Compacitate (matematică)

În topologie , spunem despre un spațiu că este compact dacă este separat și că satisface proprietatea Borel-Lebesgue . Condiția de separare este uneori omisă și unele rezultate rămân adevărate, cum ar fi teorema de limitare generalizată sau teorema lui Tychonov . Compactitate face posibilă trecerea de anumite proprietăți de la local la global, adică să spunem că o proprietate adevărată în apropierea fiecărui punct devine valabilă într - un mod uniform pe întreaga compact.

Mai multe proprietăți ale segmentelor de linie reale ℝ generaliza la spații compacte, care conferă un rol privilegiat din urmă în diverse domenii ale matematicii. În special, acestea sunt utile pentru a demonstra existența extremelor pentru o funcție numerică.

Numele acestei proprietăți aduce un omagiu matematicienilor francezi Émile Borel și Henri Lebesgue , deoarece teorema care poartă numele lor stabilește că orice segment al lui compact este compact și, mai general, că compacte ale lui ℝ n sunt cele închise .

O abordare mai intuitivă a compactității în cazul particular al spațiilor metrice este detaliată în articolul „  Compacitate secvențială  ”.

Deținut de Borel-Lebesgue

Înainte Definiție: Fie E un set și o parte din E . Noi spunem ca o familie ( U i ) i ∈ I porțiuni E se referă la o dacă reuniunea sa ∪ i ∈ I U I conține A .

Proprietatea Borel-Lebesgue pentru segmente: permiteți un segment [ a , b ] al liniei reale. Din orice suprapunere deschisă a acestui segment, se poate extrage o acoperire finită. Adică, pentru orice familie ( U i ) i ∈ I de seturi deschise care acoperă [ a , b ], există un subgrup finit J al lui I astfel încât subfamilia ( U i ) i ∈ J acoperă deja [ a , b ].

Pentru o dovadă a acestei proprietăți, a se vedea teorema Borel-Lebesgue , numită și teorema Heine-Borel.

Proprietatea Borel-Lebesgue este strâns legată de o proprietate a seriei mărginite de reali: din orice serie mărginită de reali, putem extrage o serie convergentă. Legătura dintre cele două proprietăți este explicată mai jos (în secțiunea „Teorema Bolzano-Weierstrass și compactitatea secvențială” ).

Din una sau alta dintre aceste proprietăți este posibil să se tragă unele consecințe importante asupra funcțiilor digitale. În special: imaginea unui segment printr-o hartă continuă nu este doar (conform teoremei valorilor intermediare ) un interval , ci este chiar un segment ( teorema limitelor ), iar funcția este apoi continuă uniform ( teorema lui Heine ) .

Proprietatea Borel-Lebesgue (precum și compactitatea secvențială) pot fi formulate ca o proprietate intrinsecă a spațiului topologic studiat (aici: spațiul [ a , b ] prevăzut cu topologia sa obișnuită), independent de faptul că - aici fie, eventual, inclus într-un spațiu topologic „mai mare” (aici: ℝ) și este astfel prevăzut cu topologia indusă . În acest sens, noțiunea de „parte compactă” (a unui spațiu topologic) diferă fundamental de cea, de exemplu, a „  părții închise  ”.

Axioma Borel-Lebesgue și definiția generală a compactelor

Se spune că un spațiu topologic E este cvasicompact dacă satisface axioma Borel-Lebesgue  : din orice acoperire deschisă a lui E , putem extrage o acoperire finită. Se spune că spațiul este compact atunci când este separat în sensul lui Hausdorff (T 2 ). Se spune că o parte K a lui E este (cvasi) compactă dacă K prevăzută cu topologia indusă este (cvasi) compactă.

Pentru ca E să fie cvasicompact, este suficient ca orice suprapunere a lui E prin deschiderile unei baze fixe să aibă o acoperire finită.

Demonstrație

Să B o bază E verificarea acestei ipoteze și ( U i ) o acoperire deschisă arbitrar E . Notă C toate deschise O ∈ B inclus în cel puțin o U i și arată că C acoperă E . Deoarece B este o bază, fiecare U i este o uniune deschisă O ∈ B , și chiar O ∈ C de la O ⊂ U i , deci fiecare U i este inclus în uniunea tuturor O ∈ C , astfel încât întâlnirea E a lui U i este de asemenea, prin urmare , C acoperă bine e . Prin ipoteza B , C are apoi o acoperire sub finită F . Pentru fiecare O ∈ F , dacă notăm i ( O ) unul dintre i pentru care O ⊂ U i , familia ( U i ( O ) ) O ∈ F este o acoperire finită a ( U i ).

