Legea inerției lui Sylvester

În matematică și mai ales în algebră liniară , legea inerției lui Sylvester , formulată de James Joseph Sylvester în1852, este o teoremă de clasificare pentru forme pătratice reale. Cu ajutorul unei schimbări adecvate a variabilelor, orice polinom omogen de gradul 2 cu coeficienți reali și n variabile poate fi scris ca o sumă de pătrate, precedată de semne + sau - (această scriere numește reducerea Gaussiană ); legea inerției spune că numărul semnelor + și numărul semnelor - nu depind de schimbarea variabilei utilizate.

State

Definiții . Indicele de inerție (sau mai pe scurt index) a unei forme pătratice Q pe un adevărat vector spațial V de dimensiune finită n este dimensiunea maximă a subspațiile F de V astfel încât pentru toți . Î(v)<0{\ displaystyle Q (v) <0}v∈F∖{0}{\ displaystyle v \ în F \ setminus \ {0 \}}

Fie q indicele formei pătratice Q și fie p dimensiunea maximă a subspaiilor G ale V astfel încât pentru orice , cu alte cuvinte astfel încât restricția de la Q la G să fie pozitivă definită . Î(v)>0{\ displaystyle Q (v)> 0}v∈G∖{0}{\ displaystyle v \ în G \ setminus \ {0 \}}

Perechea ( p , q ) se numește semnătura Q .

Indicele unei forme definitive pozitive este zero; semnătura sa este ( n , 0). Indicele unei forme definitive negative (adică astfel încât –Q este definitiv pozitiv) este egal cu n  ; semnătura sa este (0, n ).

Legea inerției lui Sylvester  -  Fie Q o formă reală de semnătură pătratică ( p , q ). Pentru orice bază ortogonală pentru Q avem (eeu){\ displaystyle (e_ {i})}

p=vs.lard({eu∣Î(eeu)>0}) și q=vs.lard({eu∣Î(eeu)<0}){\ displaystyle p = \ mathrm {card} (\ {i \ mid Q (e_ {i})> 0 \}) {\ text {et}} q = \ mathrm {card} (\ {i \ mid Q ( e_ {i}) <0 \})}.

Rangul lui Q este egal cu p + q  ; două forme pătratice sunt echivalente dacă și numai dacă au aceeași semnătură.

Demonstrație

Fie și să fie două baze ortogonale. Să notăm temporar cu r și r ' (resp. S și s' ) numărul de vectori din fiecare bază pentru care Q este strict pozitiv (resp. Strict negativ). Mai întâi vom arăta că r = r ' și s = s' . (e1,...,enu){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}(e1′,...,enu′){\ displaystyle (e '_ {1}, \ ldots, e' _ {n})}

Notăm și . Eu={eu∣Î(eeu)>0}{\ displaystyle I = \ {{i \ mid Q (e_ {i})> 0 \}}}K={j∣Î(ej′)⩽0}{\ displaystyle K = \ {{j \ mid Q (e '_ {j}) \ leqslant 0 \}}}

Atunci familia formată din vectori și este liberă . Într-adevăr, dacă , vectorul verifică . Definiția lui I și K implică nulitatea tuturor . Deci , de aici, de această dată, nulitatea . Independența obținută implică , fie și deci . Prin simetrie, r = r ' . Același argument arată că s = s ' . (eeu)eu∈Eu{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ în I}}(ej′)j∈K{\ displaystyle (e '_ {j}) _ {j \ în K}}∑eu∈EuXeu.eeu+∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} x_ {i} .e_ {i} + \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}z=∑eu∈EuXeueeu=-∑j∈Kyjej′{\ displaystyle z = \ sum _ {i \ in I} x_ {i} e_ {i} = - \ sum _ {j \ in K} y_ {j} e '_ {j}}Î(z)=∑eu∈EuXeu2Î(eeu)=∑j∈Kyj2Î(ej′){\ displaystyle Q (z) = \ sum _ {i \ in I} x_ {i} ^ {2} Q (e_ {i}) = \ sum _ {j \ in K} y_ {j} ^ {2} Q (e '_ {j})}Xeu,eu∈Eu{\ displaystyle x_ {i}, i \ in I}∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}yj,j∈K{\ displaystyle y_ {j}, j \ în K}vs.lardEu+vs.lardK⩽nu{\ displaystyle \ mathrm {card} I + \ mathrm {card} K \ leqslant n}r+(nu-r′)⩽nu{\ displaystyle r + (n-r ') \ leqslant n}r⩽r′{\ displaystyle r \ leqslant r '}

