Geometria numerelor

În matematică , geometria numerelor este o disciplină care interpretează problemele aritmetice în termeni de rețele discrete și le rezolvă folosind proprietăți geometrice . Ea a fost fondată la sfârșitul XIX - lea lea de către Hermann Minkowski . Punctul de plecare este o observație elementară: dacă desenăm o rețea în plan și un cerc al cărui centru este unul dintre vârfurile rețelei, atunci, dacă cercul este suficient de mare, interiorul său conține alte puncte ale rețelei. O caracteristică importantă a geometriei numerelor este, prin urmare, interacțiunea dintre discret (punctele grilei) și continuu (interiorul cercului). Prin schimbarea cercului cu alte figuri, prin variația formei ochiurilor, prin generalizarea la dimensiuni mai mari, se obțin diverse aplicații care privesc analiza funcțională , aproximarea diofantină , geometria și analiza convexă , algoritmica , combinatoria , teoria numerelor algebrice , teancurile de sfere , cristalografia .

Teorema fundamentală a lui Minkowski

Această teoremă se referă la intersecția unui set convex și a unei rețele de puncte în spațiul ℝ d , de dimensiune d ; mai precis, el spune că, dacă forma convexului este suficient de regulată și dacă volumul convexului este suficient de mare în comparație cu cel al unei rețele de rețea, convexul conține mai multe puncte ale rețelei. O versiune mai generală poate fi dedusă aproape imediat din teorema lui Blichfeldt .

Cel mai simplu caz este acela în care rețeaua de puncte este ℤ d , adică este formată din toate punctele cu coordonate întregi. Acest caz evidențiază modul în care teorema lui Minkowski stabilește „o legătură între proprietățile geometrice ale unui set - convexitate, simetrie și volum - și o proprietate aritmetică , și anume existența unui punct cu coordonate întregi” în acest caz.

Teorema fundamentală a lui Minkowski (I) - Fie C un convex în ℝ d , simetric în raport cu originea. În cazul în care volumul său este strict mai mare de 2 d , C conține cel puțin două puncte cu coordonate întregi, altele decât cele de origine.

Exemplul pătratului (în dimensiunea 2) și generalizările sale în dimensiunea d arată că legătura 2 d nu poate fi redusă. Dar există o variantă a teoremei pentru convexe de volum 2 d : în acest caz, aderența convexului (cu alte cuvinte, convexul sau marginea acestuia ) conține un punct al rețelei, altul decât originea.

În plus, există, de exemplu, în plan, seturi de suprafețe mai mari de 4 și care sunt fie convexe, dar nu simetrice față de origine, fie simetrice față de origine, dar nu convexe și care nu conțin mai multe puncte de rețea.

Teorema poate fi reformulată în termeni de alte rețele decât cea a punctelor cu coordonate întregi.

Teorema fundamentală a lui Minkowski (II) - Fie C o convexă în ℝ d , simetrică față de origine și fie L o rețea cu determinant Δ. Dacă volumul convexului este strict mai mare de 2 d Δ, C conține cel puțin două puncte ale rețelei L , altele decât originea.

Aplicarea la aproximarea diofantină

Obiectivul aici este de a utiliza teorema fundamentală a lui Minkowski pentru a arăta teorema de aproximare a lui Dirichlet , care spune că este posibil să abordăm simultan un set finit de numere reale prin numere raționale cu același numitor. Mai precis,

Teorema - Să fie numerele reale . Există apoi $n$ $+ 1$ numere întregi, $p$ $\geq 1,$ $p$ $1$ $,$ $p$ $2$ $, ...,$ $p$ $n$ , astfel încât să avem în același timp: $nu$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {1} - {\ frac {p_ {1}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} }$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {2} - {\ frac {p_ {2}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} }$

$\ cdots$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {n} - {\ frac {p_ {n}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} .}$

Există, de fapt, o infinitate de $n +1$ -upluri de numere întregi $( p , p 1 , p 2 , ... p n )$ care satisfac aceste inegalități.

Dovada este caracteristică geometriei numerelor: reformulăm problema aducând un set convex verificând ipotezele teoremei fundamentale ale lui Minkowski (aici va fi un paralelipiped ). Prin aplicarea teoremei, obținem un punct cu coordonate întregi în convex pe care îl verificăm că oferă soluția căutată.