Este chiar suficient ca acesta să fie cazul unei prebază ( cf. Proprietățile prebazelor , teorema lui Alexandru ).

Prin trecerea la complemente, proprietatea Borel-Lebesgue este echivalentă cu: dacă ( F i ) i ∈ I este o familie de închise astfel încât ∩ i ∈ I F i = ∅, atunci putem extrage o familie finită ( F i ) i ∈ J , cu J ⊂ I , astfel încât ∩ i ∈ J F i = ∅. Sau din nou, prin contrapunere: dacă ( F i ) i ∈ I este o familie închisă din care orice subfamilie finită are o intersecție non-goală, atunci ∩ i ∈ I F i este non-goală. În mod echivalent: orice familie non-vidă, stabilă, închisă, non-goală, prin intersecții finite, are o intersecție non-goală.

Un spațiu topologic X este cvasicompact dacă (și numai dacă) intersecția oricărui lanț non-gol al non-golului închis al lui X este ne-gol.

Demonstrație

• Numai dacă: imediat, deoarece orice lanț este stabil prin intersecții finite.
• Dacă: fie X un spațiu în care intersecția oricărui lanț de non-gol închis este non-gol, ( F i ) i ∈ I o familie non-goală de non-gol închis a lui X stabilă prin intersecții finite și F intersecția sa. Este vorba de a arăta că F nu este gol. Notă M mulțimea tuturor închis nevidă G din X astfel încât pentru orice i ∈ I , G ∩ F i nu este gol și conține F . Toate F i aparțin lui M , ceea ce este, prin urmare, non-gol. Prin ipoteză X , orice șir de elemente nevide M are intersecția unui element M . În conformitate cu lema lui Zorn , M are, prin urmare, cel puțin un element minim G pentru incluziune. Acum M este stabil prin intersecție cu fiecare F i, deci conține tot G ∩ F i . Prin minimalitate, G este, prin urmare, inclus în toate F i și, prin urmare, în F , ceea ce dovedește că F nu este gol.

NB: În terminologia anglo-saxonă, definiția este ușor diferită. Cu excepția cazului în care se specifică altfel, compactul de limbă engleză este aproape compact de limbă franceză (vorbitorii de limba engleză specifică „Hausdorff compact” dacă doresc separarea). Prin urmare, nu toate proprietățile se aplică în general, cu excepția presupunerii că spațiul este separat.

Definiție prin teoria filtrelor

Un spațiu topologic separat este compact dacă și numai dacă pentru orice filtru F pe E , există un filtru mai fin decât F care converge, cu alte cuvinte dacă converge orice ultrafiltru pe E sau dacă orice secvență generalizată are cel puțin o valoare de d ' adeziune , cu alte cuvinte o subsecvență generalizată convergentă. Această definiție echivalentă este rar utilizată. Este deosebit de adecvat pentru a demonstra că orice produs compact este compact .

În orice spațiu cvasicompact, un filtru care are un singur punct aderent converge către acest punct; într-un spațiu compact și, prin urmare, separat, această condiție suficientă de convergență este evident necesară.

Exemple

• Orice spațiu finit este cvasicompact, deoarece are doar un număr finit de deschideri.
• Într-un spațiu separat, având în vedere o secvență convergentă, setul format din termenii secvenței, precum și din limită este compact. De fapt, din orice acoperire deschisă, poate fi extrasă o deschidere care conține limita; deoarece există doar un număr finit de termeni în afara acestei deschideri, este ușor să găsiți o acoperire finită.
• Orice ansamblu furnizat cu topologia co - finisată este cvasicompact.
• Setul Cantor este compact, așa cum este închis de la compact [0, 1].
• Hilbert cub este compact, ca produs al unei ( numărabil ) familie de copii ale compactului [0, 1].

Proprietăți

Compact și închis

• Într-un spațiu separat , două părți compacte separate sunt întotdeauna incluse în două deschideri separate.
• Orice parte compactă a unui spațiu separat este închisă.
• Orice parte închisă a unui spațiu (aproape) compact este (aproape) compactă.

Putem deduce cu ușurință din cele două proprietăți anterioare că într-un spațiu separat, orice intersecție a unei familii de compacte ne-goale este compactă.

Într-un spațiu cvasicompact, intersecția oricărei secvențe descrescătoare de non-gol închis este non-goală, prin urmare:

• „  Teorema compactelor imbricate  ”: în orice spațiu topologic, intersecția oricărei secvențe descrescătoare de compacte non-goale este (o compactă) non-goală
  (considerând aceste compacte ca fiind închise ale primului dintre ele).

