În matematică și mai exact în algebră în cadrul teoriei lui Galois , o extensie finită este o extensie a unui câmp de grad finit, adică un super câmp comutativ al unui câmp K care, ca acel K - spațiu vectorial , este de dimensiune finită. O astfel de extensie este întotdeauna algebrică .
Ca și în algebra liniară , teoria lui Galois este mult mai simplă în dimensiunea finită decât în dimensiunea infinită. Cele mai primitive element de teorema garantează , de exemplu , că orice domeniu de numere , adică orice extensie finită a ℚ domeniul de rationale este o extensie simplă .
Acest cadru este suficient pentru multe aplicații. Este cea a inventatorului teoriei, Évariste Galois (1811-1832) . Putem cita, de exemplu, teoria ecuațiilor algebrice cu teorema lui Abel, care oferă o condiție necesară și suficientă pentru rezoluția unei ecuații polinomiale. Probleme geometrice datând din Antichitate, cum ar fi duplicarea cubului , trisecția unghiului sau clasificarea poligoanelor regulate construibile cu o riglă și o busolă au fost rezolvate în 1837 de Pierre-Laurent Wantzel ca parte a extensiilor finite. De asemenea, putem cita un număr mare de aplicații în teoria numerelor, cum ar fi teoria dezvoltată în anii 1840 de Ernst Kummer , care face posibilă stabilirea ultimei teoreme a lui Fermat pentru un set mare de valori ale parametrului.
Acest context este încă un câmp deschis de cercetare, teoria Galois inversă, de exemplu, care caută de la un grup dat să găsească un polinom care să aibă acest grup pentru grupul Galois .
Cu toate acestea, există și un câmp matematic mare al cărui obiect de studiu este cel al extensiilor infinite. Primul exemplu istoric este asociat cu pătratul cercului . Ferdinand von Lindemann arată în 1882 că nicio extensie finită a lui ℚ nu poate conține π . O altă teorie, care formează o cuprinzătoare în timpul XX - lea secol este cea a teoriei câmpului de clasă . Este deschis de David Hilbert (1862-1943) și se ocupă în principal de extensii infinite.
O extensie simplă generată de un element algebric (cu alte cuvinte: câmpul de fractură al unui polinom ireductibil) este o extensie finită.
Orice subextensie a unei extensii finite este finită.
Dacă L / K și K / H sunt extensii finite, atunci L / H este o extensie finită, de grad [ L : K ]. [ K : H ].
Un câmp de descompunere al unui polinom diferit de zero, adică „cea mai mică” extensie algebrică care conține toate rădăcinile acestui polinom, este o extensie finită.
Pe de altă parte , orice extindere finită L a unui câmp K este o sub-extindere a domeniului de descompunere al unui polinom nenul: produsul de polinoamele minime de date generatoare de L.
În cazul unei extensii Galois , extensia este finită dacă și numai dacă cardinalul grupului Galois este finit. În acest caz, dimensiunea extensiei este egală cu cardinalitatea grupului.
O extensie finită L de K poate fi analizată ca un radical extensie-finit R / W o extensie separabil finită E / K .
Există extensii algebrice care nu sunt finite, de exemplu închiderea algebrică a lui ℚ.
Închiderea algebrică a unui câmp finit nu este niciodată o extensie finită.
Alte incinte nu sunt terminate, de exemplu incinta pătratică a lui ℚ.
În cele din urmă, extensiile transcendente (adică non-algebrice) nu sunt niciodată finite.