Spațiul hermitian

În matematică , un spațiu hermitian este un spațiu vectorial pe câmpul comutativ al complexelor de dimensiune finită și prevăzut cu un produs cu puncte hermitiene . Geometria unui astfel de spațiu este un analog cu cel al unui spațiu euclidian . Multe proprietăți sunt comune ambelor structuri.

Astfel, majorările caracteristice, cum ar fi inegalitatea Cauchy-Schwarz și inegalitatea triunghiulară, sunt întotdeauna valabile, existența unor baze particulare, despre care se spune că sunt ortonormale , este asigurată și relația canonică dintre spațiu și dualitatea sa este de aceeași natură cu aceea a configurației euclidiene.

Algebric închis Caracterul al corpului de bază face Diagonalizarea de endomorphisms compatibile cu produsul scalar mai general. Termenul compatibil aici înseamnă normal , adică naveta cu adjunctul său .

În cele din urmă, un spațiu hermitian de dimensiunea n este, de asemenea, un spațiu euclidian de dimensiunea 2 n , prin urmare proprietățile topologice sunt exact aceleași.

Această structură își datorează numele matematicianului francez Charles Hermite ( 1822 - 1901 ) .

Definiție și primele proprietăți

Definiții

Obiectivul este de a generaliza structura spațială euclidiană la numere complexe, ceea ce oferă avantajul de a fi un câmp închis algebric. Pe de altă parte, nu mai există o relație de ordine compatibilă cu operațiile corpului, iar pătratul unui complex este uneori negativ. Pentru a depăși această dificultate, produsul scalar nu mai este o formă biliniară, ci o formă hermitiană.

O formă hermitiană este o hartă〈⋅, ⋅〉 de la E × E la ℂ astfel încât:

pentru toate x în E , harta φ x a E în ℂ definită de φ x ( y ) = 〈y , x〉, este o formă liniară și
pentru toate x și y în E , (unde reprezintă conjugarea ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

În special, 〈x , x〉 este real și este o formă pătratică pe E văzută ca spațiu ℝ-vectorial. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Rețineți, de asemenea, că o formă hermitiană cu această definiție este sesquilineară în dreapta .

Ceea ce duce la următoarele definiții:

Definiție - Un produs punctat peste un spațiu vectorial complex este o formă hermitiană 〈⋅, ⋅〉 astfel încât forma pătratică reală să fie pozitivă definită . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

În aceste condiții, partea reală a <⋅, ⋅> este un produs euclidiană scalar pentru structura de spațiu vectorial real obținut prin restricție, iar partea imaginară o alternativă nedegenerata formă biliniară , cu alte cuvinte un simplectic formular . ${\ mathfrak {Re}} \ left (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)$

Termenul de produs Hermitian este sinonim cu produsul punct pe un spațiu vectorial complex.

Definiție - Un spațiu hermitian este un spațiu vectorial complex de dimensiune finită și prevăzut cu un produs punct.

Cartarea care la un vector x asociază rădăcina pătrată a produsului punct al lui x de la sine, este o normă numită norma Hermitiană ; asociate distanței , care cu doi vectori asociază norma diferența lor, se numește distanța Hermitian .

În restul articolului E denotă un spațiu vectorial complex de dimensiune finită, ℂ corpul numerelor complexe, 〈⋅, ⋅〉 un produs scalar pe E , ales liniar față de prima variabilă și semi-liniar față de per al doilea. Se notează norma ║ ∙ ║.