Aici, alegem un număr real s <1 și considerăm regiunea K a ℝ n + 1 formată din toate punctele $( y , x 1 , x 2 , ..., x n )$ care satisfac inegalitățile

{\ displaystyle | x_ {i} - \ alpha _ {i} y | \ leq s {\ text {for all}} i = 1,2, \ cdots, n {\ text {and}} | y | \ leq s ^ {- n}.}

Această regiune formează un paralelipiped, centrat la origine, care satisface ipotezele teoremei fundamentale a lui Minkowski. Într-adevăr, este un set convex, simetric în raport cu originea, iar volumul său este de 2 n +1 (putem calcula acest volum transformând acest paralelipiped într-un cub, printr-o transformare liniară care păstrează volumele).

Regiunea K conține, prin urmare, un punct cu coordonate întregi (forma I a teoremei fundamentale), $( p , p 1 , p 2 , ..., p n ),$ altul decât originea (0, 0, ..., 0). Verificăm apoi dacă fracțiile $p i / p$ oferă aproximările dorite. Schimbând numărul s , obținem chiar și un număr infinit de soluții.

Suma a patru pătrate

Geometria numerelor oferă o dovadă a teoremei clasice a lui Lagrange conform căreia orice număr întreg pozitiv este suma a patru pătrate.

În primul rând, dovada teoremei pentru un număr întreg este redusă la cea pentru un întreg impar folosind doar un caz foarte particular al identității celor patru pătrate ale lui Euler . Într-adevăr, dacă m = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 , atunci 2 m = ( x + y ) 2 + ( x - y ) 2 + ( z + w ) 2 + ( z - w ) 2 , deci dacă teorema este dovedită pentru numere întregi impare, se obține prin dublări succesive pentru toate numerele întregi pozitive.

Dovada pentru numerele întregi impare, la rândul ei, este dedusă din teorema lui Minkowski (II) și din următoarea lemă: pentru orice număr întreg pozitiv impar m , există numere întregi a și b astfel încât a 2 + b 2 + 1 să fie divizibil cu m (Dovada acestei lemme se bazează pe (i) numărul reziduurilor pătratice și principiul sertarului când m este prim; (ii) un argument de inducție când m este o putere de prim ; (iii) teorema restului chinezească pentru a concluziona) .

Următoarea este o aplicație a teoremei fundamentale a lui Minkowski (II). Considerăm pe de o parte rețeaua L în spațiul 4-dimensional, ℝ 4 , format din puncte ( mx + az + bw , my + bz - aw , z , w ), cu a și b fixe verificând lema și x , y , z , w , luând toate valorile întregi. Această rețea are un volum de m 2 .

Mai mult, considerăm setul de puncte de of 4 astfel încât ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 <2 m . Ele formează o sferă (într-un spațiu 4-dimensional), de rază $\sqrt 2 m$ și, prin urmare, de „volum” 2π 2 m 2 . Din moment ce π 2 > 8, ne aflăm în condițiile teoremei lui Minkowski: sfera este un set convex, simetric în raport cu originea, cu un volum suficient de mare pentru a conține un punct diferit de zero al rețelei: obținem astfel numere întregi x , y , z , w astfel încât 0 <( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 <2 m .

Dar, datorită alegerii lui a și b , este ușor de verificat că ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 este întotdeauna un multiplu întreg de m , când x , y , z și w sunt numere întregi. Singurul multiplu întreg al lui m care este strict între 0 și 2 m este m însuși, deci ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 = m . Aceasta oferă o reprezentare a numărului întreg pozitiv impar m ca o sumă de patru pătrate întregi, după cum se dorește.

Acest exemplu ilustrează bine modul în care proprietățile discrete și continue interferează pentru a oferi rezultatul: punctele sferei (reprezentând aspectul continuu al problemei) satisfac o inegalitate (condiția "<2 m ") care devine o egalitate ("= m ”) Când se impune că anumite necunoscute au valori întregi (aspect discret).

O dovadă similară permite să arate că orice număr prim al formei 4 n + 1 este suma pătratelor a două numere întregi.

