Isoperimetrie

În geometria euclidiană , isoperimetria este inițial studiul proprietăților formelor geometrice în plan care împart același perimetru , care apoi se generalizează în alte spații euclidiene .

În special, cea mai clasică problemă constă în determinarea formei geometrice plane care îi maximizează aria cu un perimetru fix. Răspunsul este intuitiv, este discul , dar, în ciuda aspectului său inofensiv, această problemă necesită teorii sofisticate pentru a obține o demonstrație riguroasă (o particularitate pe care o împărtășește, de exemplu, cu teorema lui Jordan, care indică faptul că o buclă trasă fără încrucișare împarte planul în două părți). Din acest motiv, problema isoperimetrică este uneori simplificată prin limitarea suprafețelor autorizate, de exemplu prin restrângerea la doar patrulatere sau triunghiuri , care oferă apoi pătratul și triunghiul echilateral . În general, poligonul cu n laturi având aria cea mai mare, pentru un perimetru dat, este cel care este cel mai aproape de cerc  : poligonul regulat .

Isoperimetria este generalizată la diferite geometrii. De exemplu, în cazul unui semiplan , zona suprafeței maxime pentru un perimetru dat este semidisc. În dimensiunea 3, este vorba de găsirea solidului cu cel mai mare volum, învăluit într-o suprafață fixă ​​de măsurare; bula de săpun , care rezolvă problema opusă prin „căutarea“ pentru a minimiza suprafața prin care se înfășoară un volum dat de aer, indică soluția: a sferei .

Acest concept dă naștere la o familie de teoreme numite teoreme isoperimetrice , la creșteri cunoscute sub numele de inegalități isoperimetrice , precum și la un raport, numit coeficient isoperimetric . În dimensiunea 2, inegalitatea izoperimetrică indică faptul că o suprafață cu perimetrul p și aria a satisface creșterea  ; termenul din stânga este coeficientul isoperimetric, care este egal cu 1 numai în cazul discului. 4πlap2≤1{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi a} {p ^ {2}}} \ leq 1}

Dacă originea acestei întrebări are o vechime de cel puțin 2900 de ani, abia în 1895 , folosind metode derivate din teorema lui Minkowski, problema a fost definitiv rezolvată în forma sa veche. Aceste metode fac posibilă demonstrarea teoremei izoperimetrice și generalizarea acesteia la dimensiuni superioare în cazul geometriei euclidiene .

Acest articol tratează doar aspectele de bază ale acestei întrebări. Unele răspunsuri, folosind instrumente matematice mai sofisticate, sunt propuse în articolul Teorema izoperimetrică .

Fragmente de istorie

Legenda spune că orașul Cartagina a fost fondat în814 î.Hr. J.-C.de prințesa feniciană Elissa, poreclită Dido . Ea a cerut regelui Numidiei Iarbas acordarea de terenuri pentru a se stabili acolo. Iarbas, reticent, i-a acordat dreptul de a alege o bucată de pământ care să poată conține pielea unui bou . Dido a tăiat pielea într-o bandă subțire, care a devenit o curea lungă de 4 km lungime. Avea această curea întinsă într-un semicerc, ale cărui două capete atingeau coasta, chiar acolo unde se afla. Regina găsise în mod intuitiv soluția la problema izoperimetrică într-un semiplan euclidian . Această problemă este rezolvată atunci când se găsește cea mai mare suprafață posibilă, pentru un anumit perimetru. Semicercul este de fapt curba pe care trebuie să o urmeze cureaua pentru a delimita cea mai mare suprafață posibilă, în acest caz particular.

Metoda de măsurare a unei zone folosind perimetrul acesteia era comună în Grecia antică . Homer indică faptul că orașul Troia face 10.200 de  pași , indicând că pentru a merge în jur este nevoie de o plimbare de 10.200 de pași. Soluția problemei isoperimetric în planul Euclidian este cunoscut de unii pentru V - lea  secol  î.Hr.. AD , cel puțin pentru cazul poligonului cu n laturi. Poartă denumirea de teoremă isoperimetrică . Pe vremea grecilor, nu toată lumea părea să fie conștientă de acest rezultat și de consecințele sale. Proclos ( 412 - 495 ) menționează cazul înșelăciunilor topografilor datând din această perioadă. Terenul a fost împărțit în diferite parcele cu același perimetru, dar suprafețe diferite. Topografii, responsabili de partajare, au obținut cele mai mari parcele. Înșelăciunea a fost descoperită la momentul recoltării, a cărei abundență este proporțională cu suprafața și nu cu perimetrul.

Theon din Alexandria ( 335 - 405 ) și Pappus IV - lea  secol atribuită Zenodorus II - lea  secol  î. Î.Hr. primele demonstrații. El demonstrează că dintre toate poligoanele cu n laturi și același perimetru, numai cel obișnuit este candidat pentru a fi răspunsul la problema isoperimetrică. De asemenea, descoperă că discul unui anumit perimetru are o suprafață mai mare decât cea a oricărui poligon regulat. El ar fi arătat, de asemenea, că sfera este solidul având un volum mai mare decât orice poliedru de aceeași suprafață.

Matematicienii greci nu au mijloacele necesare pentru a depăși acest lucru. Demonstrațiile lor rămân parțiale, chiar dacă autorii lor nu sunt conștienți de aspectul incomplet al probelor. De asemenea, nu au instrumente matematice care ar fi făcut posibilă mersul mai departe. De matematicieni arabi însușesc cunoștințele grecilor cu privire la această problemă. Abū Ja'far al-Khāzin a scris un tratat care rezumă toate cunoștințele timpului său despre isoperimetrie. Ei dezvoltă mijloacele de a merge mai departe. Nasir al-Din al-Tusi , un matematician al XIII - lea  secol , dezvoltat în lucrarea sa tratat de patrulaterului , suficient de trigonometrie să prezinte probe completă în cazul triunghiuri sau dreptunghiuri.

