Cubul lui Hilbert

În topologie , numim cubul lui Hilbert spațiul produsului dotat cu topologia produsului , cu alte cuvinte: spațiul secvențelor cu valori în [0, 1], dotat cu topologia convergenței simple . Conform teoremei lui Tykhonov , este un spațiu compact . $K = \ left [0,1 \ right] ^ {\ mathbb {N}}$

Este homeomorf pentru spațiul suitelor, cum ar fi , prevăzut cu distanța: $\ left [0,1 \ right] \ times \ left [0, {\ frac 12} \ right] \ times \ left [0, {\ frac 13} \ right] \ times \ cdots$ $x = \ left (x_ {n} \ right) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ forall n, \; 0 \ leq x_ {n} \ leq {\ frac 1n}$

d \ left (x, y \ right) = {\ sqrt {\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left (x_ {n} -y_ {n} \ right) ^ {2 }}}.

Prin urmare, este metrizabil și în consecință (deoarece este compact), separabil și are următoarea proprietate:

Toate separabile spațiu metrizabil este homeomorf la un subspațiu de K .

Aceasta oferă în special un mijloc convenabil pentru compactarea spațiilor separabile metrizabile și, de asemenea, un criteriu pentru clasificarea acestora în funcție de complexitatea lor; de exemplu, un spațiu este polonez dacă și numai dacă este homeomorf la intersecția unei serii de K deschis . De asemenea , am ajuns la concluzia că orice spațiu măsurabil generat și denumerably separat este izomorfă o porțiune K prevăzută cu tribul indus Borel lui K .

Vezi și tu

Spațiul lui Cantor

Note și referințe

și „chiar” - care, pentru un spațiu metrizabil, este de fapt echivalent - pe o bază contabilă
„Rezultatul datorat lui Urysohn ” : François Guénard și Gilbert Lelièvre, Analize complementare, Volumul 1, Topologie , prima parte , ENS Fontenay, 1985, p. 29
Aceste două ipoteze pot fi înlocuite cu: regulat și cu o bază numărabilă, deoarece orice spațiu regulat cu o bază numărabilă este metrizabil .