Spațiu precompact
În topologie , o ramură a matematicii , un spațiu metric E este precompact dacă, pentru orice ε> 0, putem acoperi E cu un număr finit de bile cu rază ε. Proprietatea principală este că un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este precompact și complet . Noțiunea de precompacitate și proprietățile sale sunt generalizate în spații uniforme .
Definiții
Fie E un spațiu metric. Dacă una dintre următoarele trei proprietăți este adevărată, atunci toate trei sunt și se spune că E este precompact.
- Pentru toate ε> 0, putem acoperi E cu un număr finit de bile cu rază ε;
- Pentru toate ε> 0, putem acoperi E cu un număr finit de părți cu diametru mai mic decât ε;
- Orice rezultat în E are o subsecvență Cauchy .
- 1. ⇒ 2 .: orice bilă cu rază ε are un diametru mai mic sau egal cu 2ε.
- 2. ⇒ 3 .: fie x o secvență într-un spațiu E care să satisfacă 2. Să acoperim E cu un număr finit de părți cu diametre mai mici de 2 0 = 1. Una dintre aceste părți - să o numim E 0 - conține o infinitate de termeni ai secvenței x , adică o subsecvență ( x φ (0, n ) ). De asemenea, putem acoperi E 0 cu un număr finit de părți ale lui E 0 cu diametre mai mici de 2 −1 și una dintre ele, E 1 , va conține o subsecvență ( x φ (1, n ) ) a ( x φ (0, n ) ). Prin iterarea procesului, construim o secvență descrescătoare a părților E k cu diametre respectiv mai mici de 2 - k , fiecare dintre acestea conținând o subsecvență ( x φ ( k, n ) ) a subsecvenței anterioare ( x φ ( k - 1, n ) ). Subsecventa diagonal ( x φ ( n, n ) ) este apoi o subsecventa Cauchy de x .
- 3. ⇒ 1 .: raționamentul prin contrapus , să considerăm un spațiu E care, pentru un anumit ε> 0, nu este o uniune finită a bilelor deschise de rază ε. Acest lucru face posibilă construirea prin inducție a unei secvențe ( x n ) de puncte ale lui E astfel încât Această secvență verifică apoi:prin urmare ( x n ) nu admite o subsecvență Cauchy.
Mai general, să fie E un spațiu uniform. Dacă una dintre următoarele trei proprietăți este verificată, atunci toate trei sunt și se spune că E este precompact.
- Pentru orice V înconjurător al lui E , există o acoperire finită a lui E ale cărei seturi sunt mici de ordinul V (adică pătratele lor carteziene sunt incluse în V ).
- Orice filtru de E este conținut într-un filtru Cauchy .
- Orice ultrafiltru din E provine de la Cauchy.
Proprietăți
- Orice spațiu metric precompact este delimitat .
- Orice spațiu metric precompact este separabil și chiar ( ca orice metric separabil ) are , prin urmare, o bază numărabilă a lui Lindelöf .
- Teoremă - Un spațiu metric (sau mai general: un spațiu uniform separat ) este compact dacă și numai dacă este precompact și complet.
-
Orice spațiu metric compact este precompact.
Într-adevăr, într-un astfel de spațiu, fiecare secvență are o subsecvență convergentă, deci Cauchy. -
Orice spațiu metric compact este complet.
Este suficient să se utilizeze faptul că într-un astfel de spațiu, fiecare secvență admite o subsecvență convergentă și că atunci când o secvență Cauchy x admite o subsecvență convergentă y , x converge (spre limita lui y ). -
Orice spațiu metric precompact și complet este compact.
Într-adevăr, într-un astfel de spațiu, orice secvență are o subsecvență Cauchy (prin precompacitate) și, prin urmare, convergentă (prin completitudine), astfel încât spațiul este secvențial compact . Concluzionăm că este compactă conform teoremei Bolzano-Weierstrass sau folosind că spațiul este Lindelöf ( cf. proprietatea anterioară) și considerabil compact .
- Într-un spațiu uniform, toate părțile, întâlnirile finite, aderențele precompactelor, sunt precompacte; orice imagine a unui precompact printr-o funcție continuă uniformă este precompactă: aceste proprietăți rezultă imediat din definiția precompacității de către proprietatea Cauchy.
- Un spațiu metric (resp. Uniform) este precompact dacă și numai dacă este completat (respectiv completat separat ) este compact.
Pentru lasa E un spațiu uniform, F un completat separat și i aplicarea canonică a E în F . Conform teoremei, F este compact dacă și numai dacă este precompact. Acum, dacă F este precompact, atunci și E - deoarece structura uniformă a lui E este imaginea reciprocă de i × i a celei a lui F - și invers, dacă E este precompact, atunci și I ( E ) - întrucât i este uniform continuu - prin urmare aderența sa F de asemenea. - Orice produs al spațiilor precompacte uniforme (în special orice produs al spațiilor metrice precompacte) este precompact.
- Orice spațiu obișnuit cu o bază care poate fi numărată poate fi metrizat într-un mod precompact.
Note și referințe
- Fără axioma alegerii , spunem că E este precompact dacă satisface proprietatea 2 și că este total delimitat dacă îndeplinește proprietatea 1 care este mai slabă, dar caracterizarea compactității în termeni de precompacitate și completitudine rămâne adevărată. (ro) Eric Schechter (ro) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press,1996, 883 p. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , citit online ) , p. 505-507
- W. F. Newns , „ Despre spații uniforme precompacte ”, Portugaliae mathica , vol. 13, n o 1,1954, p. 33-34 ( citiți online )
- N. Bourbaki , Elemente de matematică, cartea III: Topologie generală [ detaliu ediții ], p. II.30.
- În special: orice spațiu compact este complet și precompact, fără a presupune în mod explicit că spațiul este dotat cu o structură uniformă: orice compact este unic uniform .
- Această caracterizare este aleasă ca definiție de Bourbaki , p. II.29.
- (în) AV Arkhangel'skii , „Spațiu total delimitat” în Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , citit online ).
- Georges Skandalis , topologiei și analiză 3 - lea an , Dunod, coll. „Sciences Sup”, 2001
- Claude Wagschal, Topologie și analiză funcțională , Hermann, col. „Metode”, 1995