Teorema lui Heine
Heine teoremă , demonstrată de Eduard Heine în 1872, prevede următoarele: orice mapare continuă a unui spațiu metric compact într - un spațiu metric este uniform continua . Aceasta implică în special faptul că orice funcție continuă a unui segment [ a , b ] în ℝ este uniform continuă.
Enunț și demonstrație pentru funcții numerice
State
Teorema - Orice hartă continuă a unui segment [ a , b ] din ℝ este uniform continuă.
Harta, notată f , fiind continuă în orice punct x , știm că:
∀X∈[la,b],∀ε>0,∃ηX,ε>0ca∀y∈[la,b],|X-y|<ηX,ε⇒|f(X)-f(y)|<ε.{\ displaystyle \ forall x \ in [a, b], \ forall \ varepsilon> 0, \ există \ eta _ {x, \ varepsilon}> 0 \ quad {\ text {cum ar fi}} \ quad \ forall y \ în [a, b], | xy | <\ eta _ {x, \ varepsilon} \ Rightarrow | f (x) -f (y) | <\ varepsilon.}
Teorema lui Heine ne permite să afirmăm mai mult: este continuu uniform, adică η poate fi ales independent de x , ceea ce ne permite să inversăm cei doi cuantificatori :
∀X∈[la,b],∃ηX,εîn∃ηε,∀X∈[la,b].{\ displaystyle \ forall x \ in [a, b], \ există \ eta _ {x, \ varepsilon} \ quad {\ text {en}} \ quad \ există \ eta _ {\ varepsilon}, \ forall x \ în [a, b].}
Continuitatea uniformă a lui f este de fapt exprimată prin:
∀ε>0∃ηε>0∀X∈[la,b],∀y∈[la,b](|X-y|<ηε⇒|f(X)-f(y)|<ε){\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există \ eta _ {\ varepsilon}> 0 \ quad \ forall x \ în [a, b], \ forall y \ in [a, b] \ quad \ left ( | xy | <\ eta _ {\ varepsilon} \ Rightarrow | f (x) -f (y) | <\ varepsilon \ right)}.
Demonstrație
O primă metodă constă în raționarea prin contrapunere , presupunând că f nu este continuu în mod uniform și se dovedește că este discontinuă în cel puțin un punct, datorită proprietății Bolzano-Weierstrass din ℝ (orice secvență reală mărginită are o convergență de subsecvență).
Un altul este să folosim teorema Borel-Lebesgue după cum urmează (din orice acoperire deschisă a lui [ a , b ] , putem extrage o acoperire finită):
Pentru toate x și y din [ a , b ], notăm cu d ( x , y ) = | x - y | și, pentru toate r > 0, B ( x , r ) =] x - r , x + r [ .
Fixați un ε> 0 și setați, pentru toate , (unde sunt date de continuitatea lui f ).
X∈[la,b]{\ displaystyle x \ in [a, b]}βX,ε=12ηX,ε/2{\ displaystyle \ beta _ {x, \ varepsilon} = {\ frac {1} {2}} \ eta _ {x, \ varepsilon / 2}}ηX,ε/2{\ displaystyle \ eta _ {x, \ varepsilon / 2}}
Familia de deschis este o acoperire a [ a , b ] . Există deci un subgrup finit Z al lui [ a , b ] astfel încât
(B(X,βX,ε))X∈[la,b]{\ displaystyle {\ Big (} B (x, \ beta _ {x, \ varepsilon}) {\ Big)} _ {x \ în [a, b]}}[la,b]⊂∪z∈ZB(z,βz,ε){\ displaystyle [a, b] \ subset \ cup _ {z \ in Z} B (z, \ beta _ {z, \ varepsilon})}.
