Algebra Clifford

În matematică , algebra Clifford este un obiect algebră multiliniar asociat cu o formă pătratică . Este o algebră asociativă peste un câmp , permițând un tip extins de calcul, cuprinzând vectori, scalari și „ multivectori ” obținuți de produse de vectori și cu o regulă de calcul care traduce geometria formei subcadratice. Numele acestei structuri este un omagiu adus matematicianului englez William Kingdon Clifford .

Una dintre posibilele generalizări ale numerelor complexe și cuaternionilor este algebrele Clifford . În matematică, ele oferă un cadru unificator pentru a studia probleme de geometrie, cum ar fi teoria formelor pătratice și a grupurilor ortogonale și pentru a introduce spinori și geometria spinorului ( fr ) . Dar ele oferă, de asemenea, un cadru de calcul relevant pentru multe domenii fizice, de la cele mai teoretice ( relativitate , mecanica cuantică ) la cele mai aplicate ( viziune computerizată , robotică ). Pentru aceste aplicații, se practică uneori o abordare simplificată, cu o introducere diferită, limitată la câmpurile realelor și complexelor, ceea ce duce la structura foarte apropiată de algebra geometrică .

O anumită familiaritate cu elementele de bază ale algebrei multiliniare va fi foarte utilă în timpul citirii acestui articol.Multe rezultate presupun că caracteristica a câmpului de bază K nu este 2 (adică împărțirea cu 2 este posibil); această presupunere se face pe tot parcursul restului, cu excepția unei secțiuni dedicate cazului particular al caracteristicii 2.

Definiție

O Clifford algebra este o algebra asociativa unitate asociată cu un spațiu vectorial V având o formă pătratică Q . Notăm prin <,> forma bilineară simetrică asociată cu Q :

{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} (Q (u + v) -Q (u) -Q (v)).}

Introducere informală

Algebra Clifford Cℓ ( V, Q ) este algebra „cea mai generală” generată de V , adică alcătuită din toate formulele sumelor și produselor scalarilor și vectorilor imaginabili, sub rezerva condiției

v ^ {2} = Q (v)

pentru orice vector din

v

V

unde produsul este luat în interiorul algebrei și unde este un scalar, multiplu al unității algebrei. Putem rescrie această identitate fundamentală în formă ${\ displaystyle v ^ {2} = v \ cdot v}$ ${\ displaystyle Q (v)}$

{\ displaystyle u \ cdot v + v \ cdot u = 2 \ langle u, v \ rangle}

pentru tot

u, v \ în V

Această idee de algebră „cea mai generală” supusă acestei identități poate fi exprimată formal prin noțiunea de proprietate universală care urmează.

Construcție și proprietate universală

Să V un spațiu vectorial pe un câmp comutativ K și o formă pătratică pe V . O algebră Clifford Cℓ ( Q ) este o algebră asociativă unitară peste K cu o hartă liniară definită de următoarea proprietate universală : $Î: V \ to K$ $i: V \ to C \ ell (Q)$

Pentru orice algebră asociativă A pe K prevăzută cu o hartă liniară care verifică pentru fiecare vector al lui V (unde 1 denotă neutrul multiplicativ al lui A ), există un omomorfism unic al algebrelor care determină comutarea următoarei diagrame: $j: V \ to A$ $j (v) ^ {2} = Q (v) 1$ $v$ $f: C \ ell (Q) \ to A$

adică asta . $f \ circ i = j$

Lucrând cu forma bilineară simetrică asociată cu Q , condiția de pe j este $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

j (v) j (w) + j (w) j (v) = \ langle v, w \ rangle

pentru toate v w ∈ V .

