Rotația planului

În geometria în plan , o rotație plană este o transformare care rotește cifrele în jurul unui punct și la un anumit unghi . Această transformare este o izometrie, deoarece distanțele sunt păstrate. Cifra nu a fost distorsionată sau mărită.

Rotația implică noțiunea de unghi orientat.

Definiție, proprietăți și caracterizări

Definiție

Definiție În planul orientat, rotația cu centrul C și unghiul

θ

este transformarea care lasă C invariant și care transformă orice punct M distinct de C în punctul M ' astfel încât

{\ displaystyle CM = CM '{\ text {et}} \ ({\ overrightarrow {CM}}; {\ overrightarrow {CM'}}) = \ theta}

Cele mai clasice rotații sunt

ture directe de sfert - rotații ale unghiului drept în sens invers acelor de ceasornic (adică în sens invers acelor de ceasornic),
viraje indirecte în sfert - rotații în unghi drept în sens orar,
rotațiile unghiului plat care corespund simetriilor centrale și omotezei raportului -1,
rotația unghiului zero care, oricare ar fi centrul său, este identitatea .

Construcția imaginii unui punct printr-o rotație

Desenați cercul cu centrul C și raza [ CM ].
Plasați pe acest cerc punctul M ' , care este imaginea lui M prin această rotație astfel încât . $(\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CM '}) = \ theta$

O rotație poate fi de asemenea determinată de un centru și de imaginea unui punct: dacă C este un punct și A și A „ două puncte distincte ale lui C astfel încât CA = CA” , există o rotație unică a centrului C și care transformă A în A ' . Unghiul este apoi unghiul de rotație. $(\ overrightarrow {CA}; \ overrightarrow {CA '})$

Proprietăți

Proprietatea 1 Imaginea unui segment [ AB ] este un segment [ A'B ' ] astfel încât | AB | = | A'B ' |. Proprietatea 2 Imaginea unui cerc C cu centrul O și raza r este un cerc C 'cu centrul O' , imaginea lui O și aceeași rază r . Proprietatea 3 cunoscută sub numele de „conservare” Rotația păstrează:

Lungimile;
unghiuri (imaginea unui unghi este un unghi de aceeași amplitudine);
paralele (imaginile a două linii paralele sunt două linii paralele);
zonele (imaginea unei figuri este o figură cu aceeași zonă).

Prin urmare, rotația păstrează distanțele, adică M'N '= MN . Prin urmare, este o izometrie. Prin urmare, păstrează aliniamentele, unghiurile și concursurile. De asemenea, păstrează orientarea: dacă ABC este un triunghi direct, atunci A'B'C ' este, de asemenea, un triunghi direct.

Important, găsim și unghiul de rotație dintre un vector și imaginea acestuia:

Demonstrații

Triunghiurile CMN și CM'N ' sunt izometrice cu aceeași orientare deoarece

{\ displaystyle CM = CM '}

{\ displaystyle CN = CN '}

(\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CN}) = (\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CM '}) + (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '}) + (\ overrightarrow {CN '}; \ overrightarrow {CN}) = \ theta + (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '}) - \ theta = (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '})

Deci, în special

{\ displaystyle MN = M'N '}

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {MC}) = (\ overrightarrow {M'N '} \ overrightarrow {M'C})

O relație Chasles pe unghiuri face posibilă scrierea:

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {M'N '}) = (\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {MC}) + (\ overrightarrow {MC}; \ overrightarrow {M'C}) + (\ overrightarrow {M'C}; \ overrightarrow {M'N '})

cele două unghiuri extreme se anulează reciproc, iar cel din mijloc este egal cu θ prin urmare

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {M'N '}) = \ theta

Altă caracterizare

Prin urmare, o rotație poate fi caracterizată prin imaginea a două puncte: fie A și B două puncte distincte și A ' , B' două puncte astfel încât AB = A'B ' cu , există o rotație unică r care transformă A în A „ și de la B la B” . Această rotație pentru unghi și pentru centru intersecția bisectoarelor perpendiculare ale [AA '] și [BB'] (dacă se intersectează) sau punctul de intersecție al (AB) și bisectoarea perpendiculară a [AA '] (dacă bisectoarele perpendiculare nu sunt secante ). Nu este necesar să cunoașteți centrul rotației pentru a construi imaginea M 'a punctului M (distinct de A) deoarece acesta îndeplinește următoarele două condiții: $\ overrightarrow {AB} \ neq \ overrightarrow {A'B '}$ $\ theta = (\ overrightarrow {AB}; \ overrightarrow {A'B '})$

AM = A'M '

(\ overrightarrow {AM}; \ overrightarrow {A'M '}) = \ theta

care o definesc fără ambiguitate

Notă: Dacă una dintre bisectoarele perpendiculare nu există, ceea ce se întâmplă atunci când A și A 'sau B și B' sunt confuze, centrul este atunci imediat: este, în funcție de caz, A sau B.

