n ( s ) este un divizor al lui g ). Descompunerea indicatorului său 1 c pe baza ortonormală a caracterelor ireductibile arată că:

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {c} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ alpha _ {i} \ chi _ {i} \ quad {\ text {cu}} \ quad \ alpha _ {i} = (\ mathbf {1} _ {c} | \ chi _ {i}) = {\ frac {n (s)} {g}} \ chi _ {i} (s ^ {- 1} )}}

Așadar :

{\ displaystyle 1 = \ mathbf {1} _ {c} (s) = {\ frac {n (s)} {g}} \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} ( s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (s) \ quad {\ text {et}} \ quad 0 = \ mathbf {1} _ {c} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s ^ {- 1}) \ chi _ {i} (t)}

. Notă

Când K este un subcâmp al lui ℂ , este obișnuit, în locul formei biliniare simetrice de mai sus, să se utilizeze pe K G un produs hermitian :

{\ displaystyle \ langle f_ {1} \ mid f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f_ {1} (s) {\ overline {f_ { 2} (s)}}}

Dacă f 2 este un caracter sau mai general dacă, pentru orice element s al grupului, f 2 ( s -1 ) este egal cu f 2 ( s ) ( conjugatul lui f 2 ( s )), atunci ( f 1 | f 2 ) = ⟨ f 1 | f 2 ⟩. În consecință, caracterele ireductibile formează, de asemenea, pentru acest produs hermitian, o bază ortonormală a spațiului funcțiilor centrale.

Funcții centrale și algebră de grup

K algebra a grupului G , notat K [ G ], este definit prin asigurarea spațiului vectorial K G al convoluție *, descrisă de:

\ forall a, b \ in K ^ {G}, \ quad \ forall u \ in G, \ qquad (a * b) (u) = \ sum _ {s, t \ in G, st = u} a ( s) b (t).

Funcțiile centrale ale lui G în K sunt apoi caracterizate prin:

Centrului a inelului unitar K [ G ] coincide cu subspațiul funcțiilor centrale.

Într-adevăr, o funcție f = ∑ t ∈ G f ( t ) δ t aparține centrului dacă și numai dacă navetează cu toate δ s , ceea ce este echivalent cu condiția ca f să fie centrală, deoarece (δ s −1 ∗ f ∗ δ s ) ( t ) = f ( puncte -1 ).

Teorema lui Maschke este reformulată spunând că dacă g este inversabil în K , atunci orice submodul al unui modul K [ G ] este factor direct sau mai sintetic: că K [ G ] este semi-simplu . Dacă în continuare presupunem că K este închis algebric atunci, conform teoremei Artin-Wedderburn pentru K- algebre semi-simple cu dimensiuni finite , K [ G ] este o sumă directă de algebre endomorfice ale unor spații K -vectoriale. Mai exact, dacă ( S i ) unde i variază de la 1 la h este o familie maximă de spații neizomorfe ireductibile două câte două, atunci:

{\ displaystyle K [G] \; \ simeq \; \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} {\ mathcal {L}} _ {K} (S_ {i}).}

Prin urmare, centrul lui K [ G ] este izomorf la K h și găsim omotetea secțiunii anterioare.

Note și referințe

Vincent Beck, „ Reprezentarea TD a grupurilor finite ” , 2005-2006 al cursului M2 al lui Michel Broué ( Universitatea Paris VII - Diderot ), și corectat .
Cu excepția notațiilor (a se vedea remarca de mai jos), dovada este identică cu cea dată în cazul K = ℂ de Yvette Kosmann-Schwarzbach , Grupuri și simetrii , Éditions École Polytechnique ,2005, 193 p. ( ISBN 978-2-7302-1257-1 , citit online ) , p. 35-36.
Cf. Jean-Pierre Serre , Reprezentări liniare ale grupurilor finite [ detaliu ediții ]p. I.-15 pentru produsul Hermitian pe ℂ (cu cealaltă convenție pe cea a celor două variabile față de care este liniar) și p. II.-38 pentru forma biliniară simetrică pe orice corp.