O algebră Clifford descrisă mai sus încă există și poate fi construită după cum urmează: începeți cu cea mai generală algebră care conține V , concret algebra tensorială T ( V ), apoi impuneți identitatea fundamentală luând un coeficient adecvat. În cazul nostru, vrem să ia idealul bilateral în generat de toate elementele formularului $I_ {Q}$ $TELEVIZOR)$

v \ otimes vQ (v) 1

pentru tot

v \ în V

și definiți Cℓ ( V, Q ) drept coeficient

C \ ell (V, Q) = T (V) / I_ {Q}

Este apoi mai direct să arătăm că Cℓ ( V, Q ) conține V și satisface proprietatea universală de mai sus, prin urmare că C that este unic cu excepția unui izomorfism; deci, vorbim de Clifford algebrei Cℓ ( V, Q ). Din această construcție rezultă, de asemenea, că i este injectiv . De obicei, neglijăm să denotăm i și îl considerăm pe V ca subspatiu vectorial al lui Cℓ ( V, Q ).

O consecință a definiției este că pentru toți vectorii de , identitatea este adevărată în Cℓ ( V, Q ). Această proprietate poate fi utilizată ca definiție alternativă. $u, v$ $V$ ${\ displaystyle u \ cdot v + v \ cdot u = \ langle u, v \ rangle 1}$

Caracterizarea universală a show - Clifford algebre că construcția Cℓ ( V, Q ) este functorial în natură . Concret, Cℓ poate fi considerat un functor rezultat din categoria spațiilor vectoriale cu forme pătratice (ale căror morfisme sunt hărți liniare care păstrează forma pătratică) spre categoria algebrelor asociative. Proprietatea universală asigură că hărțile liniare între spațiile vectoriale (păstrând forma pătratică) se extind în mod unic la omomorfismele algebrelor dintre algebrele asociate Clifford.

Baza și dimensiunea

Dacă dimensiunea lui V este n și este o bază a lui V , atunci mulțimea $\ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}$

{\ displaystyle \ {e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}} \ mid 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n {\ mbox {et}} 0 \ leq k \ leq n \}}

este o bază a Cℓ ( V, Q ). Această familie include un produs gol ( k = 0), deci unitatea de algebră. Fiecare valoare a lui k dă elemente ale bazei, deci dimensiunea algebrei Clifford este ${\ binom nk}$

\ dim C \ ell (V, Q) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ begin {pmatrix} n \\ k \ end {pmatrix}} = 2 ^ {n}.

Există un set de baze privilegiate pentru V : bazele ortogonale . O bază ortogonală este astfel încât

\ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0 \ qquad i \ neq j. \,

Identitatea fundamentală a lui Clifford implică asta pentru o bază ortogonală

{\ displaystyle e_ {i} \ cdot e_ {j} = - e_ {j} \ cdot e_ {i} \ qquad i \ neq j. \,}

Acest lucru face manipularea vectorilor bazei ortogonale destul de simplă. Având în vedere un produs de vectori distinct de baza ortogonală, îi putem plasa într-o ordine standard, incluzând un semn corespunzător numărului de transpuneri necesar pentru a le ordona corect (adică semnătura permutării ordonate). ${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}}}$

Putem extinde cu ușurință forma pătratică pe V la o formă pătratică pe Cℓ ( V, Q ) cerând ca elementele distincte să fie ortogonale între ele și prin setarea: $e _ {{i_ {1}}} e _ {{i_ {2}}} \ cdots e _ {{i_ {k}}}$

{\ displaystyle Q (e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}}) = Q (e_ {i_ {1}}) Q (e_ { i_ {2}}) \ cdots Q (e_ {i_ {k}})}

În special ,, și forma pătratică peste un scalar este pur și simplu . Astfel, bazele ortogonale ale lui V pot fi extinse la o bază ortogonală a lui Cℓ ( V, Q ). Forma pătratică definită în acest mod este de fapt independentă de baza ortogonală aleasă (o formulare independentă de bază va fi dată mai jos). $Q (1) = 1$ $Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2}$

Exemple: algebre Clifford reale și complexe

Cele mai importante algebre Clifford sunt cele asupra spațiilor vectoriale reale și complexe cu forme pătratice nedegenerate .