Abia până la matematica europeană a  secolului al XIX- lea pentru progrese suplimentare. În 1836 , Jakob Steiner a obținut un prim nou rezultat. Sub rezerva admiterii existenței unei soluții în dimensiunea 2, atunci această soluție este neapărat discul. Pentru o dovadă completă în dimensiunea 2, trebuie să așteptăm lucrările lui Karl Weierstrass și Hermann Minkowski  ; devine riguros în jurul anului 1895 . Această parte a poveștii este tratată în articolul Teorema izoperimetrică .

Definiții și primele proprietăți

Dimensiunea 2

Fie P n un poligon cu n laturi, unde n reprezintă un întreg mai mare de 2, p perimetrul său și a n aria sa. În acest caz particular, teorema izoperimetrică este exprimată în următoarea formă:

Teorema izoperimetrică pentru un poligon  -  aria lui P n este mai mică decât cea a unui poligon regulat cu n laturi și perimetru p . Un disc de perimetru p are o suprafață strict mai mare decât cea a lui P n .

Această teoremă poate fi exprimată sub forma unei inegalități:

Inegalitate izoperimetrică pentru un poligon  -  Avem următoarea inegalitate:

4πlanu<4nubronzat⁡πnulanu≤p2.{\ displaystyle 4 \ pi a_ {n} <4n \ tan {\ frac {\ pi} {n}} a_ {n} \ leq p ^ {2}.}

Această proprietate este foarte generală; rămâne valabil pentru orice suprafață de suprafață a , care are o rectifica muchie de lungime p , adică marginea este o curbă care are o lungime finită.

Teorema izoperimetrică într-un spațiu euclidian de dimensiunea 2  -  Zona a este mai mică decât cea a discului cu același perimetru p , ceea ce dă naștere creșterii următoare, numită inegalitate izoperimetrică . Egalitatea apare numai dacă suprafața este un disc.

p2-4πla≥0.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq 0.}

Această teoremă dă naștere unei definiții:

Isoperimetric câtul  -  câtul q definită prin următoarea egalitate, se numește câtul isoperimetric:

q=4πlap2.{\ displaystyle q = 4 \ pi {\ frac {a} {p ^ {2}}}.}

Putem interpreta acest coeficient ca pătratul raportului dintre raza cercului având aceeași zonă pe raza cercului având același perimetru. Inegalitatea izoperimetrică este echivalentă cu a spune că q este mai mic de 1, cazul egalității se produce numai dacă suprafața este un disc.

Dimensiunea 3

În dimensiunea 3, nu se poate aborda din ce în ce mai precis sfera prin poliedre regulate convexe . Există doar 5, numite solide platonice . Rezultatul general rămâne totuși adevărat:

Teorema izoperimetrică într-un spațiu euclidian tridimensional  -  Fie un solid măsurabil în sensul că Lebesgue are o margine măsurabilă, volumul său este mai mic decât cel al mingii a cărei sferă are aceeași zonă.

Notă : Aici marginea solidului este o suprafață precum sfera este marginea mingii.

Inegalitatea izoperimetrică se exprimă folosind un coeficient isoperimetric q . Acesta indică faptul că acest coeficient este întotdeauna mai mic de 1, iar cazul egalității are loc doar pentru sferă. Coeficientul q se exprimă în următoarea formă, dacă v reprezintă volumul solidului și s aria marginii acestui solid:

q=36πv2s3.{\ displaystyle q = 36 \ pi {\ frac {v ^ {2}} {s ^ {3}}}.}

Această formulă este comentată prin exemplul icosaedrului, în urma articolului.

Rezultate de bază

Preambul

Diagrama din stânga prezintă patru figuri, dintre care trei sunt poligonale și toate au același perimetru. Nu este întotdeauna ușor să-l detectați imediat pe cel cu cea mai mare suprafață. Istoria arată chiar că pentru unii greci, ideea că două regiuni, delimitate de două curbe de aceeași lungime, ar putea avea zone diferite a fost contra-intuitivă.

Dacă, în cazul general, dovada este suficient de complexă pentru a fi necesară aproape 3.000 de ani de efort, tratarea numai a cazului poligoanelor este mai simplă. Soluțiile elementare au fost cunoscute încă din Antichitate, chiar dacă rămân parțiale. Acestea sunt prezentate aici într-un limbaj modern.

Litera n desemnează un număr întreg mai mare de 2 și p un număr real strict pozitiv. Întrebarea care trebuie rezolvată este să găsim, dacă există, poligonul cu n laturi și perimetru p , având aria cea mai mare. Rețineți că este suficient să căutați numai în poligoane convexe . Termenul convex aici înseamnă că o bandă de cauciuc care înconjoară poligonul este întotdeauna în contact cu marginea sa. Luați în considerare, de fapt, un poligon neconvex P 1 , de exemplu cel ilustrat în figura din dreapta, în albastru. Învelișul său convex , adică figura având pentru margine cea dată de o bandă elastică care înconjoară poligonul P 1 , este un nou poligon P 2 , de această dată convex. Poligonul P 2 corespunde celui care conține zonele albastre și verzi din figură. Suprafața sa este strict mai mare și perimetrul său strict mai mic. O extindere a unui raport bine ales, neapărat mai mare de 1, aplicat la P 2 definește un nou poligon P 3 cu același perimetru ca cel al lui P 1 . Suprafața P 1 este strict mai mică decât cea a P 2 , în sine strict mai mică decât cea a P 3 . Poligonul P 3 are același perimetru ca P 1 și are o zonă strict mai mare. Deducem că P 1 nu este un candidat pentru a răspunde la problema izoperimetrică.

Patrulater

Acest caz corespunde celui care poate fi rezolvat pe deplin fără alte cunoștințe decât cele ale matematicienilor greci.

