Algebră absolvită

În matematică , în algebra liniară , numim algebră gradată o algebră cu o structură suplimentară, numită absolvire .

Definiție

Sau A o algebră peste un câmp (sau , mai general , pe un inel ) K . O absolvire pe A este datele dintr - o familie de subspatii vectoriale de A satisface: (LAeu)eu∈NU{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

• LA=⨁eu∈NULAeu{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀eu,j∈NU,LAeuLAj⊂LAeu+j{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ subset A_ {i + j}}Adică .∀[eu,j∈NU,X∈LAeu,y∈LAj],  X×y∈LAeu+j{\ displaystyle \ forall \ left [i, j \ in \ mathbb {N}, x \ in A_ {i}, y \ in A_ {j} \ right], \ \ x \ times y \ in A_ {i + j}}

Se spune apoi că algebra A este gradată (uneori ℕ-gradată, ca un caz particular al noțiunii de algebră M- gradată pentru un monoid M ).

Se spune că elementele lui A i sunt omogene de gradul i . Se spune că un ideal este omogen dacă, pentru fiecare element a pe care îl conține, conține și părțile omogene ale lui a . Aceasta înseamnă a spune că I este generat de elemente omogene.

Orice inel (nu gradată) A poate fi prevăzută cu o gradație în care prezintă A 0 = A și A i = 0 pentru toți i > 0. Această structură se numește o gradație trivială A .

O hartă f între algebre gradate A și B (pe același câmp) este un homomorfism al algebrelor gradate dacă pentru toate i . f(LAeu)⊂Beu{\ displaystyle f (A_ {i}) \ subset B_ {i}}

Exemple

• Inelul polinoamelor în mai multe K [ X 1 ,…, X n ] nedeterminate , în care elementele omogene de grad n sunt polinoamele omogene de grad n .
• Algebra tensor T ( V ) într - un spațiu vectorial V , unde elementele omogene de grad n sunt tensorii ale formei .v1⊗v2⊗⋯⊗vnu{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• Simetrică algebra S ( V ) și algebra exterioară Λ ( V ) sunt algebrele, elementele omogene de grad gradat n fiind imaginile elementelor omogene ale T ( V ). Mai general, dacă un ideal I al unei algebre A gradate este omogen, coeficientul A / I este gradat în mod natural de(LA/Eu)eu=LAeu/(Eu∩LAeu).{\ displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Note și referințe

1. N. Bourbaki , Algebra ( citește online ) , p.  III.30.

Articol asociat

Algebră gradată diferențial  (ro)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">