Algebre reale ale lui Clifford

Fiecare formă pătratică nedegenerată pe un spațiu vectorial real de dimensiune finită este echivalentă cu forma diagonală standard:

Q (v) = v_ {1} ^ {2} + \ cdots + v_ {p} ^ {2} -v _ {{p + 1}} ^ {2} - \ cdots -v _ {{p + q }} ^ {2}

unde n = p + q este dimensiunea spațiului vectorial. Perechea de numere întregi ( p , q ) se numește semnătura formei pătratice . Spațiul vectorial cu această formă pătratică este adesea notat ℝ p, q . Algebra Clifford pe ℝ p, q este notată cu Cℓ p, q (ℝ). Simbolul Cℓ n (ℝ) înseamnă fie Cℓ n , 0 (ℝ), fie Cℓ 0, n (ℝ), în funcție de faptul dacă autorii preferă spații definite pozitive sau negative.

O bază ortonormală standard { e i } pentru ℝ p, q constă din n = p + q vectori ortogonali reciproci, p au o normă +1 și q au o „normă” -1 (punem ghilimele pentru că strict vorbind o normă este pozitiv). Algebra Cℓ p, q (ℝ) va avea deci p vectori de bază al căror pătrat va fi egal cu +1 și q vectori de bază al căror pătrat va fi egal cu -1.

Cℓ 0,0 (ℝ) este izomorf în mod natural la ℝ, deoarece nu există alți vectori decât zero.
Cℓ 0,1 (ℝ) este o algebră bidimensională generată de un vector unic e 1 al cărui pătrat este egal cu -1 și, prin urmare, izomorf cu ℂ, câmpul numerelor complexe .
Algebra Cℓ 0,2 (ℝ) este o algebră cu patru dimensiuni generată de {1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 }. Ultimele trei elemente sunt pătrate egale cu -1 și toate anti-comutator, deci algebra este izomorfă pentru cuaternionii ℍ.
Următoarea algebră din C following 0.3 (ℝ), este o algebră optidimensională izomorfă la suma directă ℍ⊕ℍ numită biquaternions Clifford .

Algebre complexe Clifford

De asemenea, putem studia algebrele Clifford pe spații vectoriale complexe. Fiecare formă pătratică nedegenerată pe un spațiu vectorial complex este echivalentă cu forma diagonală standard

Q (z) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}

unde n = dim V , deci există în esență o singură algebră Clifford în fiecare dimensiune. Notăm algebra Clifford peste ℂ n cu forma pătratică standard prin Cℓ n (ℂ). Putem arăta că algebra Cℓ n (ℂ) poate fi obținută prin complexificarea algebrei Cℓ p, q (ℝ) unde n = p + q :

{\ displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) \ cong C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R}) \ otimes \ mathbb {C} \ cong C \ ell (\ mathbb {C} ^ {p + q}, Q \ otimes \ mathbb {C})}

Aici Q este forma pătratică reală a semnăturii ( p, q ), dar complexificarea nu depinde de semnătură. Primele cazuri nu sunt greu de calculat. Găsim asta

{\ displaystyle C \ ell _ {0} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C}}

{\ displaystyle C \ ell _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}

{\ displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = \ mathrm {M} _ {2} (\ mathbb {C})}

(algebra matricială mărimea 2) .

Există o clasificare completă a acestor algebre : se dovedește că fiecare dintre algebrele Cℓ p, q (ℝ) și Cℓ n (is) este izomorfă la o algebră de matrice pe ℝ, ℂ sau ℍ sau la suma directă a două algebre de acest fel.