Cazul patrulaterului  -  patrulaterul unic cu perimetrul p și aria maximă pentru acest perimetru este pătratul cu latura p / 4.

Suprafața unui pătrat este egal cu p cu 2 /16 ani. Numitorul 16 este mai mare decât 4π. Deducem, dacă a 4 este aria unui patrulater al perimetrului p  :

la4≤p216<p24π.{\ displaystyle a_ {4} \ leq {\ frac {p ^ {2}} {16}} <{\ frac {p ^ {2}} {4 \ pi}}.}

Dovada folosește o lemă, utilă pentru problema izoperimetrică a oricărui poligon:

Lema 1  -  Dintre toate triunghiurile cu baza AB , cu ultimul vârf C și cu perimetrul p , cel astfel încât distanța AC este egală cu CB are o zonă strict mai mare decât toate celelalte. Triunghiul este atunci neapărat isoscel .

Demonstrație

În primul rând, lema trebuie dovedită, este coloana vertebrală a multor dovezi din acest articol.

• Dintre toate triunghiurile cu baza AB , cu ultimul vârf C și cu perimetrul p , cel astfel încât distanța AC este egală cu CB are o zonă strict mai mare decât toate celelalte:

Triunghiul lemmei este ilustrat în negru în figura din stânga. Se presupune că are două laturi de lungime inegală, aici AC și BC . Fie h înălțimea triunghiului, în raport cu baza AB , ilustrată în verde în figură și D punctul la aceeași înălțime ca C și situat pe linia perpendiculară pe AB și care intersectează AB în mijlocul său. Δ este distanța dintre D și C . Prin presupunere, lungimea δ nu este zero, altfel AC și BC ar avea aceeași lungime.Primul pas constă în arătarea că triunghiul ABD are aceeași zonă cu triunghiul inițial ABC și un perimetru strict mai mic. Deoarece aria acestor două triunghiuri este egală cu produsul distanței dintre A și B și jumătate din h , aceste două zone sunt într-adevăr egale. Rămâne să arătăm că perimetrul BDA este mai mic decât cel al BCA . Este suficient pentru aceasta să se aplice principiul Fermat . O rază de lumină originară din punctul A , reflectând pe o oglindă prezentată în dreapta Δ violet (corespunzând liniei paralelă cu AB și care trece prin C și D ) și iluminarea punctul B folosește calea cea mai scurtă, care trece prin D . Pentru a o demonstra, este suficient să se ia în considerare punctul E simetric al lui B față de axa Δ. Distanța dintre E și D este aceeași cu cea dintre B și D , deducem că distanța ADE este aceeași cu ADB . La fel, distanța ACE este aceeași cu ACB . Acum, este evident că ADE este mai scurt decât ACE , deoarece cele trei puncte A , D și E sunt aliniate. Al doilea pas este de a construi un triunghi ABF cu același perimetru și zonă mai mare decât triunghiul inițial. Considerăm punctul F , pe linia perpendiculară pe AB și care trece prin D (în verde pe figura din dreapta), și astfel încât lungimea celor două segmente AF și FB este aceeași cu cea a celor două segmente AC și CB . Deoarece triunghiul AFB și triunghiul ACB au același perimetru, strict mai mare decât cel al triunghiului ADB , punctul F este mai mare decât D , cu alte cuvinte AF este strict mai mare decât AD sau aria triunghiului AFB este strict mai mare decât cea a triunghi ADB . Zona suplimentară este afișată în roz. Am construit într-adevăr un triunghi AFB cu același perimetru ca ACB și cu o zonă strict mai mare, care pune capăt dovezii. De asemenea, se remarcă faptul că baza AB nu a fost modificată.

Odată ce această lemă a fost stabilită, pornim de la un patrulater Q convex , vârfurile ABCD și perimetrul p . Dacă acest poligon nu este un pătrat, vom arăta că pătratul perimetrului p are o suprafață strict mai mare. Pentru a ne atinge scopurile, este posibil să procedăm cu ajutorul unui diamant, care prezintă un pas al demonstrației.

• Dacă patrulaterul Q nu este un romb , există un romb Q 1 cu același perimetru și o zonă strict mai mare:

Acest pas este în sine împărțit în doi pași:Primul este prezentat în figura din stânga, Q este afișat în verde. Patrulaterul ABCD are în mod necesar două laturi adiacente de lungimi distincte, altfel ABCD ar fi un romb. Chiar dacă înseamnă modificarea ordinii literelor asociate fiecărui vârf, putem presupune întotdeauna că AB nu este egal cu BC . Folosim lema pentru a construi punctul B 1 . Triunghiul AB 1 C are un perimetru egal cu cel al ABC și este, de altfel, isoscel. Construim D 1 în același mod . Patrulaterul albastru are o zonă strict mai mare decât patrulaterul inițial și are o proprietate utilă pentru restul. Distanța AB 1 este egal cu B 1 C , este aceeași pentru AD 1 și D 1 C . Cu alte cuvinte, cele două lungimi D 1 AB 1 și B 1 CD 1 sunt ambele egale cu p / 2.Al doilea pas, arătat în dreapta, este analogul exact pe patrulaterul AB 1 CD 1 , dar de această dată pe triunghiurile D 1 AB 1 și B 1 CD 1 . Folosind patrulaterul albastru, acum construim roșu, notat A 1 B 1 C 1 D 1 . Lungimea laturii A 1 B 1 este jumătate din lungimea D 1 AB 1 sau p / 4. Acest raționament se aplică celor patru laturi, toate egale, arătând că patrulaterul roșu este un romb.Diamantul roșu, notat L, are o zonă mai mare decât patrulaterul albastru, ea însăși a unei zone strict mai mari decât cea a patrulaterului verde și toate au același perimetru. Dintr-un patrulater care nu este un romb, am construit într-adevăr un romb cu același perimetru și o zonă strict mai mare, care pune capăt demonstrației.