NB: majoritatea acestor proprietăți nu se extind la cazul nedepărtat.

Contra-exemple

• în perechea {0, 1} cu topologia grosieră , {0} și {1} sunt compacte, dar nu sunt închise;
• în produsul acestei perechi după ℝ (cu topologia sa obișnuită ), {1} × [–1, 1] și ({0} × [–1, 0]) ∪ ({1} ×] 0, 1]) sunt canonic homeomorfi la [–1, 1] prin urmare compacte (dar nu închise) și intersecția lor, {1} ×] 0, 1], nu este nici măcar cvasicompactă;
• același exemplu arată că compactitatea nu este păstrată de ansamblurile finite (doar cvasicompactitatea este).

• Spațiul compact este normal ,

ceea ce face posibilă perfecționarea teoremei compactelor imbricate:

• Orice intersecție a unei secvențe descrescătoare a conectate compactelor este conectat.

Demonstrarea acestor două proprietăți

• Un spațiu compact este normal  : într-un spațiu compact E , să fie A , B două închise disjuncte. Din proprietățile de mai sus, A și B sunt apoi două compacte disjuncte și E este separată, astfel încât A și B sunt incluse în două deschideri disjuncte, ceea ce dovedește că E este normal.
• Orice intersecție a unei secvențe descrescătoare de compacte conectate este conectată  : fie ( F n ) o secvență descrescătoare de compacte; să presupunem că intersecția sa K nu este conectată. Sunt astfel două închise F și G din F 0 ca F ⋂ K și G ⋂ K nu sunt goale și complementare K . Normalitatea de F 0 , atunci există două disjuncte deschise U și V din F 0 care conțin F ⋂ K și G ⋂ K . Notă W uniunea dintre aceste două deschise și G n închisă F n \ W . G n formează o secvență descrescătoare a compactelor intersecție goale, astfel încât unul dintre G n este gol. F n corespunzătoare este apoi inclusă în disjuncte W = U ⋃ V . Deoarece acest F n întâlnește fiecare dintre cele două linii deschise U și V , nu este conectat, ceea ce dovedește contrapunerea propoziției.

Alte proprietăți

Un spațiu vectorial normat real este de dimensiune finită dacă și numai dacă compactele sale sunt delimitate.

Produsul cartezian al compactelor, prevăzut cu topologia produsului , este compact.

Mai exact: orice produs cvasicompact este cvasicompact; acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema lui Tykhonov , este echivalent cu axioma de alegere .

Orice parte discretă și închisă a unui cvasicompact este terminată.

Kuratowski -Mrówka Teorema : Un spațiu separat X este compact dacă și numai dacă pentru orice spațiu Y , proiecția p Y  : X × Y → Y este o hartă închisă .

Mai general, un spațiu X este cvasicompact dacă și numai dacă satisface această proprietate.

Demonstrație

• Dacă X este cvasicompact, proiecția p Y  : X × Y → Y este închisă pentru toate Y  : vezi „  Lema tubului  ”.
• Dimpotrivă, să presupunem că proiecția p Y  : X × Y → Y este închisă pentru toate Y și arată că X este cvasicompact. Sau ( U i ) i ∈ I o acoperire deschisă a X . Notă
  • ∞ un element arbitrar care nu aparține lui X ,
  • Y unirea disjunctă a lui X și singletonul {∞},
  • E mulțimea părților lui X care sunt reuniuni ale unui număr finit de U i ,
  • B mulțimea părților lui Y care fie nu conțin ∞, fie sunt complementare în Y a unui element al lui E ,
  • Δ diagonala X ( adică d. Setul de perechi ( x , x ) când x se execută X ), care este o parte a X × X , astfel X x Y .

Este ușor să verificați dacă B formează baza unei topologii pe Y și aplicând ipoteza în acest spațiu topologic Y  : imaginea p Y închis Δ este un Y închis . Mai mult, p Y ( ∆ ) (care conține X ) nu conține ∞ (deoarece X × {∞} este inclus într-o deschidere disjunctă a lui ∆: uniunea lui U i × ( Y \ U i )). Acest lucru dovedește că {∞} este deschisă în Y . Deducem că X aparține lui E , care concluzionează.

Rezultă că orice aplicare a unui grafic închis al oricărui spațiu într-un spațiu cvasicompact este continuă.

Demonstrație

Fie f  : A → B cu B quasicompact și Gr ( f ) închis în A × B și fie F a B închis . Apoi , f -1 ( F ) este închisă A , ca imagine a închis ( A × F ) ∩Gr ( f ) prin cererea este închisă p A  : A × B → A .