Proprietăți

Comparație cu algebra exterioară

Dată fiind un spațiu vectorial V , putem construi algebra exterior , definiția este independentă de orice formă pătratică pe V . Dacă Q = 0, atunci algebra Clifford Cℓ ( V, Q ) este și algebra exterioară . Pentru Q, altul decât zero, există un izomorfism canonic între și Cℓ ( V, Q ), văzut ca spații vectoriale . Nu respectă structura algebrelor (legile produsului), cu excepția cazului Q = 0. Putem astfel considera algebra Clifford Cℓ ( V, Q ) ca o îmbogățire a algebrei exterioare pe V cu o multiplicare care depinde de Î . $\ Lambda (V)$ $\ Lambda (V)$ $\ Lambda (V)$

Cel mai simplu mod de a stabili izomorfismul este să alegeți o bază ortogonală { e i } pentru V și să o extindeți la o bază ortogonală pentru Cℓ ( V, Q ) așa cum este descris mai sus. Cererea este determinată de $C \ ell (V, Q) \ to \ Lambda (V)$

e _ {{i_ {1}}} e _ {{i_ {2}}} \ cdots e _ {{i_ {k}}} \ mapsto e _ {{i_ {1}}} \ wedge e _ {{ i_ {2}}} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {{i_ {k}}}

O astfel de construcție necesită o alegere a bazei { e i } ortogonale, dar putem arăta că izomorfismul obținut este independent de această alegere.

Dacă caracteristica lui K este 0, putem stabili și izomorfismul prin antisimetrie. Definiți funcțiile prin $f_ {k}: V \ times \ ldots \ times V \ to C \ ell (V, Q)$

f_ {k} (v_ {1}, \ cdots, v_ {k}) = {\ frac 1 {k!}} \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {k}}} {{\ rm {sgn} }} (\ sigma) \, v _ {{\ sigma (1)}} \ cdots v _ {{\ sigma (k)}}

unde suma este preluată asupra grupului simetric peste k elemente și unde este semnătura permutării . Harta multiliniară f k este alternată și induce o hartă liniară . Suma directă a acestor hărți oferă o hartă liniară între și Cℓ ( V, Q ), care este un izomorfism. ${{\ rm {sgn}}} (\ sigma)$ $\ sigma$ $\ Lambda ^ {k} (V) \ to C \ ell (V, Q)$ $\ Lambda (V)$

Un alt mod de a privi relația este construirea unei filtrări pe Cℓ ( V, Q ). Amintiți-vă că algebra tensorială T ( V ) are un filtru natural: unde F k conține sumele tensorilor de rang ≤ k . Proiectarea acestui lucru în algebra lui Clifford dă un filtru pe Cℓ ( V, Q ). Asociată algebra gradat $F ^ {0} \ subset F ^ {1} \ subset F ^ {2} \ subset \ ldots$

\ bigoplus _ {k} F ^ {k} / F ^ {{k-1}}

este în mod natural izomorf pentru algebra exterioară . $\ Lambda (V)$

Dacă are o dimensiune finită, dacă câmpul este închis algebric și dacă forma pătratică este nedegenerată, algebra Clifford este centrală simplă . Astfel, conform teoremei Artin-Wedderburn , este (non-canonic) izomorfă la o algebră matricială . Rezultă că, în acest caz, are o reprezentare ireductibilă a dimensiunii , care este unică până la un izomorfism (non-unic). Este reprezentarea spinorului (în) , ai cărui vectori se numesc spinori . $V$ $C (q)$ $2 ^ {{\ dim V / 2}}$

Absolvire

Ca spațiu vectorial, Cℓ ( V, Q ) moștenește o ℤ-gradare a izomorfismului canonic cu algebra exterioară . Valoarea pătratului unui vector al lui V arată că multiplicarea Clifford nu respectă această ℤ-gradare. Cu toate acestea, există o absolvire mai grosieră, compatibilă cu produsul, care constă în examinarea parității numărului de factori dintr-un produs de vectori. $\ Lambda (V)$

Acesta este construit ℤ 2 -graduation și morfism asociate de cartografiere liniară pe V . Păstrează forma pătratică Q și, prin urmare, se extinde, prin proprietatea universală a algebrelor Clifford într-un automorfism algebric $v \ mapsto -v$

\ alpha: C \ ell (V, Q) \ to C \ ell (V, Q).