Pentru a termina, este suficient să arătăm că, dacă rombul L nu este un pătrat, atunci pătratul C , cu același perimetru, are o suprafață strict mai mare.

• Dintre romburile de perimetru p , pătratul este singurul a cărui suprafață este maximă:

Aria rombului este egală cu produsul bazei sale, aici lungimea lui A 1 D 1 , prin înălțimea sa. Definim punctul B 2 ca punctul la o distanță egală cu cea a lui A 1 B 1 și astfel încât A 1 D 1 și A 1 B 2 formează un unghi drept . Din rombul roșu al demonstrației anterioare, mergem la un romb albastru A 1 B 2 C 2 D 1 care se întâmplă să fie pătratul C al perimetrului p . Înălțimea acestui pătrat față de baza A 1 D 1 este strict mai mare decât cea a rombului L , dacă nu era un pătrat, ceea ce arată că aria pătratului este strict mai mare și încheie demonstrația.

Pe scurt, dacă Q nu este un romb, construim un romb L cu același perimetru și o zonă strict mai mare. Apoi, în cazul în care L nu este egală cu pătratul perimetrului p , vom vedea că zona L este strict mai mică decât cea a pătrat C . Această construcție dublă arată clar că pătratul C are o suprafață mai mare decât cele ale tuturor patrulaterelor de perimetru p și că, dacă un patrulater de perimetru p are aceeași zonă cu cea a pătratului C , se datorează faptului că acest patrulater este și un pătrat de perimetru p .

Orice poligon

Cazul poligonului arbitrar este tratat puțin diferit. Următoarea propoziție poate fi demonstrată folosind tehnici comparabile cu cea din paragraful anterior:

Cazul oricărui poligon  -  Un poligon cu n laturi, de perimetru p și suprafață maximă pentru acest perimetru este regulat .

Dacă a n indică aria poligonului regulat, avem inegalitățile izoperimetrice:

lanu≤p24nubronzat⁡(πnu)<p24π.{\ displaystyle a_ {n} \ leq {\ frac {p ^ {2}} {4n \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} <{\ frac {p ^ { 2}} {4 \ pi}}.}

O parte semnificativă a dovezii constă în stabilirea următoarei lemme, atribuite lui Zenodor. Calculul ariei poligonului regulat este opera lui Arhimede . Dacă ideile sunt vechi, formularea propusă aici este modernă, este total diferită de dovezile care ne-au fost raportate.

Lema 2  -  Dacă un poligon cu n laturi este o soluție a problemei izoperimetrice, unghiurile dintre cele două laturi care au același vârf sunt egale.

Demonstrație

Obiectivul este de a arăta că un poligon P cu n laturi și perimetru p nu are o suprafață maximă dacă nu este regulat. În ceea ce privește paragraful anterior și din aceleași motive, presupunem că P este convex. Prin urmare, este suficient să arătăm că fie părțile nu au toate aceeași lungime, fie sunt, dar unghiurile dintre două margini care împart același vârf nu sunt toate egale. Ceea ce împarte demonstrația în două părți. Primul rezultat este exprimat după cum urmează:

• Un poligon care are două muchii de lungimi distincte nu este o soluție a problemei izoperimetrice:

Presupunem că poligonul nostru P are două muchii de lungimi distincte. Observăm că este posibil să găsim două margini care împart același vârf. Într-adevăr, dacă toate muchiile care au același vârf au aceeași lungime, pas cu pas observăm că toate au aceeași lungime. Cazul studiat este ilustrat în figura din dreapta, triunghiul ACB , format din cele două margini de lungimi diferite este ilustrat în verde, se notează vârfurile acestuia. Cele două margini AB și CB care împart vârful sunt de lungimi diferite, Lema 1 din paragraful anterior arată că este posibil să se construiască un al doilea triunghi, ilustrat în roșu, cu aceeași bază AB și vârf D, cum ar fi triunghiurile ACB și ADB au același perimetru și astfel încât triunghiul roșu ADB are o zonă strict mai mare decât cea a verdelui.Poligonul P 1 , având aceleași vârfuri ca P , cu excepția lui C , care este înlocuit cu D, are un perimetru egal cu p și neschimbat. Într-adevăr, lungimea AC + CB este, prin construcție, egală cu lungimea AD + DB . In contrast, zona P 1 este strict mai mare decât P . Pentru a fi convins de acest lucru, este suficient să observăm că zona albastră nu este modificată. Pe de altă parte, zona verde scăzută este înlocuită de zona roșie, strict mai mare conform Lemei 1.

• Un poligon care are doar muchii de aceeași lungime, dar dintre care cel puțin două unghiuri diferă, nu este o soluție a problemei izoperimetrice:

Acum presupunem că unghiurile asociate vârfurilor nu sunt toate egale. Presupunem chiar, inițial, existența a două unghiuri α și β astfel încât β este strict mai mic decât α și că vârfurile lor asociate nu sunt adiacente, adică aceste două vârfuri nu formează o margine a poligonului. Acest lucru este ilustrat în figura din stânga, care permite în același timp să definească punctele A , B , C , D , M și N . După cum se arată în figură, distanțele δ și λ sunt respectiv cele ale lui AB și CD . Deoarece α este strict mai mare decât β, δ este strict mai mare decât λ.

Fără a modifica perimetrul lui P , construim un nou poligon P 1 , având același număr de vârfuri n , același perimetru, dar o zonă strict mai mare, care arată propunerea. Poligonul P 1 este afișat în dreapta.