Compacitate și continuitate

• Imaginea unui compact, prin aplicarea continuă a valorilor într-un spațiu separat, este compactă.
  Această proprietate permite să prezinte extrema globală pentru funcții continue cu valori reale . Iată câteva exemple:
  • teorema limitei (sau teorema Weierstrass ): „orice hartă continuă a unui segment real din ℝ este mărginită și își atinge limitele” (alăturată teoremei valorilor intermediare , asigură că această imagine este de fapt un segment);
  • Problema punctului lui Fermat . Dat fiind un triunghi ABC, se cere să se demonstreze că există un punct M astfel încât suma distanțelor AM + BM + CM este minimă. Observăm mai întâi că este inutil să caute M punctele prea departe A, B, C . Considerarea hărții continue M ↦ AM + BM + CM pe un disc închis cu o rază suficient de mare permite aplicarea teoremei: există un minim global. Această observație poate servi ca punct de plecare pentru o construcție explicită;
  • distanța de la un punct la un punct închis de ℝ n . Fie F o parte închisă neocupată a lui ℝ n și x un punct al lui ℝ n . Este vorba de a demonstra că există un punct f al lui F mai aproape de x decât toate celelalte. Din nou, nu are rost să caute f prea departe de x . Prin urmare, ne putem limita la intersecția lui F și a unei bile închise, care constituie un compact conform teoremei Borel-Lebesgue și putem introduce funcția distanță la x , care este continuă;

• caracter isoperimetric al unui poligon regulat , o întrebare deschisă încă din antichitate. Obiectivul este de a afla care poligon cu latură n are cea mai mare suprafață, pentru un anumit perimetru . Raționamentul geometric destul de simplu arată că singurul candidat posibil este poligonul obișnuit, rezultat demonstrat încă din Grecia antică. Cu toate acestea, existența unei soluții la această întrebare a rămas deschisă până la al XIX - lea  secol.
  Pentru a înțelege natura probei, cel mai simplu mod este să luați în considerare cazul triunghiului, ilustrat în figura din dreapta. Triunghiurile considerate sunt toate de perimetru 3, sunt identificate cu o pereche ( c , φ) unde c denotă lungimea unei laturi și φ unghiul dintre două laturi, dintre care una este cea a lungimii c . Funcția f este aceea care, cu un cuplu, asociază suprafața triunghiului. Este necesar doar să se studieze aria în care c este între 0 și 3 ⁄ 2 și φ între 0 și π. Această zonă este un compact de ℝ 2 . Harta f este continuă, deci atinge maximul, în acest caz la punctul (1, π ⁄ 3 ). Existența acestui maxim a fost „veriga lipsă” pentru o demonstrație completă.
  Pentru triunghi, o mică analiză poate demonstra la fel de ușor rezultatul. Pentru cazul general al poligonului cu n laturi, nu este foarte dificil să construim o dovadă similară cu cea prezentată aici, grație noțiunii de compact. Soluția analitică, pe de altă parte, este foarte grea. O dovadă detaliată este prezentată în articolul „  Teorema izoperimetrică  ”.

• Un corolar al imaginii continue a unei teoreme compacte este:
  Orice aplicare continuă a unui spațiu compact într-un spațiu separat este închisă . În special, dacă este bijectiv, atunci este un homeomorfism . Mai mult,
  din legăturile dintre compact și închis se deduce imediat că o astfel de aplicație este chiar curată .
• Pentru orice aplicație continuă f a unui spațiu metric compact X într-un spațiu separat, compactul f ( X ) este metrizabil (de exemplu: imaginea oricărei căi dintr-un spațiu separat este metrizabilă). Datorită unei caracterizări generale a metrizabilității imaginii unui spațiu metric printr-o hartă continuă închisă, avem chiar echivalența: un spațiu metric X este compact dacă și numai dacă toate imaginile sale continue separate sunt metrizabile.

Teorema Bolzano-Weierstrass și compactitatea secvențială

Într-un spațiu compact, orice parte infinită are cel puțin un punct limită . Mai general, orice cvasi - compact spațiu X este numărabil compact , adică orice parte infinită a X are cel puțin un punct de acumulare sau chiar că, în X , orice secvență are cel puțin o valoare de aderență . Conversația este falsă în general, dar este adevărată dacă spațiul este metrizabil  : atunci când K este un spațiu metrizabil (separat automat), teorema Bolzano-Weierstrass afirmă că K este compact dacă și numai dacă este secvențial compact , c 'adică, dacă, în K , orice secvență are o subsecvență convergentă .

