Spațiu pentru suită $ℓ$ p

În matematică , spațiul $ℓ$ p este un exemplu de spațiu vectorial , alcătuit din secvențe cu valori reale sau complexe și care are, pentru $1 \leq p \leq \infty$ , o structură spațială Banach .

Motivație

Luați în considerare spațiul vectorial real ℝ n , adică spațiul de n- tupluri ale numerelor reale .

Norma euclidiană a unui vector este dat de formula: ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} \ right) ^ {1/2} }

Dar pentru orice număr real p ≥ 1, putem defini o altă normă pe ℝ n , numită p -norm, prin prezentarea:

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } \ dreapta) ^ {1 / p}}

pentru orice vector . ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

Pentru toate p ≥ 1, ℝ n dotat cu p -norm este deci un spațiu vector normalizat . Deoarece este o dimensiune finită , este completă pentru acest standard.

Spațiu ℓ p

P -normă poate fi extinsă la vectori care au o infinitate numărabilă de componente, ceea ce face posibilă definirea spațiului ℓ p (notat , de asemenea , ( p ( ℕ ) deoarece putem defini în același mod ℓ p ( X ) pentru orice finit sau mulțimea infinită X , cazul în care X are n elemente corespunzătoare paragrafului anterior).

Mai precis, ℓ p va fi un subspațiu vectorial al spațiului unei serii infinite de numere reale sau complexe, pe care suma este definită de:

{\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) + (y_ {0}, y_ {1}, \ dots, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ dots) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ dots)}

și multiplicarea cu un scalar prin:

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ dots).}

Definim p -normul unei secvențe : ${\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots)}$

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ dots \ right) ^ {1 / p} \ în [0, + \ infty].}

Seria din dreapta nu este întotdeauna convergentă: de exemplu, secvența (1, 1, 1, ...) are un p -norm infinit pentru orice $p <\infty$ .

Spațiul ℓ p este definit ca ansamblul de secvențe infinite de numere reale sau complexe a căror p -normă este finită.

De asemenea, definim „norma $\infty$ ” ca:

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ dots)}

iar spațiul vectorial corespunzător ℓ $\infty$ este spațiul secvențelor mărginite .

Proprietăți

Pentru orice set X , spațiul ℓ ∞ ( X ) al funcțiilor mărginite pe X (cu valori reale sau complexe) este Banach , adică orice secvență Cauchy uniformă de funcții mărginită pe X converge uniform (într-o funcție mărginită). La fel, pentru $1 \leq p \leq \infty$ , ℓ p (ℕ) este al lui Banach. (Acestea sunt două cazuri speciale ale teoremei Riesz-Fischer , care privește toate spațiile $L p$ .)
În ℓ ∞ , un subspațiu remarcabil este spațiul c al secvențelor convergente . Este închis ( deci complet ), deoarece orice limită uniformă a secvențelor convergente este convergentă; sau din nou: c este complet ( deci închis în ℓ ∞ ), deoarece izomorf izomorf la spațiul (complet) al hărților continue ( deci ) delimitat pe compactul $[0, ω] = ℕ\cup {+ \infty}$ , compactat d 'Alexandrov de la discret ℕ .
Pentru 1 < p < $\infty$ , spațiul secvenței ℓ p este reflexiv . Dualul său este spațiul ℓ q , cu 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1;
În ℓ ∞ , subspaiul c 0 al secvențelor cu limită zero nu este reflexiv: dualul său este ℓ 1 și dualul lui ℓ 1 este ℓ ∞ . Prin urmare, nici ℓ 1 și ℓ ∞ nu sunt reflectante.
Pentru toate r < $\infty$ și orice $x$ ∈ ℓ r , harta $p \mapsto ║ x ║ p$ este în scădere pe $[ r , + \infty [$ . Într-adevăr, dacă p ≥ q ≥ r avem | $x k$ | / $║ x ║ q$ ≤ 1 pentru orice index k , prin urmare ${\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}$ prin însumarea acestei inegalități pe k deducem $║ x ║ p \leq ║ x ║ q$ . Funcția $p \mapsto ║ x ║ p$ este continuă și pe $[ r , + \infty]$ . În special : ${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}$

Note și referințe

Georges Skandalis , generalul topologiei , Masson.
(in) „ l ∞ -normă este egal cu limita a p -norms “ de pe math.stackexchange .

Articole similare

linkuri externe

Înregistrări de autoritate :