Construcția triunghiurilor APB și CQD  : Considerăm un segment, în albastru în figura din dreapta, de lungime de 4 ori mai mare decât cel al unei muchii a lui P 1 . Acest segment are aceeași lungime ca suma lungimilor celor 4 muchii AM , MB , CN și ND . Această lungime este aleasă egală cu suma distanțelor dintre A și P , P și B , C și Q , Q și D . Astfel înlocuirea triunghiurilor verzi cu triunghiurile roșii nu modifică perimetrul poligonului.Fie r proporția δ / (δ + λ), împărțim segmentul în două părți, una cu proporția r și cealaltă dintre (1 - r ). Obținem astfel două segmente a căror sumă a lungimilor este egală cu de 4 ori cea a unei muchii și aceste două segmente sunt proporționale cu două segmente de lungimi δ și λ. Cele două segmente sunt împărțite în două părți egale, obținem 4 segmente, două de lungime numite c 1 și celelalte două se numesc c 2 . Ordinea este aleasă astfel încât c 1 să fie mai mare decât c 2 . Această diviziune este ilustrată printr-o metodă care face posibilă construirea ei cu o riglă și o busolă în figura din dreapta. Segmentul purpuriu are o lungime egală cu δ + λ.Să P punctul distanță c 1 din A și B și Q punctul distanță c 2 de C și D . Prin construcție, triunghiurile APB și CQD sunt isosceli, fiind mai mult asemănătoare. Într-adevăr, raportul distanțelor AB pe AP este prin construcție egal cu CD pe CQ . Există două opțiuni de puncte pentru P și Q , desigur le alegem pe cele care fac P 1 convex. Acum putem schimba cele două triunghiuri isoscele verzi cu două triunghiuri isoscele roșii fără a modifica perimetrul. Cele două triunghiuri izoscel roșii sunt similare, ceea ce nu este cazul triunghiurilor verzi, altfel unghiurile α și β ar fi egale. Acest caracter similar face posibil să se demonstreze că zona de P este strict mai mică decât cea a P 1 . Acesta este subiectul următoarei demonstrații. Compararea zonelor P și P 1  : Întrucât aria în albastru de pe primele două figuri ale acestei casete derulante nu a fost modificată, aceasta înseamnă a arăta că suma ariilor triunghiurilor verzi este mai mică decât suma ariilor triunghiurilor roșii.Pentru a compara zonele, le decupăm și le așezăm într-un dreptunghi. Să mergem mai întâi la dreptunghiurile roșii. Fie k 1 și k 2 să fie înălțimile lor. Dacă tăiem triunghiurile în funcție de înălțimea lor, obținem pentru fiecare două triunghiuri dreptunghiulare cu laturi de lungime k i , unde i variază de la 1 la 2. Le putem asambla pentru a forma dreptunghiuri, așa cum se arată în figura din dreapta, deoarece triunghiurile roșii sunt izoscele. Rețineți că cele două diagonale sunt aliniate deoarece triunghiurile sunt similare. Aceeași procesare pe triunghiurile verzi dă rezultatul arătat în stânga, dacă h 1 și h 2 denotă înălțimile celor două triunghiuri. Observăm că, de data aceasta, h 1 este mai mic decât k 1 , primul dreptunghi verde este mai aplatizat decât echivalentul său roșu. Într-adevăr, dacă k 1 ar fi mai mic decât h 1 , atunci k 2 ar fi și mai mic. Într-adevăr, λ este mai mic decât δ și cele două triunghiuri roșii sunt similare. Suma marginilor triunghiurilor roșii ar fi strict mai mică decât cea a marginilor triunghiurilor verzi, ceea ce nu este posibil, prin construcție aceste sume sunt egale. Putem observa în continuare că cele două diagonale ale triunghiurilor verzi au lungimea celei a marginii poligonului P 1 și că suma lor este egală cu suma diagonalelor dreptunghiurilor roșii. Deducem că h 1 + h 2 este strict mai mic decât k 1 + k 2 . Suprapunerea celor două figuri dă diagrama din dreapta jos. Există o zonă verde care nu este acoperită de zona roșie (Zonele acoperite de dreptunghiurile roșii și verzi sunt afișate în albastru). Deoarece δ este strict mai mare decât λ, este suficient să trageți această zonă spre stânga, astfel încât verdele să fie complet acoperit. Rămâne apoi o zonă roșie neacoperită, în dreapta sus, care arată că aria triunghiurilor roșii este strict mai mare decât cea a triunghiurilor verzi.

Acum ne putem ocupa de cazul general al paragrafului. Adică cazul în care unghiurile α și β sunt una lângă alta.

• Un poligon neregulat nu este niciodată o soluție a problemei izoperimetrice:

Pentru n egal cu 4, găsim o dovadă în paragraful anterior. Pentru n egal cu 3, un triunghi având 3 laturi egale are în mod necesar cele trei unghiuri egale. Dacă n este mai mare sau egal cu 5, dovada anterioară arată că, în cazul unui poligon regulat, unghiul asociat cu primul vârf este egal cu cel asociat cu orice vârf, cu excepția celui de-al doilea. Unghiul asociat cu al patrulea vârf, care nu este niciodată ultimul, deoarece n este mai mare sau egal cu 5, este același cu unghiul asociat cu primul și al doilea vârf. Prin urmare, primul și al doilea vârf au unghiuri egale. Același raționament, folosind al treilea vârf, arată că unghiurile asociate primului și ultimului vârf sunt, de asemenea, egale.

• Poligonul regulat cu n laturi și perimetru p are o zonă egală cu p 2 / 4n tan (π / n):

Putem calcula pur și simplu coeficientul isoperimetric al poligonului regulat. Cifra explicativă este în stânga. Calculele sunt prezentate în articolul Poligon regulat .

Dacă a este aria unui poligon cu n laturi de perimetru p , aria acestuia este mai mică decât cea a poligonului regulat, ceea ce demonstrează prima parte a inegalității izoperimetrice. Derivata a funcției tangentă în intervalul] 0, π / 2 [este strict mai mare decât 1, cu incremente finite teoremei arată a doua parte a inegalității:

bronzat⁡(πnu)>πnuși4π<4nubronzat⁡(πnu).{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)> {\ frac {\ pi} {n}} \ quad {\ text {și}} \ quad 4 \ pi <4n \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right).}

Bordură non-poligonală

Cazul frontierei non-poligonale este cu greu mai complex, pentru a ajunge la un rezultat echivalent cu cele precedente:

Caz de orice suprafață  -  Orice suprafață cu perimetrul p și aria maximă pentru acest perimetru este un disc .