Fie F acum un sub spațiu cu dimensiunea maximă q pe care Q este negativ definit și subspaiul său ortogonal . Ca orice vector v de satisfacții , avem . Ca și pe de altă parte , F⊥{\ displaystyle F ^ {\ perp}}F∩F⊥{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp}}Î(v)=0{\ displaystyle Q (v) = 0}F∩F⊥=0{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp} = 0}deumF+deumF⊥≥nu{\ displaystyle dimF + dimF ^ {\ perp} \ geq n}

avem V=F⨁F⊥(suma directa){\ displaystyle V = F \ bigoplus F ^ {\ perp} \ quad {\ text {(suma directă)}}}.

Deci putem găsi o bază ortogonală din care primii vectori q formează o bază a lui F și nq urmând un F ortogonal de bază . Dar , pentru i> q  : în cazul în care , pe spațiul , forma Q este definit negativ încă, contrar ipoteza dimensiunii maxime pentru F . Conform primei părți a dovezii, q = s  ; la fel, p = r . (e1,...,enu){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}Î(eeu)≥0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ geq 0}F⨁Reeu{\ displaystyle F \ bigoplus \ mathbb {R} e_ {i}}

Prin urmare, într-o bază ortogonală, Q este scris -∑eu=1qvs.euXeu2+∑eu=q+1q+pvs.euXeu2{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} c_ {i} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} c_ {i} x_ {i} ^ {2}}

unde sunt coordonatele față de această bază, realele strict pozitive. În baza ortogonală obținută prin înlocuirea cu Q este scris Xeu{\ displaystyle x_ {i}}vs.eu{\ displaystyle c_ {i}}eeu(1≤eu≤p+q){\ displaystyle e_ {i} \, (1 \ leq i \ leq p + q)}1vs.eueeu{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {i}}}} e_ {i}}

-∑eu=1qXeu2+∑eu=q+1q+pXeu2{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}},

ceea ce arată că două forme ale aceleiași semnături sunt echivalente. (Condiția este necesară: dacă , unde este liniar inversabil, imaginea par a unei baze ortogonale pentru Q ' este ortogonală pentru Q. ). Î′=Î∘ϕ{\ displaystyle Q ^ {\ prime} = Q \ circ \ phi}ϕ:V→V{\ displaystyle \ phi: V \ rightarrow V}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Comentarii

• O consecință a dovezii este faptul că reducerea Gaussiană , oricum o faceți, dă același număr de „pătrate pozitive” și „pătrate negative”.
• Înmulțind vectorii unei baze ortogonale cu constante adecvate, se poate presupune că se reduce la cazul în care se verifică . În ceea ce privește o astfel de bază, se scrie Qeeu{\ displaystyle e_ {i}}Î(eeu)≠0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ not = 0}Î(eeu)=±1{\ displaystyle Q (e_ {i}) = \ pm 1}-∑eu=1qXeu2+∑eu=q+1q+pXeu2.{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}. }
• În ceea ce privește matricile , avem o afirmație echivalentă: dacă A este matricea lui Q într-o bază , există o matrice inversabilă P astfel încâtPTLAP=(-Euq000Eup0000).{\ displaystyle P ^ {T} AP = {\ begin {pmatrix} -I_ {q} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} .}Cu alte cuvinte, matricea formei este congruentă cu o matrice diagonală având doar 0, 1 și –1 pe diagonală; clasa de congruență este caracterizată prin numărul întreg p și q .
• De asemenea, putem spune că două forme pătratice reale sunt echivalente dacă au același rang și același indice de inerție.
• Avem o descompunere ortogonalăV=F⨁G⨁rlad(Î){\ displaystyle V = F \ bigoplus G \ bigoplus rad (Q)}sau
  • Q este negativ definit pe F (care este de dimensiunea q ) și pozitiv definit pe G (care este de dimensiune p ).
  • Această descompunere nu este unică. Este determinată de alegerea lui F (sau a lui G ).
• Această teoremă arată că indicele de izotropie total al lui Q este egal cu inf ( p , q ) + n - r .
  Două forme reale pătratice cu același rang și cu același indice de izotropie totală sunt echivalente cu cel mai apropiat semn.
• Luând în considerare constrângerile evidente ale dimensiunii , există clase de echivalență a formelor pătratice pe un spațiu vectorial real de dimensiune n .(0≤q≤r≤nu){\ displaystyle (0 \ leq q \ leq r \ leq n)}(nu+1)(nu+2)/2{\ displaystyle (n + 1) (n + 2) / 2}