Valorile minime ale formelor

Cele două exemple precedente de aplicații implică forme algebrice (adică polinoame omogene), forme liniare în primul caz, forme pătratice în al doilea. Geometria numerelor face posibilă mai general studierea valorilor în punctele întregi ale unor astfel de forme, în special creșterea minimelor acestora.

Teorema - Fie un sistem de n forme liniare omogene cu n variabile , cu coeficienți reali și cu un determinant diferit de zero . Apoi, pentru orice set de n numere pozitive astfel încât , putem da variabilelor valori întregi astfel încât pentru tot i , avem . ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ cdots \ xi _ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}}$ $\ Delta$ ${\ displaystyle \ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ cdots \ tau _ {n}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {1} \ tau _ {2} \ cdots \ tau _ {n} = \ Delta}$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle | \ xi _ {i} | \ leq \ tau _ {i}}$

Dovada se bazează pe teorema fundamentală a lui Minkowski aplicată paralelipipedului definit de pentru tot i , al cărui volum este 2 n . ${\ displaystyle | \ xi _ {i} | \ leq \ tau _ {i}}$

Teorema - Fie o formă pătratică definită pozitivă cu n variabile și determinantul acesteia. Atunci există numere întregi care nu sunt toate zero și astfel încât valoarea formei din aceste numere întregi este mai mică de . ${\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} s_ {ij} x_ {i} x_ {j} }$ ${\ displaystyle D = {\ hbox {det}} (s_ {ij})}$ ${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ cdots, u_ {n}}$ ${\ displaystyle Q (u_ {1}, u_ {2}, \ cdots, u_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} \ left (\ Gamma (1 + {\ frac {1} {2}} n) ^ {2} D \ right) ^ {1 / n}}$

În această afirmație, $Γ$ denotă funcția gamma , care apare aici deoarece valorile sale dau volumele de sfere în orice dimensiune (și a anumitor transformări, cum ar fi elipsoidele ). Dovada teoremei se bazează încă o dată pe teorema fundamentală a lui Minkowski, dar de data aceasta s-a aplicat elipsoidului definit de , pentru un număr real bine ales. ${\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}) \ leq \ lambda}$ $\ lambda$

Numărul de corpuri

O altă gamă de aplicații se referă la proprietățile câmpurilor numerelor algebrice . Principiul este de a cufunda un câmp de numere K (adică o extensie algebrică a gradului d câmpului numerelor raționale ℚ) în ℝ d , astfel încât idealurile de inelul de sale întregi corespund rețelelor de ℝ d . Ne aflăm atunci într-o situație care face posibilă aplicarea teoremei lui Minkowski.

Construirea de rețele asociate idealurilor

Considerăm un corp de numere K de grad d , îl putem reprezenta ca K = ℚ (Θ) , unde Θ este un întreg algebric care îndeplinește o ecuație de grad d cu coeficienți întregi. Putem scufunda K în câmpul ℂ al complexelor în d moduri diferite, corespunzător diferitelor rădăcini ale ecuației verificate prin complexe s , s reale și 2 t , grupate două câte două prin conjugare, cu d = s + 2 t . De exemplu, dacă Θ este soluția ecuației X 3 - 2 = 0, există trei încorporări, o încorporare reală care trimite Θ pe rădăcina reală 3 √ 2 , două încorporări conjugate complexe care o trimit pe $j$ 3 √ 2 sau $j$ 2 3 √ 2 , unde $j$ este o rădăcină cubică a lui 1, alta decât 1; în acest caz, deci, s = t = 1.

Apoi Definim un morfism de grupuri de K din ℝ s × ℂ t , un element de K fiind trimis pe ei s embeddings reale și t embeddings complexe (câte unul pentru fiecare pereche de conjugate). În exemplu, elementul a + b Θ + c Θ 2 din K este trimis către elementul ( a + b 3 √ 2 + c 3 √ 4 , a + b $j$ 3 √ 2 + c $j$ 2 3 √ 4 ) din ℝ × ℂ.