Trucul este opera lui Steiner, care găsește un proces de simetrizare , încă folosit și care acum îi poartă numele.

Demonstrație Steiner

Presupunem că S este o suprafață cu aria a și perimetrul p . Mai mult, presupunem că aria a este maximă pentru perimetrul p . Această suprafață este ilustrată în stânga, are forma unui ou așezat orizontal. Obiectivul este de a arăta că, pentru a evita orice contradicție, S este neapărat un disc. Forma inițială aleasă nu este un disc care să ilustreze mai clar contradicția.

• Construcția axei Δ și a punctului O  :

Scopul este de a tăia figura în două părți egale și simetrice. În primul rând, considerăm un punct P din zona din dreapta jumătate D capăt P , intersecția cu care S este redusă la punctul P . Să f fie funcția [0, 2π], care , la un unghi φ asociază zona intersecției dintre S și zona delimitată de liniile de jumătate D și rotirea acestuia cu unghiul φ. Valoarea f (φ) corespunde zonei zonei de culoare albastru închis din figură. Observăm că f (0) este egal cu 0 și f (2π) cu a . Deoarece funcția f este continuă, există o valoare a cărei imagine φ sub f este egal cu jumătate din suprafața S . În figură, această valoare a lui φ este egală cu π. Fie Δ linia asociată cu această valoare de φ, taie suprafața S în două părți de zonă egală.

Punctul P este unul dintre cele două puncte de frontieră ale lui S aparținând lui Δ, fie Q al doilea punct de frontieră și O punctul de mijloc al acestor două puncte. Perimetrul părții superioare Δ a lui S este același cu perimetrul părții inferioare. Într-adevăr, dacă perimetrul ar fi mai mic la vârf, aria perimetrului, deasupra Δ egală cu cea a lui S , apoi sub rotația unei jumătăți de rotație a părții superioare față de punctul O , ar avea exact aceeași suprafață pentru un perimetru mai mic. O extindere a acestei suprafețe ar da o suprafață strict mai mare pentru același perimetru. Acest lucru este imposibil deoarece S este ales ca maxim. Dacă S este un disc, axa Δ este cea a unui diametru, O centrul discului și zona inferioară, simetricul perfect al celui superior.

• Construcția patrulaterului QAPB  :

Cu toate acestea, nu lucrăm la S , ci la S 1 , arătat în figura din dreapta. Marginea zonei inferioare este aleasă egală cu rotația de jumătate de tură a celei din zona superioară. Deoarece o rotație este o izometrie, nici perimetrul, nici aria nu au fost modificate. Aria S 1 este, de asemenea, maximă pentru perimetrul p .

Fie A un punct de la marginea lui S 1 ( A diferit de P și Q ) și B simetric față de O. Figura S 1 fiind simetrică față de O, punctul B este, de asemenea, la marginea lui S 1 . Cele patru segmente QA , AP , PB și BQ taie noua suprafață în 5 părți, 4 lunule violete pe figura dreaptă și un paralelogram roz.

• Poziția lui A  :

Dovada de pe patrulatere arată că rombul cu cea mai mare suprafață, cu izoperimetru, este pătratul. Aceeași demonstrație demonstrează că paralelogramul unei zone mai mari, cu izoperimetru și fără a modifica lungimea laturilor este dreptunghiul. Dacă paralelogramul QAPB nu este un dreptunghi, este posibil să se construiască o nouă suprafață S 2 prin deplasarea celor patru lunule astfel încât să se facă zona QAPB dreptunghiulară, așa cum se ilustrează în figura din stânga.

Dacă QA și AP nu ar fi două segmente inițial perpendiculare, am obține o nouă figură cu același perimetru ca S și cu o zonă strict mai mare, ceea ce este imposibil prin ipoteză. Prin urmare, triunghiul QAP este dreptunghi la A care, conform teoremei triunghiului înscris într-un semicerc, plasează punctul A pe cercul de diametru [PQ] . Punctul A fiind ales nespecificat pe marginea S 1 (diferit de P sau Q ), toate punctele chenarului se află pe cercul de diametru [PQ] și S 1 este deci un disc.

Topologie

Cu excepția cazului patrulaterului, teoremele stabilite nu sunt atât de puternice pe cât apar. Unul devine conștient de numai la mijlocul XIX - lea  secol . Teoremele indică faptul că, dacă o suprafață are o suprafață maximă, desenează un poligon regulat sau un disc, în funcție de cazul studiat. Pe de altă parte, acestea nu indică faptul că poligonul obișnuit sau discul atinge acest maxim. Această parte a demonstrației, această verigă lipsă necesită instrumente mai sofisticate decât cele descoperite pe vremea lui Steiner. Ei folosesc o ramură a matematicii numită topologie .

Toate raționamentele prezentate în acest articol, cu excepția celor de pe patrulater, au aceeași structură logică. Se arată că nicio soluție nu este acceptabilă, cu excepția uneia. Acest lucru nu arată că cel care rămâne este o soluție. Matematicianul O. Perron ilustrează greșeala logică observând că acceptarea acestui tip de dovadă ar însemna a permite demonstrarea faptului că 1 este cel mai mare dintre numere întregi. Dacă numărul întreg a este diferit de 1, pătratul lui a este strict mai mare decât a . Prin urmare, numărul a nu poate fi cel mai mare dintre numere întregi. Singura excepție dintre numerele întregi strict pozitive este 1, care ar fi atunci cea mai mare dintre numerele întregi.