Endomorfismul este o involuție (adică pătratul său este identitatea ), numită involuție principală sau involuție de grad . Spațiul Cℓ ( V, Q ) este suma directă a spațiilor egale pentru -1 și 1 $\alfa$

C \ ell (V, Q) = C \ ell ^ {0} (V, Q) \ oplus C \ ell ^ {1} (V, Q)

unde . Proprietățile produsului se reflectă într-o regulă a semnelor $C \ ell ^ {i} (V, Q) = \ {x \ în C \ ell (V, Q) | \ alpha (x) = (- 1) ^ {i} x \}$ $\alfa$

C \ ell ^ {i} (V, Q) C \ ell ^ {j} (V, Q) = C \ ell ^ {{i + j}} (V, Q)

unde indicii superiori trebuie citiți modulul 2. Astfel Cℓ ( V, Q ) este o algebră cu gradul ℤ 2 (numită și superalgebră ). Spațiul Cℓ 0 ( V, Q ) formează o subalgebră a lui Cℓ ( V, Q ), care este și o algebră Clifford, numită subalgebră pare . Partea Cℓ 1 ( V, Q ) numită partea impară a lui Cℓ ( V, Q ) nu este o subalgebră. Acest grad ℤ 2 joacă un rol important în analiza și aplicarea algebrelor Clifford.

Gradul unui element al Clifford algebrei , în general , se referă la gradul în ℤ-absolvire. Elementele care sunt omogene în gradul ℤ 2 sunt pur și simplu numite pare sau impare.

Dacă V este suma ortogonală directă a unui vector neizotrop a ( Q ( a ) non-zero) și a unui hiperplan U , atunci Cℓ 0 ( V, Q ) este izomorfă la Cℓ ( U, -Q ( a ) Q ) , unde - Q ( a ) Q este forma Q limitată la U și înmulțită cu - Q ( a ). În special, în ceea ce privește numerele reale, acest lucru înseamnă că

C \ ell _ {{p, q}} ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cong C \ ell _ {{p, q-1}} (\ mathbb {R})

pentru q > 0 și

C \ ell _ {{p, q}} ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cong C \ ell _ {{q, p-1}} (\ mathbb {R})

pentru p > 0.

În cazul negativ definit, aceasta oferă o incluziune care extinde secvența $C \ ell _ {{0, n-1}} (\ mathbb {R}) \ subset C \ ell _ {{0, n}} (\ mathbb {R})$

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ subset \ ldots}

În mod similar, în cazul complex, putem arăta că subalgebra uniformă a lui este izomorfă pentru . ${\ displaystyle C \ ell _ {0, n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle C \ ell _ {0, n-1} (\ mathbb {C})}$

Mai general, atunci când spațiul V este scris ca suma a două ortogonale suplimentare, algebra Clifford a lui V este calculată din algebrele Clifford ale acestor sub spații, prin efectuarea unui produs tensor adaptat la ℤ 2 - gradare (în) .

Anti-automorfisme asociate

În plus față de automorfism , există două anti- automorfisme care joacă un rol important în analiza algebrelor Clifford. Reamintim că algebra tensorială T ( V ) are un anti-automorfism care inversează ordinea tuturor produselor: $\alfa$

v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {k} \ mapsto v_ {k} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {2} \ otimes v_ {1}

Deoarece idealul este invariant sub această inversare, această operație coboară către un anti- automorfism al lui Cℓ ( V, Q ) numit operațiunea de transpunere sau inversare , notată cu . Transpunerea este un antiautomorphism: . Operația de transpunere nu utilizează gradarea ℤ 2, așa că definim un al doilea antiautomorfism prin compoziția lui α și transpunerea. Numim această operațiune conjugarea notată Clifford : $I_ {Q}$ $x ^ {t}$ $(xy) ^ {t} = y ^ {t} x ^ {t}$ ${\ bar x}$

{\ bar x} = \ alpha (x ^ {t}) = \ alpha (x) ^ {t}

Dintre aceste două anti-automorfisme, transpunerea este cea mai fundamentală.