Prin separarea părții reale și a părții imaginare, obținem un morfism injectiv de la K la ℝ s × ℝ 2 t = ℝ d . Putem arăta că imaginea prin acest morfism al unui subgrup aditiv de K , de tip finit (de exemplu inelul de numere întregi al lui K sau un ideal) este o rețea de ℝ d .

Mai mult, dacă I este un ideal diferit de zero al inelului numerelor întregi ale lui K , volumul ochiului rețelei asociate în ℝ d este: 2 - t N ( I ) $\sqrt | Δ |$ , unde Δ este discriminantul câmpului numerelor.

Element de standard mic într-un ideal și numărul de clase de ideal

Alegând o convexă adecvată și aplicând teorema fundamentală, putem demonstra că:

Teorema - În inelul numerelor întregi ale unui câmp numeric K , orice ideal I nenul conține un element nenul α astfel încât ${\ displaystyle | N (\ alpha) | \ leq \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {t} N (I) {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ unde 2 t este numărul de încorporări complexe ale lui K și Δ este discriminant .

Norma N (α) este de fapt produsul conjugatelor lui α, adică ale componentelor imaginii de la α în ℝ d . Putem deduce că orice ideal diferit de zero este echivalent cu un ideal a cărui normă este mai mică de (2 / π) t $\sqrt | Δ |$ .

Deoarece există doar un număr finit de idealuri ale unei norme date, obținem astfel o dovadă a teoremei:

Teorema - Numărul de clase de idealuri într - un câmp număr este finit.

O alegere mai rafinată a convexului face posibilă chiar îmbunătățirea acestor rezultate. De exemplu :

Teorema - În inelul numerelor întregi ale unui câmp numeric K , orice ideal I nenul conține un element nenul α astfel încât ${\ displaystyle | N (\ alpha) | \ leq \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {t} {\ frac {n!} {n ^ {n}}} N ( I) {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ unde 2 t este numărul de încorporări complexe ale lui K și Δ este discriminant.

Aceste limite pot fi utilizate pentru a calcula în mod explicit numărul de clase în multe cazuri.

Dar, de asemenea, oferă în mod direct un corolar important:

Teorema - Discriminantul Δ al câmpului K satisface inegalitatea ${\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta |}} \ geq \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {t} {\ frac {n ^ {n}} {n!} } \ geq \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {n / 2} {\ frac {n ^ {n}} {n!}}.}$

În consecință, discriminantul unui câmp de grad n > 1 este, în valoare absolută, strict mai mare decât 1 și are, prin urmare, divizori primi: orice câmp de numere (altul decât ℚ) are primii ramificați .

Unități într-un câmp numeric

Geometria numerelor ne permite, de asemenea, să descriem structura grupului de unități . Principala problemă este că acest grup este multiplicativ; pentru a putea fi interpretat în termeni de rețea (grup aditiv), este deci necesar să se utilizeze logaritmi . Definim o hartă a ℝ s × ℂ t în ℝ s + t prin trimiterea fiecare componentă pe logaritmul valorii sale absolute (pentru s primele componente reale) sau logaritmului pătratului modulului său (pentru t componentele complexe ); pentru elementele a căror componentă nu este zero, această hartă este bine definită. Compunându-l cu morfismul lui K în ℝ s × ℂ t definit mai sus, obținem un morfism al grupului multiplicativ al lui K în ℝ s + t , pe care îl numim reprezentarea sa logaritmică. Unitățile sunt elementele normei +1 sau –1, ceea ce duce la o condiție liniară în ℝ s + t când mergem la reprezentarea logaritmică: cu alte cuvinte, imaginea unităților se află într-un hiperplan (de dimensiune s + t - 1). Un studiu mai detaliat permite să arate că această imagine are într-adevăr dimensiunea s + t - 1 și oferă o dovadă a teoremei unităților lui Dirichlet .