Se stabilește astfel că orice suprafață de perimetru p și suprafață maximă poate fi doar un disc, dar afirmația nu implică faptul că discul este de fapt o suprafață maximă sau că poligonul regulat cu n laturi are o suprafață maximă între poligoane n laturi ale aceluiași perimetru. Aceste două rezultate sunt totuși adevărate, dovezile asociate sunt propuse în articolul Teorema izoperimetrică . În cazul triunghiului, putem ajunge la rezultat limitându-ne la utilizarea unei funcții continue a variabilei reale cu valori reale .

Caz triunghiular

• Orice triunghi cu perimetrul p și aria maximă este echilateral:

Lema 1 arată că, dacă un triunghi nu este echilateral, nu poate fi o soluție a problemei izoperimetrice. Într-adevăr, dacă cele trei lungimi ale celor trei laturi sunt notate a , b și c , lema arată că a  =  b și că b  =  c este o condiție necesară pentru ca triunghiul să aibă aria maximă. Deducem că un astfel de triunghi este echilateral.

În concluzie, este suficient să arătăm că există cel puțin o soluție.

• Există o soluție la problema izoperimetrică în cazul triunghiurilor:

Trebuie să arătăm că există un triunghi de perimetru p și suprafață maximă. Lema arată că există un triunghi isoscel T i de perimetru p și de suprafață mai mare decât cel al triunghiului inițial. Prin urmare, este suficient să se arate că orice triunghi isoscel de perimetru p are o zonă mai mică decât cea a unui triunghi T e de perimetru p și latura c . Fie c + 2 ε lungimea bazei lui T i și c - ε lungimea celor două laturi egale. Aici ε este un număr real între - c  / 2 și c  / 4. Aria lui T i este produsul jumătății de lungime 1/2 ( c + 2 ε ) de înălțimea h , dată de teorema lui Pitagora  :

h2=(vs.-ε)2-(12vs.+ε)2=34vs.2-3vs.ε.{\ displaystyle h ^ {2} = \ left (c- \ varepsilon \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {1} {2}} c + \ varepsilon \ right) ^ {2} = { \ frac {3} {4}} c ^ {2} -3c \ varepsilon.}

Dacă a i este aria triunghiului isoscel, avem formula:

laeu2=(12vs.+ε)2(34vs.2-3vs.ε).{\ displaystyle a_ {i} ^ {2} = \ left ({\ frac {1} {2}} c + \ varepsilon \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {3} {4}} c ^ {2} -3c \ varepsilon \ right).}

Funcția, care cu ε asociază un i 2 este continuă , este ilustrată în figura din dreapta. Într-adevăr, este o funcție polinomială de gradul III. Este definit pe un segment , teorema limitei ne asigură că se atinge maximul. Adică, există cel puțin o soluție la problema izoperimetrică pentru triunghiuri. Grafic, observăm că această soluție corespunde punctului ε = 0 , adică triunghiului echilateral. Acest rezultat este în concordanță cu propoziția anterioară.

Exemple

Stâncile unui oraș

Dido nu este singurul lider care se confruntă cu problema celei mai mari suprafețe pentru un anumit perimetru. Meterezele unui oraș medieval necesită atât o mulțime de lucrări de construcție, cât și o soldată abundentă pentru a proteja orașul în cazul unui atac. Aceste două motive favorizează maximizarea suprafeței interioare a orașului în raport cu perimetrul acestuia.

Geometria utilizată nu este întotdeauna cea a planului euclidian. De exemplu, un semiplan euclidian face posibilă obținerea unui raport mai bun. Soluția este semicercul, este de două ori mai eficientă. Folosind un bastion de lungime p , acoperim o suprafață de p 2 / 2π. Orașul Köln adoptă această abordare pentru a-și proteja orașul în Evul Mediu.

În secolul  al XVIII- lea, alte constrângeri favorizează o geometrie foarte diferită. De exemplu, cel al lui Lille se bazează pe principiul cleștii, prezentând margini dificil de înfășurat cu tunul. Oferă o rezistență mai bună la atacul de artilerie.

Ochiul bulionului

Ochiul dintr-un bulion este format dintr-o picătură de ulei suspendat în apă. Suprafața de contact dintre petrol și apă consumă energie potențială . Echilibrul atins pentru punctul cu cea mai mică energie potențială este obținut prin geometria minimizând această zonă de interfață. Pentru a vorbi în termeni picturali: „Cele mai incomode molecule se găsesc la interfață (adică între ulei și bulion), deci cu cât interfața este mai mare, cu atât sistemul este mai incomod” .

Din acest motiv, picăturile adoptă o geometrie circulară. Dacă doi ochi se îmbină, aceștia iau instantaneu această formă. Dacă un ochi este tăiat în jumătate, de exemplu cu ajutorul unui cuțit, cei doi ochi obținuți iau și o formă circulară.

Aceeași cauză impune o formă sferică bulelor de săpun de dimensiuni nu prea mari. Energia potențială este maximă dacă suprafața bulei este minimă. Bula tinde să închidă volumul de aer într-un spațiu sferic, deoarece minimizează cât mai bine suprafața, pentru un volum dat (cel al aerului prins).