Toate aceste operații sunt involuții . Putem arăta că acționează ca ± 1 asupra elementelor omogene în gradarea gradu. De fapt, toate cele trei operații depind doar de gradul modulo 4. Adică, dacă x este omogen cu gradul k , atunci

\ alpha (x) = \ pm x \ qquad x ^ {t} = \ pm x \ qquad {\ bar x} = \ pm x \,

unde semnele sunt date de următorul tabel:

k mod 4	0	1	2	3
$\ alfa (x) \,$	+	-	+	-	$(-1) ^ {k} \,$
$x ^ {t} \,$	+	+	-	-	$(-1) ^ {{k (k-1) / 2}} \,$
${\ bar x}$	+	-	-	+	$(-1) ^ {{k (k + 1) / 2}} \,$

Produsul dot al lui Clifford

Forma pătratică Q peste V poate fi extinsă la o formă pătratică peste orice Cℓ 0 ( V, Q ) așa cum s-a explicat mai sus (și pe care l-am notat și cu Q ). O definiție de bază independentă este

Q (x) = \ langle x ^ {t} x \ rangle

unde < a > este partea scalar a unei (parte a gradație 0 în ℤ-scalarea). Putem arăta asta

Q (v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {k}) = Q (v_ {1}) Q (v_ {2}) \ cdots Q (v_ {k})

unde v i sunt elementele lui V - această identitate nu este adevărată pentru elementele arbitrare ale lui Cℓ 0 ( V, Q ).

Forma biliniară simetrică asociată pe Cℓ 0 ( V, Q ) este dată de

\ langle x, y \ rangle = \ langle x ^ {t} y \ rangle.

Putem verifica dacă acest lucru este redus la forma inițială atunci când biliniar limitată la V . Forma biliniară pe toate Cℓ 0 ( V, Q ) este nedegenerata dacă și numai dacă nu este degenerată pe V .

Nu este dificil să se verifice dacă transpunerea este asistenta multiplicării Clifford stânga / dreapta cu respectarea acestui produs intern. Adică,

\ langle ax, y \ rangle = \ langle x, a ^ {t} y \ rangle,

și

\ langle xa, y \ rangle = \ langle x, ya ^ {t} \ rangle.

Cazul caracteristicii 2

Formele cadratice și algebrele Clifford ale caracteristicii 2 formează un caz excepțional. În special, dacă caracteristica lui K = 2, nu este adevărat că o formă pătratică este determinată de forma sa bilineară simetrică sau că fiecare formă pătratică admite o bază ortogonală. Nu mai există un izomorfism natural cu algebra exterioară (chiar dacă acestea rămân izomorfe).

Structura algebrelor Clifford

În această parte, presupunem că spațiul vectorial V este dimensional finit și că forma biliniară a lui Q nu este degenerată. Un simplu algebra centrală peste K este o algebra matrice pe o diviziune algebra (mărime finită) cu un centru K . De exemplu, algebrele centrale simple asupra realilor sunt algebrele matriciale fie asupra realilor, fie a cuaternionilor.

Dacă V are o dimensiune pereche atunci Cℓ ( V, Q ) este un simplu algebra centrală peste K .
Dacă V are o dimensiune uniformă, atunci Cℓ 0 ( V, Q ) este o algebră centrală simplă peste o extensie pătratică a lui K sau peste o sumă de două algebre centrale simple peste K izomorfe.
Dacă V are o dimensiune ciudată, atunci Cℓ ( V, Q ) este o algebră centrală simplă peste o extensie pătratică a lui K sau peste o sumă de două algebre centrale simple peste K izomorfe.
Dacă V are o dimensiune ciudat atunci Cℓ 0 ( V, Q ) este un simplu algebra centrală peste K .