Primul ordinal nenumărat (furnizat cu topologia comenzii ) și linia lungă sunt secvențial compacte , dar nu compact (ele sunt totuși local compact ). În schimb, spațiul produsului [0, 1] ℝ (adică spațiul hărților lui ℝ în [0, 1], dotat cu topologia convergenței simple ) și compactatul lui Stone-Čech din ℕ (adică spectrul algebrei ℓ ∞ de secvențe mărginite) sunt compacte dar nu secvențial compacte. Aceste patru spații sunt, prin urmare, compacte în mod considerabil și nu pot fi măsurate.

Note și referințe

1. Dacă nu specificați „ de familie nu este gol  “ , trebuie admis că , în acest context, intersecția unei familii goale de părți dintr - un spațiu X este egal cu X .
2. (în) Günter Bruns , „  O lemmă este dirijată de seturi și lanțuri  ” , Archiv der Mathematik , vol.  18, nr .  6,1967, p.  561-563 ( citește online ).
3. Un lanț de părți ale lui X este o familie de părți ale lui X ordonate total prin includere.
4. Bourbaki , TG I.60, Gustave Choquet , Curs de analiză, volumul II: Topologie , p.  35și Hervé Queffélec, Topologie , Dunod,2007, 3 e  ed. , p.  70.
5. Pentru o dovadă (folosind o generalizare a lemei tubului ), a se vedea, de exemplu, acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .
6. Pentru o dovadă, a se vedea de exemplu Jacques Dixmier , General Topology , PUF , 1981, 4.2.6 și 4.2.7, p.  53 , sau cursul Compacitate: primele proprietăți pe Wikiversitate .
7. Pentru o demonstrație, a se vedea, de exemplu, cursul Compacitate: primele proprietăți pe Wikiversitate .
8. Cu alte cuvinte: fiecare cvasicompact este considerabil compact .
9. Casimir Kuratowski, „  Evaluarea clasei boreliene sau proiective a unui set de puncte folosind simboluri logice  ”, Fundamenta Mathematicae , vol.  17, n o  1,1931, p.  249-272 ( citiți online ).
10. (în) S. Mrówka, „  compactitate și spații de produs  ” , Colocviu Mathematicae , vol.  7, n o  1,1959, p.  19-22 ( citește online ).
11. (ro) MM Choban , „Hărți închise” în KP Hart J.-I. Nagata și JE Vaughan, Enciclopedia topologiei generale , Elsevier,2004( ISBN  978-0-44450355-8 , citit online ) , p.  89(prin traducerea englezei compacte prin cvasi-compacta noastră ).
12. (în) James Munkres , Topologie , Prentice Hall ,2000, A 2 -a  ed. ( citiți online ) , p.  171.
13. Această dovadă este extinsă la funcțiile multifuncționale din articolul „  Semicontinuitate  ”.
14. Pentru o demonstrație, consultați de exemplu cursul Compacitate și aplicații continue de pe Wikiversitate .
15. (în) Stephen Willard , „  Spațiile metrice ale tuturor ale căror descompuneri sunt metrice  ” , Proc. Amar. Matematica. Soc. , vol.  21,1969, p.  126-128 ( citește online ).
16. (în) Kiiti Morita și Sitiro Hanai , "  Cartografii închise și spații metrice  " , Proc. Japonia Acad. , vol.  32, n o  1,1956, p.  10-14 ( citește online ).
17. Deducem că într-un astfel de spațiu, orice secvență care are o singură valoare de aderență converge către această valoare.

Bibliografie

• N. Bourbaki , Elemente de matematică, cartea III: Topologie generală [ detaliu ediții ], capitolul I
• Jean-Paul Pier , „  Geneza și evoluția ideii de compact  ”, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications , vol.  14, n o  21961, p.  169-179 ( citește online )
• Jean-Paul Pier , „  Istoria noțiunii de compactitate  ”, Historia Mathematica , vol.  7, n o  4,Noiembrie 1980, p.  425-443 ( DOI  10.1016 / 0315-0860 (80) 90006-3 )
• Georges Skandalis , topologiei și analiză 3 - lea  an , Dunod, coll. „Sciences Sup”, 2001
• Claude Wagschal, Topologie și analiză funcțională , Hermann, col. „Metode”, 1995

Articole similare

• Compactificare
• Element compact  (în) , în teoria ordinii
• Spațiu generat compact
• Spațiul Lindelöf
• Spațiu compact local
• Space métacompact  (ro)
• Spațiul noetherian
• Spațiu paracompact
• Spațiu precompact
• Spațiu pseudo-compact  (în)
• Piesă relativ compactă