Alte exemple

Formula Leibniz poate fi demonstrată prin metode geometrice, utilizând o metodă descoperită inițial de David Hilbert . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi } {4}}.}$

Note și referințe

Hardy și Wright 2006 , cap. 3 și 24.
Cassels 1971 , p. 71-72: „ Din teorema I [teorema lui Blichfeldt] deducem aproape dintr-o dată următoarea teoremă care se datorează, cel puțin pentru m = 1 , lui Minkowski. "
Cassels 1971 , p. 64.
Olds, Lax și Davidoff 2000 , p. 85-86.
Olds, Lax și Davidoff 2000 , p. 114-116.
Stewart și Tall 1979 , p. 149-150.
O variantă care exploatează această identitate mai complet face posibilă revenirea directă la dovada unui număr prim: vezi de exemplu (en) Ivan Niven , Herbert Zuckerman și Hugh L. Montgomery , An Introduction to the Theory of Numbers , Wiley ,1991, Ed. A 5- a . ( 1 st ed. 1960), p. 317-318, Teorema 6.26 sau acest exercițiu corectat din lecția „Introducere în teoria numerelor” de pe Wikiversitate .
Cassels 1971 , p. 99.
Stewart și Tall 1979 , p. 148-149.
Gruber și Lekkerkerker 1987 , p. 43-44.
Stewart și Tall 1979 , p. 152.
Stewart și Tall 1979 , p. 152-155.
Stewart și Tall 1979 , p. 163.
Stewart și Tall 1979 , p. 164-165.
Stewart și Tall 1979 , p. 184.
Stewart și Tall 1979 , p. 165, 187-190.
Cohn 1978 , p. 128.
Stewart și Tall 1979 , p. 212-213.
Stewart și Tall 1979 , p. 213.
(în) [video] 3Blue1Brown , când ft se ascunde în distribuția numerelor prime pe YouTube , sunt disponibile subtitrări în franceză.
(în) [video] Mathologer , teorema lui Fermat Crăciun: Vizualizarea cercului ascuns în pi / 4 = 1-1 / 3 + 1 / 5-1 / 7 + ... pe YouTube .

Bibliografie

GH Hardy și EM Wright ( tradus din engleză de François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introducere în teoria numerelor [„ O introducere în teoria numerelor ”] [ detaliu al ediției ], capitolul 24 („Geometria numerelor”);
(ro) Harris Hancock, Dezvoltarea geometriei numerelor Minkowski , Dover ,1964( 1 st ed. 1939) ;
(ro) John WS Cassels , An Introduction to the Geometry of Numbers , Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer , col. „ Grundlehren mathematischen der Wissenschaften ” ( nr . 99)1971( 1 st ed. 1959), 344 p. ( citește online ) ;
(ro) Harvey Cohn, A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields , New York, Heidelberg, Berlin, Springer, col. „Universitext”,1978, 328 p. ( ISBN 978-3-540-90345-1 ) ;
(ro) Ian N. Stewart și David O. Tall (ro) , Algebraic Number Theory , Londra, Chapman & Hall ,1979, 257 p. ( ISBN 978-0-470-26660-1 ) ;
(ro) Peter M. Gruber (ro) și Cornelis G. Lekkerkerker, Geometry of Numbers , Groningen și Amsterdam, Londra, Wolters-Noordhoff și North-Holland, col. „Bibliotheca Mathematica” ( nr . 8),1987, A 2 -a ed. ( 1 st ed. , 1969, 510 p.), 731 p. ( citește online ) ;
(ro) Carl Ludwig Siegel și Komaravolu Chandrasekharan , Prelegeri despre geometria numerelor , Springer,1989, 160 p. ( citește online ) ;
(ro) Carl Douglas Olds , Anneli Lax și Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , Washington, MAA , col. „Noua bibliotecă matematică Anneli Lax” ( nr . 41),2000, 174 p. ( ISBN 978-0-88385-643-7 , citit online ) ;
(ro) Jiří Matoušek , Lectures on Discrete Geometry [ detaliu ediții ] ;
(ro) Tinne Hoff Kjeldsen , „ De la instrumentul de măsurare la obiectul geometric: dezvoltarea lui Minkowski a conceptului de corpuri convexe ” , Archive for History of Exact Sciences , vol. 62, nr . 1,2008, p. 59-89 ;
Sébastien Gauthier, „ Geometria în geometria numerelor: istoria disciplinei sau istoria practicilor bazate pe exemplele lui Minkowski, Mordell și Davenport ”, Revue d'histoire des mathematiques , vol. 15, n o 22009, p. 183-230 ( citește online ) ;