Structura algebrelor Clifford poate fi stabilită în mod explicit folosind următorul rezultat. Să presupunem că U are o dimensiune uniformă și o formă bilineară nesingulară cu un discriminant d și să presupunem că V este un alt spațiu vectorial cu o formă pătratică. Algebra Clifford a lui U + V este izomorfă pentru produsul tensor al algebrelor Clifford ale lui U și , care este spațiul V cu forma sa pătratică înmulțit cu . În ceea ce privește numerele reale, acest lucru implică în special faptul că $(-1) ^ {{dim (U) / 2}} dV$ $(-1) ^ {{dim (U) / 2}} d$

{\ displaystyle Cl_ {p + 2, q} (\ mathbb {R}) = M_ {2} (\ mathbb {R}) \ otimes Cl_ {q, p} (\ mathbb {R})}

Cl _ {{p + 1, q + 1}} (\ mathbb {R}) = M_ {2} (\ mathbb {R}) \ otimes Cl _ {{p, q}} (\ mathbb {R})

{\ displaystyle Cl_ {p, q + 2} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {H} \ otimes Cl_ {q, p} (\ mathbb {R})}

Aceste formule pot fi folosite pentru a găsi structura tuturor algebrelor Clifford reale.

Grupuri legate de algebrele Clifford

Găsiți automorfismele ortogonale ale lui V

Grupul de elemente inversabile ale algebrei lui Clifford acționează în mod natural asupra algebrei, prin automorfisme interioare : aceasta este reprezentarea adiacentă

{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {\ varphi}: x \ mapsto \ varphi \ cdot x \ cdot \ varphi ^ {- 1}}

care, în cazul dimensiunii finite reale sau complexe, este o reprezentare obișnuită a teoriei grupurilor Lie . Această operație va face posibilă găsirea și generalizarea grupurilor de transformări ale geometriei euclidiene.

Printre inversibile se găsesc în special toți vectorii v ai spațiului inițial V care sunt neizotropi pentru Q ( ). Imaginea lor de pe harta alăturată este o transformare a algebrei Clifford care lasă V stabil, și care este de fapt opusul reflecției hiperplanului ortogonal față de v . Acest lucru explică de ce suntem interesați și de o versiune răsucită a reprezentării adiacente: ${\ displaystyle Q (v) \ neq 0}$

{\ displaystyle {\ widetilde {\ mathrm {Ad}}} _ {\ varphi}: x \ mapsto \ alpha (\ varphi) \ cdot x \ cdot \ varphi ^ {- 1}}

de data aceasta pentru , recunoaștem în reflexia hiperplanului . ${\ displaystyle v \ în V, Q (v) \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathrm {Ad}}} _ {v}}$ ${\ displaystyle v ^ {\ perp}}$

Sub Cartan-Dieudonne teorema , dacă V este dimensiunea finită și în cazul în care forma de biliniar Q este nesingular, putem, de materiale, pentru a primi toate elementele grupului ortogonală al V .

Grupurile de geometrie a spinorului

Mai general, putem căuta toate transformările lui V induse de acțiunea elementelor grupului de inversibile. Este necesar să ne limităm la cei care îl lasă pe V stabil: acest lucru se numește grupul Clifford . Are subgrupuri cu proprietăți interesante de conservare: grupul special Clifford, grupul sau pinorii pinor și grupul sau spinorii spinor .

Aplicații

Automatizarea calculului geometric

Geometria diferențială

În geometria diferențială , extindem construcțiile algebrei exterioare în cadrul pachetelor vectoriale . Acesta este cazul, de exemplu, atunci când se definește pentru a defini, de exemplu, pachetul cotangent sau mai general algebra externă a formelor diferențiale pe un distribuitor diferențial .

În același mod, pe un pachet vectorial prevăzut cu o formă bilineară simetrică (toate suficient de regulate), putem extinde construcția fibrei de algebră Clifford cu fibră și putem obține un pachet Clifford . Acesta este în special cazul pachetului tangent al unui ( pseudo -) varietate Riemanniană , prevăzut cu metrica .