Exemple

Spațiul vectorial ℂ n , dotat cu produsul scalar canonic și norma asociată, definit, pentru x = ( x 1 , ..., x n ) și y = ( y 1 , ..., y n ), de $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overline {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ este un spațiu hermitian numit spațiu canonic hermitian de dimensiune n .
Pe spațiul vectorial M n (ℂ) al matricelor pătrate de ordinul n , identificate cu ℂ ( n 2 ) , produsul scalar canonic este deci rescris: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ unde $tr$ denotă urmele și B * denotă matricea adjunctă (sau transconjugată) a lui B (adică transpunerea matricei ai cărei coeficienți sunt conjugați ai coeficienților B ). Norma asociată se numește „ norma Frobenius ”.
Spațiul vectorial al polinoamelor complexe de grad mai mic sau egal cu n ,
- furnizat împreună cu produsul scalar $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overline {b_ {i}}$ este un spațiu hermitian, trivial izomorf pentru spațiul canonic hermitian de dimensiune n + 1.
- cu un alt produs scalar: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ este, de asemenea, un spațiu hermitian. Acest produs scalar este cel al spațiului Hilbert $L 2 ([0, 1])$ (de dimensiune infinită), restricționat la subspațiul funcțiilor polinomiale (identificate ca polinoame) de grad mai mic sau egal cu n .
- furnizat împreună cu produsul scalar (diferit de cele două anterioare): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (unde x 0 ,…, x n sunt n + 1 complexe distincte) este izomorfă pentru spațiul hermitic canonic de dimensiune n + 1, de pe harta P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).

Inegalități și identități

Următoarele proprietăți sunt verificate în orice spațiu prehilbertian complex, de dimensiune nu neapărat finită. Unele sunt doar o repetare a proprietăților produsului cu $puncte$ reale $Re$ (〈⋅, ⋅〉), care are aceeași normă asociată cu 〈⋅, ⋅〉.

La fel ca situația reală, cele două suprataxe clasice sunt întotdeauna verificate. Dacă x și y denotă doi vectori ai lui E :

Cauchy- Schwarz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
inegalitatea triunghiului : din urmă arată că a treia axioma definiția unui etalon , spus subaditivitate este verificat. Celelalte două (separare și omogenitate) sunt evident. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
Dezvoltarea pătratului normei unei sume, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ left (\ langle x, y \ rangle \ right),$ ne permite să stabilim teorema lui Pitagora : dacă x și y sunt ortogonali , atunci spre deosebire de situația euclidiană, inversul nu mai este adevărat, deoarece un produs scalar poate fi aici un imaginar pur non-zero. $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
Dezvoltarea pătratului normei de suma a doi vectori arată regula paralelogramului , care caracterizează normele rezultate dintr-un produs punct : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
precum și identitatea polară: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
Identitatea de polarizare (formulat aici un drept formă sesquilinear ), mai precis, indică faptul că produsul scalar este determinată în întregime de norma: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Proprietăți

Baza ortonormală

Situația este exact aceeași cu cea a unui spațiu euclidian:

orice familie ortonormală este gratuită ;
dacă E este un spațiu hermitian de dimensiune n și B o bază ortonormală a lui E atunci, pentru toți vectorii u și v ai E , ai coordonatelor x și y din B , produsul scalar 〈u , v〉 este egal cu produsul scalar 〈x , y〉 în spațiul canonic hermitian al dimensiunii n . Cu alte cuvinte, liniar bijectie de la E în ℂ n care se asociază cu orice vector coordonatele sale în B privințe cele două produse scalare și constituie astfel un izomorfism de spații Hermitian;
dovada inegalității lui Bessel arată că dacă ( f i ) este o bază ortonormală a unui subspai vectorial F al lui E , orice vector x al lui E admite o proiecție ortogonală pe F , ale cărei coordonate în ( f i ), numite coeficienți Fourier, sunt 〈X , f i〉 și verificați $\ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
deducem algoritmul Gram-Schmidt , care asigură existența unei baze ortonormale.

Produs dual, adjuvant și tensor

Amintiți-vă că în acest articol o formă hermitiană este o formă sesquiliniară dreaptă cu simetrie hermitiană.

Configurația este din nou analogă cu cea a spațiilor euclidiene. Produsul punct oferă o hartă φ canonică a E în dublă său E *:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Ordinea este inversată aici în comparație cu convenția aleasă în articolul despre spațiul euclidian. Într-adevăr, φ x ar fi semi-liniar în caz contrar și am obține o bijecție liniară a lui E în antidual (spațiu vectorial al formelor semi-liniare).

