În topologie , dacă ( u n ) n ∈ℕ este o secvență cu valori într-un set E , o valoare a aderenței secvenței ( u n ) este un punct al lui E în apropierea căruia se acumulează o infinitate de termeni ai secvenței. Pentru a da un sens matematic acestui lucru, este necesar să se poată măsura proximitatea, care necesită furnizarea lui E cu o topologie . Noțiunea de valoare a aderenței depinde atunci de topologia aleasă. Într-un spațiu în care orice punct admite o bază numărabilă de vecinătăți (acesta este cazul în special într-un spațiu metric , cum ar fi ℝ sau ℂ ) valorile aderenței unei secvențe sunt limitele secvențelor sale extrase . Această din urmă proprietate este adesea luată ca o definiție a unei valori de aderență, dar nu este, totuși, echivalentă cu definiția cea mai generală.
Fie ( u n ) n ∈ℕ o secvență reală și y un număr real, spunem că y este o valoare de adeziune a lui ( u n ) dacă
pentru toate realele , setul este infinitsau, care este echivalent, dacă
pentru toate reale , .Faptul că ℝ este un spațiu metric face posibilă caracterizarea mai simplă a valorilor aderenței unei secvențe reale ( vezi mai jos ): y este o valoare a aderenței lui ( u n ) dacă și numai dacă
există o subsecvență a lui ( u n ) care converge la y .Noțiunea de valoare de adeziune a unei secvențe într-un spațiu topologic generalizează cea a valorii de adeziune a unei secvențe reale sub proprietatea sa de formulare 2 , ceea ce însemna, spus informal, că fiecare interval] y - ε, y + ε [conține "un infinitate de termeni "a continuării.
Să E un spațiu topologic, ( u n ) n ∈ℕ o serie de elemente de E și este un membru E . Se spune că există o valoare de adeziune a secvenței ( u n ) în cazul în care , pentru fiecare cartier V al y , există un număr infinit de indici n astfel încât u n aparține V . Acest lucru este echivalent cu a spune că y este în aderența fiecăruia dintre mulțimi { u n , n ≥ N }. Intuitiv, următorul se întoarce cât de aproape ne dorim de valoarea de adeziune pentru indici arbitrari mari. (Aceasta este o condiție mai puternică decât cererea ca y să fie aderent la imaginea secvenței, adică la { u n , n ≥ 0 }.)
O condiție în mod evident , suficientă , dar nu este necesar este ca orice vecinătate a lui y conține o infinitate de valori ale secvenței, care este de a spune că y este un punct de acumulare a imaginii.
O altă condiție suficientă este existența unei subsecvențe de ( u n ) care converge la y . Această ultimă condiție este, de asemenea, necesară dacă spațiul E este reglabil sau mai general cu baze numărabile ale vecinătăților .
Mai general, dacă f este o hartă a unei mulțimi A într-un spațiu topologic E și dacă ℱ este un filtru pe A , spunem că un element y al lui E este o valoare de adeziune de f după ℱ dacă este aderent la filtrul de imagine , adică dacă y aderă la imagini cu f a tuturor elementelor lui ℱ. Cazul secvențelor corespunde filtrului Fréchet de pe ℕ. Un alt caz important este cel al filtrului vecinătăților unui punct a din A , dacă A este dotat cu o topologie: atunci spunem că y este o valoare a aderenței lui f în punctul a (dacă a este doar un punct aderent la A într-un spațiu topologic ambiental, înlocuim vecinătățile lui a cu urmele lor de pe A ).
Exemplele arată că setul de valori de aderență ale unei secvențe poate fi gol sau poate avea unul sau mai multe elemente, sau chiar un infinit.
Acest set F este întotdeauna închis . Într-adevăr, formularea setată a definiției este
(unde A denotă aderența lui A ), ceea ce arată că F este închis, ca o intersecție a închisului.
Într-un spațiu compact , acest set nu este întotdeauna gol și dacă este redus la un element y, atunci secvența converge la y . Într -un spațiu cvasicompact , această lipsă de vid și această condiție suficientă de convergență se extind la orice filtru.
În cazul unei secvențe cu valori în ℝ , cel mai mic și cel mai mare element al acestei închise sunt respectiv limitele inferioare și superioare ale secvenței.