Invarianța prin rotație

Unele figuri sunt invariante prin rotație. Acesta este cazul de exemplu cu pătratul cu centrul O, invariant prin rotație cu centrul O și cu unghi drept sau plat, sau cu triunghiul echilateral cu centrul O invariant prin rotație cu un unghi de 120 °. Spunem apoi că aceste figuri au o simetrie de ordinul 4 (pentru pătrat) sau ordinea 3 (pentru triunghi). Ordinea rotației corespunde numărului de rotații necesare pentru a reveni la punctul de plecare.

Un poligon regulat cu n laturi are simetrie de ordinul n . Există figuri cu o simetrie de ordinul n care nu au o axă sau un centru de simetrie. Acesta este cazul de exemplu al lui Triskell care are o simetrie de ordinul trei (din cauza alternanței negru / alb, Taijitu , simbolul lui Yin Yang nu are simetria de ordinul doi care i-ar putea fi atribuită. La prima vedere) .

Compoziție și descompunere

Compusul a două reflexii (sau simetrii) s (d) și s (d ') ale axelor secante în O este o rotație a centrului O. Mai precis, dacă

{\ displaystyle (d) = (O, {\ vec {u}}), (d ') = (O, {\ vec {v}}) \ ,,}

asa de

s _ {{(d ')}} \ circ s _ {{(d)}} = r

unde ' r este o rotație cu centrul O și unghiul

\ theta = 2 ({\ vec u}, {\ vec v}) \,.

Dimpotrivă, orice rotație cu centrul C se împarte în două reflexii (simetrii) ale axelor secante în C, dintre care una poate fi aleasă în mod arbitrar cu condiția ca cealaltă să permită, prin înmulțirea cu doi a unghiului format de vectorii de direcție , să găsim unghiul de rotație.

Compusul a două rotații cu același centru C și unghiurile θ și θ 'este o rotație cu centrul C și unghiul θ + θ'. Aceste două rotații navighează, adică setul de rotații cu centrul C, prevăzut cu legea compoziției, este deci un grup comutativ izomorf la
$r \ circ r '= r' \ circ r \,.$
$({\ mathbb R} / 2 \ pi {\ mathbb Z}, +)$

Compusul a două rotații de centre și unghiuri diferite θ și θ 'este

o rotație a unghiului $θ + θ '$ dacă $θ + θ' \neq 2 k π$
o traducere altfel

Căutarea noului centru și demonstrarea acestei proprietăți se obțin prin descompunerea fiecărei rotații în două reflecții având o axă comună. Două rotații ale unghiurilor diferite de zero fac naveta numai dacă au același centru.

În plus, compusul unei rotații și o translație rămâne o rotație cu același unghi al cărui centru s-a schimbat.

Ansamblul format din toate rotațiile plane și toate traducerile, prevăzut cu legea compoziției formează un grup grup necomutativ numit direct izometric .

Expresie complexă

Rotația centrului C și a unghiului θ are expresia complexă

{\ displaystyle z '= \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} (z-z_ {c}) + z_ {c} \,}

adică, dacă z c este afixul lui C, punctul M al afixului z are pentru imagine punctul M 'al afixului z' verificând egalitatea precedentă.

În schimb, orice transformare a cărei expresie complexă este

{\ displaystyle z '= az + b}

, unde a și b sunt complexe, satisfăcătoare | a | = 1 și a ≠ 1

este o rotație al cărei centru C are pentru afix și al cărui unghi este argumentul lui a ${\ dfrac {b} {1-a}}$

Această scriere complexă face posibilă găsirea cu ușurință a tuturor proprietăților precedente.

Formule de schimbare a axelor de coordonate

Formulele care urmează fac posibilă exprimarea coordonatelor unui punct M într-unul din cadrele de referință în funcție de coordonatele din celălalt cadru de referință. Să luăm un sistem de coordonate cartezian xOy în care coordonatele ( x , y ) ale unui punct M sunt exprimate în funcție de coordonatele polare ( r , φ ) prin formulele elementare

{\ begin {cases} x = r \ cos \, \ phi \\ y = r \ sin \, \ phi \ ,. \ end {cases}}

În noul sistem de coordonate x'Oy 'dedus din precedent printr-o rotație a unghiului θ (vezi figura) noile coordonate polare sunt r și ( φ - θ ), iar coordonatele carteziene devin

{\ begin {cases} x '= r \ cos \, (\ phi - \ theta) \\ y' = r \ sin \, (\ phi - \ theta) \ ,. \ end {cases}}

Prin dezvoltarea funcțiilor trigonometrice și ținând cont de expresiile x și y vom ajunge la următoarele formule care să permită să meargă de la un punct de referință la altul.

{\ begin {cases} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \ end {cases} }

și, în direcția opusă,

{\ begin {cases} x = x '\ cos \, \ theta -y' \ sin \, \ theta \\ y = x '\ sin \, \ theta + y' \ cos \, \ theta \ end {cases }}

Note și referințe

A se vedea, de exemplu, calculul matricial-Schimbarea bazei , consecința unei schimbări de bază, Exemplu: Transformarea componentelor unui vector pe University Online

Vezi și tu