Să pozăm
η=ηε=minz∈Zβz,ε.{\ displaystyle \ eta = \ eta _ {\ varepsilon} = \ min _ {z \ în Z} \ beta _ {z, \ varepsilon}.}
Deci, pentru toate, cum ar fi , alegând astfel cum obținem:
X,y∈[la,b]{\ displaystyle x, y \ in [a, b]}d(X,y)<η{\ displaystyle d (x, y) <\ eta}z∈Z{\ displaystyle z \ în Z}X∈B(z,βz,ε){\ displaystyle x \ în B (z, \ beta _ {z, \ varepsilon})}
d(X,z)<βz,ε și d(y,z)≤d(y,X)+d(X,z)<η+βz,ε≤2βz,ε=ηz,ε/2{\ displaystyle d (x, z) <\ beta _ {z, \ varepsilon} {\ text {et}} d (y, z) \ leq d (y, x) + d (x, z) <\ eta + \ beta _ {z, \ varepsilon} \ leq 2 \ beta _ {z, \ varepsilon} = \ eta _ {z, \ varepsilon / 2}}
prin urmare
d(f(X),f(y))≤d(f(X),f(z))+d(f(z),f(y))<ε/2+ε/2=ε.{\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq d (f (x), f (z)) + d (f (z), f (y)) <\ varepsilon / 2 + \ varepsilon / 2 = \ varepsilon.}
Valoarea η găsită fiind bine independentă de x , se demonstrează continuitatea uniformă.
Declarație și demonstrații în cazul general
State
Teorema - Fie X un spațiu metric compact și Y un spațiu metric. Orice hartă continuă de la X la Y este continuă uniform .
Notă f aplicarea de distanța X și de distanța pe Y . Continuitatea uniformă a lui f este apoi exprimată prin:
∀ε>0∃η>0∀la,b∈Xd(la,b)<η⇒d′(f(la),f(b))<ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există \ eta> 0 \ quad \ forall a, b \ în X \ quad d (a, b) <\ eta \ Rightarrow d '(f (a), f ( b)) <\ varepsilon.}
Notă
Prin oricare dintre cele două variante ale „demonstrației directe” de mai jos, obținem mai general că dacă și sunt două spații metrice și o parte compactă de atunci, pentru orice hartă continuă :
(Z,d){\ displaystyle (Z, d)}(Da,d′){\ displaystyle (Y, d ')}X{\ displaystyle X}Z{\ displaystyle Z}f:Z→Da{\ displaystyle f: Z \ to Y}
∀ε>0∃η>0∀la∈X∀b∈Zd(la,b)<η⇒d′(f(la),f(b))<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există \ eta> 0 \ quad \ forall a \ in X \ quad \ forall b \ in Z \ quad d (a, b) <\ eta \ Rightarrow d '(f (a), f (b)) <\ varepsilon}.
Demonstrație directă
Putem reproduce dovada anterioară prin simpla înlocuire a [ a , b ] cu X , ℝ cu Y , teorema Borel-Lebesgue prin definiția compacității (sau chiar direct prin precompacitate ) și valoarea absolută a diferenței prin distanță.
La fel, varianta care utilizează proprietatea Bolzano-Weierstrass se adaptează fără dificultate.
Dovada prin teorema limitei
Prin „teorema limitei” se înțelege aici următoarea versiune generală a teoremei limitei obișnuite :
Orice hartă continuă a unui compact non-gol în ℝ atinge
limita inferioară (și limita superioară).
Pentru toate ε> 0 , prin aplicarea acestei teoreme la compact
K: ={(X,y)∈X×X∣d′(f(X),f(y))≥ε},{\ displaystyle K: = \ {(x, y) \ în X \ times X \ mid d '(f (x), f (y)) \ geq \ varepsilon \},}
iar pe harta d , obținem, dacă K nu este gol, un η care îndeplinește proprietatea dorită:
η: =infd(K)>0.{\ displaystyle \ eta: = \ inf d (K)> 0.}
(Dacă K este gol, putem alege η în mod arbitrar.)
Note și referințe
-
Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan și fundamentele analizei , Universitatea Paris-Sud , Publicații matematice din Orsay,1982( citiți online ) , p. 18.
-
(de) E. Heine, " Die Elemente der Functionenlehre " , J. queen angew. Matematica. , vol. 74,1872, p. 172-188 ( citește online ).
-
A se vedea, de exemplu, capitolul „continuitate uniformă” a lecției despre funcțiile unei variabile reale pe Wikiversitate ..
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">