Icosaedrul

Teorema izoperimetriei indică faptul că, pentru orice solid măsurabil, cu o suprafață măsurabilă, volumul este mai mic decât cel al unei sfere cu aceeași zonă. Astfel, un solid cu suprafața S are întotdeauna un volum V mai mic decât V s , cel al unei sfere cu aceeași suprafață:

V≤Vs.{\ displaystyle V \ leq V_ {s}.}

Sfera razei r are o suprafață de 4π r 2 . Raza r a sferei în cauză este egală cu √ S / (2 √ π ) . Volumul V s este egal cu 4π r cu 3 / cu 3 . Deducem o nouă creștere:

Vs=4πS3/224π3/2=S3/26π.{\ displaystyle V_ {s} = {\ frac {4 \ pi S ^ {3/2}} {24 \ pi ^ {3/2}}} = {\ frac {S ^ {3/2}} {6 {\ sqrt {\ pi}}}}.}

Formula este exprimată mai simplu dacă este pătrată. Noi obținem :

q=36πV2S3≤1.{\ displaystyle q = {\ frac {36 \ pi V ^ {2}} {S ^ {3}}} \ leq 1.}

Aceasta oferă o formă de inegalitate izoperimetrică și formula pentru coeficientul isoperimetric, menționat aici q . În cazul unui icosaedru și dacă a indică marginea solidului, avem următoarele formule:

V=5φ26la3șiS=53la2cuφ2=φ+1.{\ displaystyle V = {\ frac {5 \ varphi ^ {2}} {6}} a ^ {3} \ quad {\ text {et}} \ quad S = 5 {\ sqrt {3}} a ^ { 2} \ quad {\ text {cu}} \ quad \ varphi ^ {2} = \ varphi +1.}

Aici, φ denotă numărul de aur egal cu1 + √ 5/2. Găsim :

q=36π52φ4la662⋅53⋅33la6=πφ4153≈0,82799772.{\ displaystyle q = 36 \ pi {\ frac {5 ^ {2} \ varphi ^ {4} a ^ {6}} {6 ^ {2} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {3 }} a ^ {6}}} = {\ frac {\ pi \ varphi ^ {4}} {15 {\ sqrt {3}}}} \ approx 0.82799772.}

Acest coeficient izoperimetric este cea mai mare valoare posibilă pentru un solid platonic .

Note și referințe

1. Această gravură datează din 1630 și provine din Historische Chronica de Johann Ludwig Gottfried  (de) . Este opera lui Matthäus Merian cel Bătrân.
2. Virgil , Eneida [ detaliile edițiilor ] [ citit online ] , cartea 1, 16.
3. Aceste informații despre lungime provin de la „  Problema isoperimetrică  ” , pe IREM din Orleans , p.  1 .
4. Bernard Teissier , "  Volumele corpurilor convexe, geometrie și algebră  " , Institutul de matematică din Jussieu (lecție dată la 7 octombrie 1999, scrisă de C. Reydy), p.  1-2 .
5. Această definiție o găsim în articolul F. Viot, „Elaborarea calculului variațiilor și a aplicațiilor sale la dinamică”, Mnémosyne , nr. 4-5. pp 35 63 ( ISBN  2866120868 )
6. (în) William Dunham , Universul matematic: o călătorie alfabetică prin marile dovezi, probleme și personalități , Wiley 1994 ( ISBN  978-0-471-53656-7 ) , p.  112 .
7. (în) Thomas Little Heath , A History of Greek Mathematics , Vol.  2: De la Aristarh la Diofant , Dover ,2013( 1 st  ed. 1921), 608  p. ( ISBN  978-0-486-16265-2 , citit online ) , p.  206-207.
8. (în) Paul J. Nahin , Când cel mai puțin este cel mai bun: modul în care matematicienii au descoperit multe moduri inteligente de a face lucrurile cât mai mici (de aur mari) , PUP ,2007, 372  p. ( ISBN  978-0-691-13052-1 , citit online ) , p.  47.
9. (în) Ivor Thomas, Lucrări matematice grecești , Vol. 2: De la Aristarh la Pappus , col. Biblioteca clasică Loeb, HUP , 1941 ( ISBN  978-0-67499399-0 ) , p.  395 .
10. (în) Richard Lorch, "Abū Ja'far al-Khāzin we Isoperimetry and the Archimedean tradition", Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften , vol. 3, 1986, p.  150-229 .
11. Hélène Bellosta , „  Despre istoria științelor arabe  ”, Gazette des mathématiciens , vol.  82,1999, p.  37-44 ( citește online ).
12. Aceste informații provin din „Problema isoperimetrică”, pe IREM din Orleans , p.  11.
13. Teissier, "Volumele corpurilor convexe, geometrie și algebră" , p.  6.
14. Este inspirat de o idee din: Geometria curioasă și interesantă a lui D. Wells , Dicționarul pinguinilor de pinguini (non-clasici) (1992) p 123 ( ISBN  0140118136 )
15. Dovada prezentată aici este foarte clasică, o găsim de exemplu în „Problema isoperimetrică”, pe IREM din Orleans , p.  4.
16. Se găsește dovada în „Problema izoperimetrică”, pe IREM din Orleans , p.  7.
17. Această demonstrație este uneori prezentată ca fiind completă și riguroasă: G. Villemin Calcularea variațiilor Numere: utilizarea teoriei curiozităților. Documentele academice iau poziția opusă. B. Teissier plasează prima demonstrație riguroasă aproape 60 de ani mai târziu: Teissier, „Volumes des corps convexes, géometry et algebre” , p.  6.
18. F. Dress , „  Câte probleme mari în matematică  ” , Buletin SMF , vol.  115, n o  adăugat: conferința „Matematică înainte”1987, p.  43.
19. Acest exemplu este preluat din documentul „Problema izoperimetrică”, de pe IREM d'Orléans , p.  1.
20. „Problema izoperimetrică”, pe IREM d'Orléans , p.  1.

Vezi și tu

Bibliografie

• (ro) Isaac Chavel , Inegalități isoperimetrice: perspective geometrice și analitice diferențiale , CUP ,2001, 268  p. ( ISBN  978-0-521-80267-3 , citit online )
• (ro) David Pollard , Ghidul utilizatorului pentru măsurarea probabilității teoretice , CUP,2002( ISBN  978-1-139-93653-8 , citit online )

Articol asociat

Cel mai mare poligon mic  (ro)

linkuri externe

• „  De la poligoane obișnuite la cerc  ” , pe IREM de la Universitatea Paris-Nord
• (ro) Jennifer Wiegert, „  Sagacitatea cercurilor: o istorie a problemei izoperimetrice - opera lui Pappus  ” , pe Biblioteca digitală MAA

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">