Cu ordinul ales, avem o φ bijectie semi-liniar de la E în dual E *. Când E * este înzestrat cu norma duală , această bijecție este chiar o izometrie (conform inegalității Cauchy-Schwarz ), ceea ce dovedește că această normă este hermitiană, adică asociată cu un produs scalar: cel definit de 〈φ ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Deducem din φ două bijecții ψ 1 și ψ 2 , din spațiul L ( E ) endomorfisme ale lui E în spațiul L 3/2 ( E ) din formele sesquiliniare din dreapta:

\ forall a \ in {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {and}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 este liniară și ψ 2 este semi-liniară, astfel încât compusul bijectie ψ 2 -1 ∘ψ 1 este semi-liniară. La o endomorphism o ea asociază endomorphism un * numit adjunctul și definită de următoarea egalitate:

\ forall x, y \ in E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Se spune că endomorfismele egale (resp. Opuse) adjunctului lor sunt hermitieni sau auto-asociați (resp. Antihermitieni sau anti-auto-asociați).

Semi-liniară - deci ℝ-liniară - harta L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * nu este doar bijectivă (un semi-izomorfism) ci și involutivă (( a *) * = a ). În L ( E ) considerat ca un spațiu ℝ-vectorial, este deci simetria față de ℝ-subspațiul endomorfismelor hermitiene, față de cel suplimentar al antihermitienilor.

Produsul scalar hermitian pe un produs tensor , în special pe L ( E ) ≃ E * ⊗ E , este definit într-un mod similar cu cazul euclidian. Noi obținem

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

Simetria semi-liniară a ↦ a * păstrează norma asociată prin urmare și produsul scalar euclidian asociat $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (cf. § „Definiții” ).

Exemple

Avem ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *). Dacă a este hermitian, $i$ a este antihermitian.
Dacă A este matricea unui raport cu o bază ortonormală, care a accesoriul este adjuvantă matricea A *.
Când endomorfismele sunt reprezentate prin matrici într-o bază ortonormală fixă, găsim astfel produsul canonic hermitian pe M n (ℂ) .

Spațiul euclidian, spațiul hermitian

Fie E un spațiu hermitian. Spațiul vectorial real E ℝ care este dedus din acesta prin restricționarea scalarilor (en) este în mod natural dotat cu un produs scalar euclidian 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉). Dacă B = ( e 1 , ..., e n ) este o bază a lui E și dacă $i$ reprezintă unitatea imaginară , atunci B ℝ = ( e 1 , ..., e n , $i$ e 1 , ..., $i$ e n ) este baza lui E ℝ , care este deci de dimensiunea 2 n . Mai mult, dacă B este ortonormal pentru 〈⋅, ⋅〉, atunci B ℝ este ortonormal pentru 〈⋅, ⋅〉ℝ .
In schimb, lasa F să fie un spațiu euclidian de dimensiune n , este posibil să se scufunde F într - un spațiu Hermitian de dimensiune n : a complexified F ℂ : = ℂ⊗ F din F , înzestrat cu produsul scalar Hermitian obținut prin tensorizing aceea a ℂ de produsul scalar euclidian al lui F : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Dacă ( f 1 , ..., f n ) este o bază ortonormală a lui F atunci (1⊗ f 1 , ..., 1⊗ f n ) este o bază ortonormală a lui F ℂ . Este comună identificarea vectorilor f i și 1⊗ f i .

Aceste două construcții se extind la cadrul spațiilor prehilbertiene de dimensiune nu neapărat finite.

Note

Cele două convenții (stânga și dreapta) coexistă. Acest articol are convenția potrivită; articolele Forma sesquiliniară complexă și Identitatea polarizării favorizează stânga.
Metoda expusă aici este adesea utilizată atunci când autorul unei lucrări dorește să fie formal riguros. O formalizare orientată spre fizică este dată în C. Semay și B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .

Vezi și tu

linkuri externe

Produsul dot peste ℂ n , metoda Gram-Schmidt, matricile hermitiene, unitară și diagonalizată de Véronique Hussin și Alina Stancu, de la Universitatea din Montreal
Spații hermitiene de C. Antonini și colab. , 2001, pe les-mathematiques.net

Bibliografie

Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]