Topologia produsului

În matematică , mai exact în topologie , topologia produsului este o topologie definită pe un produs al spațiilor topologice. Este , în general, topologia inițială asociată cu proiecțiile din spațiul de produse către fiecare dintre factorii săi: cu alte cuvinte, acesta este cel mai puțin topologia fină face de proiecțiile continuă .

Cazul unui produs finit

În cazul unui produs finit, topologia produsului face posibilă în special definirea unei topologii naturale pe ℝ n din cea a lui ℝ.

Dacă sunt spații topologice, este o deschidere a dacă și numai dacă există deschideri respective de astfel încât și . Cu alte cuvinte, un produs deschis este o întâlnire a produselor cu factori deschiși. $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $U$ $X = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} X_ {i}$ $\ forall x \ în U$ $U_ {1}, ..., U_ {n}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $x \ in U_ {1} \ times ... \ times U_ {n}$ $U_ {1} \ times ... \ times U_ {n} \ subset U$

Putem verifica dacă această definiție face proiecțiile continue (vom vedea în partea următoare că aceasta caracterizează de fapt topologia produsului) și că proiectul unui open este unul deschis. Pe de altă parte, proiecția unui închis nu este închisă. De exemplu, setul este închis cu ℝ 2 (este imaginea inversă a unui închis: singleton printr-o funcție continuă: produsul par ), dar proiecția sa pe axa x nu este închisă (este într-adevăr ℝ *) . $\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid xy = 1 \}$ $\ {1 \}$ $X$ $y$

Caz general

Descrierea de mai jos arată că topologia produsului este un caz special al unei topologii inițiale .

Să fie o familie arbitrară de spații topologice, produsul este notat . Topologia produsului este cea mai grosieră proiecție continuă a topologiei : un crescător este totul , deschis , cu alte cuvinte, este: $(X_ {i}, \ tau _ {i}) _ {{i \ in I}}$ $X_ {i}$ $X$ $p_ {i}: X \ rightarrow X_ {i}$ $p_ {i} ^ {{- 1}} (U_ {i})$ $U_ {i}$ $X_ {i}$ $i \ in I$

$\ left \ {\ left.U_ {i} \ times \ prod _ {{j \ in I, j \ neq i}} X_ {j} \ right | i \ in I, U_ {i} \ in \ tau _ {i} \ right \}.$

O bază a topologiei produsului este apoi formată din setul de intersecții finite ale elementelor din baza de bază, adică:

$\ left \ {\ left. \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} U _ {{i_ {k}}} \ times \ prod _ {{j \ in I, j \ not \ in \ { i_ {1}, ..., i_ {n} \}}} X_ {j} \ right | n \ in \ mathbb {N}, i_ {1}, \ ldots, i_ {n} \ in I, U_ {{i_ {1}}} \ in \ tau _ {{i_ {1}}}, \ ldots, U _ {{i_ {n}}} \ in \ tau _ {{i_ {n}}} \ right \}.$

Apoi deducem cu ușurință cazul finit observând că spațiile sunt deschise și că, invers, orice produs deschis este neapărat finit. Pe de altă parte, în cazul produsului infinit, baza este alcătuită din produse cu un număr finit de deschideri cu spațiile rămase, iar un produs infinit de deschideri ne-goale nu este niciodată deschis dacă un număr infinit de aceste deschideri sunt diferite de . $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ $X_ {i}$

Proprietăți importante

Fie X produsul lui X i pentru i ∈ I și Y un spațiu topologic.
- Proiecțiile p i : X → X i nu sunt doar continue, ci deschise .
- O hartă f : Y → X este continuă dacă și numai dacă pentru toate i ∈ I , p i ∘ f este continuă (conform proprietății universale care caracterizează o topologie inițială ).
- Dacă o hartă g : X → Y este continuă, atunci toate hărțile sale parțiale sunt continue (prin compoziție, pentru toate a ∈ X și toate i ∈ I , cu harta f : X i → X definită de f ( t ) i = t și f ( t ) j = a j dacă j ≠ i , care este continuu față de punctul anterior), dar inversul este fals .
- În cazul în care X i sunt sub-domenii ale aceluiași spațiu, intersecția lor este cufundat în diagonală în X .
Fie X un spațiu topologic și eu un set. Atunci X I nu este altul decât produsul cartezian al | Eu | copii ale lui X : $X ^ {I} = \ prod _ {{i \ in I}} X.$ O secvență de funcții de la I la X converge pentru topologia produsului dacă și numai dacă converge pur și simplu. Putem rezuma acest lucru spunând că topologia produsă este topologia convergenței simple .
Un produs finit sau numărabil de spații metrizabil este metrizabil , în timp ce un produs infinit de nenumărat non - grosiere spații nu este metrizabil , nici măcar secvențială .
Orice produs din spații uniformizabile este uniformizabil.
În cele din urmă, una dintre cele mai importante teoreme referitoare la topologia produsului este teorema lui Tychonov care asigură faptul că un produs de compacte este compact pentru această topologie.

Articole similare