Această construcție oferă aplicații interesante în geometria Riemanniană . Astfel, sub rezerva anumitor constrângeri topologice, putem defini pe anumite varietăți riemanniene noțiunile de structură spinor sau structură Spin c care, în schimb, pot arunca lumină asupra proprietăților acestor varietăți.

Fizic

Algebrele Clifford au multe aplicații importante în fizică. Fizicienii consideră de obicei o algebră Clifford ca o algebră generată de matrici numite matrici Dirac care au proprietatea: $\ gamma _ {1}, \ ldots, \ gamma _ {n}$

\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} + \ gamma _ {j} \ gamma _ {i} = 2 \ eta _ {{ij}} \,

unde este matricea unei forme de semnătură pătratică ( p, q ) - de obicei (1,3) când se lucrează într-un spațiu Minkowski . Acestea sunt exact relațiile definite pentru algebra Clifford Cℓ 1,3 (ℂ) (până la un factor 2 lipsit de importanță), care prin clasificarea algebrelor Clifford este izomorfă pentru algebra matricei complexe 4 × 4. Matricile sunt doar matricile multiplicării cu vectorul în reprezentarea spinorului, în raport cu o bază arbitrară de spinori. $\ eta$ $\ gamma _ {i}$ $e_i$

Matricile Dirac au fost descoperite pentru prima dată de Paul Dirac atunci când a încercat să scrie o ecuație relativistă de undă de prim ordin pentru electron și a dat un izomorfism explicit de la algebra Clifford la algebra matricială complexă. Rezultatul a fost folosit pentru a defini ecuația Dirac, care este scrisă foarte simplu în algebra Clifford. Întreaga algebră Clifford este utilizată în teoria câmpului cuantic .

Note și referințe

Note

Matematicienii care lucrează cu algebre Clifford reale și preferă forme pătratice definite pozitive (tocmai cele care lucrează în teoria indexului) folosesc uneori o alegere diferită a semnelor în identitatea fundamentală Clifford. Adică iau . Putem înlocui Q cu - Q mergând de la o convenție la alta. Un exemplu de lucrare care folosește această convenție alternativă este Lawson și Michelsohn's Spin Geometry , citate în referință. $v ^ {2} = - Q (v)$
Pentru această întreagă secțiune, a se vedea de exemplu Lawson și Michelsohn 1989 , p. 7-9.
Lawson Michelsohn , p. 11.
Opusul este adevărat atunci când se utilizează convenția de semn alternativ (-) pentru algebrele Clifford: conjugatul este mai important. În general, semnificațiile conjugării și transpunerii sunt schimbate atunci când se trece de la o convenție de semn la alta. De exemplu, în convenția utilizată aici, inversul unui vector este dat de în timp ce în convenția (-), este dat de . $v ^ {{- 1}} = v ^ {t} / Q (v)$ $v ^ {{- 1}} = {\ bar {v}} / Q (v)$
Lawson și Michelsohn 1989 , p. 12-13.
Lawson și Michelsohn 1989 , p. 17.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Clifford algebra ” (a se vedea lista autorilor ) .
(ro) S. Carnahan, Note de seminar Borcherds, Uncut , săptămâna 5, „ Spinors and Clifford Algebras ”
(ro) H. Blaine Lawson (ro) și Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN 978-0-691-08542-5 )
(ro) Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , CUP , 2001 ( ISBN 978-0-521-00551-7 )
(ro) Ian R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups , CUP, 1995 ( ISBN 978-0-521-55177-9 )
(în) „ A Swift Introduction to Geometric Algebra ” [video] de pe youtube.com (accesat la 25 iulie 2021 ) ( 44 min 22 s )

Vezi și tu

Articole similare

Algebra spațiului fizic (în)
Reprezentarea algebrelor Clifford
Algebra geometrică
Paravecteur (ro)

linkuri externe

(ro) „ Clifford algebra ” , pe PlanetMath
(ro) Urmărirea istoriei „algebrei Clifford” (neconfirmată)