Caracterul unui grup finit

În matematică , un caracter al unui grup finit este o noțiune asociată cu teoria grupurilor .

Un caracter al unui grup finit G este un morfism al grupelor lui G din grupul multiplicativ ℂ * al numerelor complexe nenule .

Acest concept stabilește grupul dublu de G format din toate caracterele G . Este baza analizei armonice pe grupuri abeliene finite .

Această noțiune corespunde unui caz particular al caracterului unei reprezentări a unui grup finit .

Definiții și primele proprietăți

Definiții

De-a lungul acestui articol, G denotă un grup finit de ordine g , ℂ domeniul numerelor complexe, ℂ * grupul multiplicativ numerelor complexe nenule și U g subgrupului de g g -lea rădăcini de unitate . Grupul G este notat prin multiplicare, iar inversul unui element s al lui G este notat cu s −1 . Conjugatul unui număr complex z este notat cu z .

Un personaj din G este un morfism al grupurilor de la G la ℂ *.

Prin urmare, un caracter corespunde unui caz particular de reprezentare a unui grup finit : este caracterul unei reprezentări complexe de gradul 1 al acestui grup.

Setul de caractere al lui G se numește grupul dual al lui G și este în general notat cu Ĝ.

Structura grupului său va fi elucidată în paragraful următor.

Proprietăți

Orice caracter al lui G își ia valorile din subgrupul U g al rădăcinilor unității.

Într-adevăr, o „teoremă Lagrange” indică faptul că dacă s este un element al lui G , atunci s g = 1; se deduce că imaginea s de un personaj este o unitate g -a rădăcină .

Verificările unui caracter χ:

{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ chi (s ^ {- 1}) = {\ overline {\ chi (s)}}.}

Acest lucru rezultă din proprietatea anterioară sau din proprietățile oricărui caracter dintr-un grup compact .

Multiplicarea conferă dualului lui G o structură de grup abelian finită .

Într-adevăr, dualul lui G este un caz particular al unui set de morfisme ale lui G într-un grup abelian H (cu aici H = U g ). Totuși, un astfel de set este întotdeauna un grup abelian, ca subgrup al grupei de produse abeliene H G (alcătuit din hărțile lui G în H și prevăzut cu înmulțirea cu valori în H ). Mai mult decât atât, dacă G și H sunt finite , atunci H G prea.

Exemple

Luați în considerare cazul în care G este grupul simetric al indicelui n . Aplicația de semnătură este un caracter cu valori în U 2 = {–1, 1}.
Dualul unui grup ciclic de ordinul g este izomorf pentru grupul U g (de asemenea ciclic de ordinul g ). Într-adevăr, dacă x este un generator de G , morfismul de evaluare canonică la x , de Ĝ în U g , care oricărui caracter χ asociază complexul χ ( x ), este bijectiv (această bijectivitate este demonstrată exact ca în studiul endomorfismelor a unui grup ciclic ).

Caz comutativ

Dual

Dualul unui grup abelian finit G este izomorf pentru G.

Acest rezultat este dedus din cazul ciclic folosind teorema lui Kronecker , conform căreia un grup abelian finit este un produs finit al grupărilor ciclice și din proprietatea universală a unui astfel de produs :

Fie ( G i ) o familie de grupuri și H un grup abelian. Grupul de morfisme de la ∑ G i la H este canonic izomorf la produsul grupurilor Hom ( G i , H ).

Bidual

În mod similar cu spațiile vectoriale cu dimensiuni finite , izomorfismul dintre un grup abelian finit G și dualul său nu este canonic, dar există un izomorfism canonic între G și bidualul său (adică dualul dualului său).

Morfismul injectiv canonic al lui G în bidualul său, definit prin următoarea egalitate, este un izomorfism dacă G este un grup abelian finit $\ varphi$ ${\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ forall \ chi \ in {\ widehat {G}} \ quad \ varphi (s) (\ chi) = \ chi (s).}$

Într-adevăr, G și bidualul său au atunci aceeași ordine.

Analiza armonică pe un grup abelian finit

În cadrul unui grup abelian finit, este posibil să se definească transformata Fourier și produsul de convoluție . Teoria analizei armonice pe un grup abelian finit este analogă cu cea din câmpul realilor . Dovedim egalitatea lui Parseval , teorema lui Plancherel , dualitatea lui Pontryagin și formula de însumare a lui Poisson .

Algebra de grup

Spațiul hermitian ℂ G

Dualul lui G este inclus în spațiul vectorial ℂ G al hărților de la G la ℂ. Acest spațiu este prevăzut cu un produs Hermitian <| > definit prin următoarea formulă:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {C} ^ {G} \ quad \ langle x | y \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} {\ overline {x (s)}} y (s).}

Grupul dual al lui G este o familie ortonormală .
Dacă G este abelian, dual gruparea G este o bază de ℂ G .

Aceste două propoziții corespund unor cazuri particulare ale teoriei reprezentărilor unui grup finit, sau mai general al unui grup compact ; acestea sunt prezentate pur și simplu în cazul de față:

Demonstrație

Grupul dual al lui G este o familie ortonormală.

{\ displaystyle \ chi (t) <1 | \ chi> = \ chi (t) {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} \ chi (s) = {\ frac {1 } {g}} \ sum _ {s \ in G} \ chi (ts) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {u \ in G} \ chi (u) = <1 | \ chi >.}

Alegând t astfel încât χ ( t ) ≠ 1, deducem că <1 | χ> este zero.

Dacă G este abelian, dual gruparea G este o bază ℂ G .

Grupul dual este o familie ortonormală, prin urmare liberă . În cazul în care gruparea G este abelian, ordinea grupului dual este egal cu G , astfel , la dimensiunea spațiului vectorial ℂ G .

(Dacă G nu este abelian, dualul G , care identifică canonic cu dualul abelianized G ab , este doar o bază de subspatiului - izomorf ℂ G ab - format din hărțile G în ℂ care sunt factorizeaza G ab .)

Algebra ℂ [ G ]

În complex ℂ algebra [ G ] din ultimul grup , format din ℂ spațiu G echipat cu convoluției, centrul este format din funcțiile centrale , deci conține dualul G .
Se poate observa , de asemenea , că spațiul vectorial ℂ G natural se identifică cu dublă sale: orice aplicare a G în ℂ este unic se extinde într - o formă liniară pe ℂ G . În această identificare, caracterele lui G corespund caracterelor algebrei involutive ℂ [ G ], adică morfismelor nenule ale lui ℂ [ G ] în ℂ.

Referințe

Lucrări

Michel Demazure , Cursul algebrei: primalitate, divizibilitate, coduri [ detaliu ediții ]
Jean-Pierre Serre , curs de aritmetică ,1970[ detaliu ediții ]
André Warusfel , Structuri algebrice finite , Hachette, 1971
Gabriel Peyré, Algebra discretă a transformatei Fourier , Ellipses , 2004

Link extern

Matematică discretă a transformatei Fourier , C. Bachoc, Universitatea din Bordeaux I