Exemple

• Forma pătraticăÎ(X,y,z,t)=vs.2t2-X2-y2-z2,{\ displaystyle Q (x, y, z, t) = c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}asociat cu un spațiu Minkowski în relativitate specială , are rangul 4 și semnătură (1, 3).
• De cand 4(Xy+yz+zt+Xt)=(X+y+z+t)2-(X+z-y-t)2,{\ displaystyle 4 (xy + yz + zt + xt) = (x + y + z + t) ^ {2} - (x + zyt) ^ {2},}forma Q ( x , y , z , t ) = 4 ( xy + yz + zt + xt ) este de rangul 2 și are semnătura (1, 1) și indexul 1.

Observații diverse

Relația cu valorile proprii

Se poate determina în mod direct semnătura formei Q cu valorile proprii ale matricei acestei forme , M . Într-adevăr, M este diagonalizabil (conform teoremei spectrale ), și aceasta într-o bază care îndeplinește condițiile teoremei precedente; deducem că rangul lui M și, prin urmare, al lui Q , este numărul de valori proprii diferite de zero (numărate cu multiplicitatea lor) și că q este numărul de valori proprii strict negative ale lui M.

Despre terminologie

În ceea ce privește indexul și semnătura , mai multe terminologii coexistă în comunitatea științifică. Acest lucru este reamintit în nota pentru index. Unii autori numesc semnătura întregul relativ pq (diferența de dimensiuni între subspaiile maxime „pozitive” și „negative”).

Aplicații

Calcul diferențial

Fie f o funcție C 2 peste ℝ n , al cărei diferențial dispare la 0 . Să presupunem că forma pătratică definită de matricea Hessian este nedegenerată cu indicele e . Apoi există un subspațiu vectorial V de dimensiune e astfel încât restricția de la f la V admite un maxim local strict la 0 . Mai mult, e este dimensiunea maximă a unui sub spațiu care are această proprietate.

În mod similar, există un W suplimentar de V astfel încât restricția de la f la W admite un minim local strict la 0 .

Aproximativ vorbind, indicele de aici măsoară non-minimalitatea într-un punct critic .

Aceste proprietăți rămân pe varietățile diferențiale. Ele stau la baza teoriei lui Morse .

Geometrie

Fie Q o formă pătratică pe ℝ 3 . Suprafața ecuației Q ( x , y , z ) = 1 este homeomorf (și chiar diffeomorphic ) la:

• sfera S 2 dacă Q este pozitiv definită.
• S 1 × ℝ dacă Q are semnătură (2, 1) ( hiperboloid cu o singură foaie).
• S 0 × ℝ 2 = {–1, 1} × ℝ 2 dacă Q are semnătură (1, 2) (hiperboloid cu două straturi).

Cuvântul de masă desemnează ceea ce se numește astăzi o componentă conectată .

Mai general, dacă Q este o formă pătratică pe ℝ n cu semnătură ( p , q ), hipersuprafața ecuației Q ( x ) = 1 este homeomorfă (și chiar difeomorfă) la S p - 1 × ℝ n - p .

Exemplu . Pe spațiul vectorial al matricelor reale (2,2), determinantul este o formă pătratică de semnătură (2,2). Prin urmare, grupul special liniar SL (2, ℝ) este homeomorf la S 1 × ℝ 2

Note și referințe

1. Sylvester 1852 .
2. J. Lelong-Ferrand și J.-M. Arnaudiès, Matematică, Volumul 1: Algebra, 2 e ed., Paris, Dunod, 1974, p .. 373.
3. Jean Fresnel , Cadratic, euclidian, spații hermitiene , Paris, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 ) , p.  63.
4. Printr- o proprietate elementară a formelor pătratice .
5. A se vedea, de asemenea, art. 348E din Dicționarul enciclopedic de matematică , ed. K. Itô, voi. 3, Cambridge și Londra: MIT Press, 1987.
6. (ro) Serge Lang , Algebra , Reading, Addison-Wesley ,1977, p.  358-366.

Vezi și tu

Bibliografie

• Marcel Berger , Geometrie [ detaliu ediții ], Nathan, Paris, 1990, volumul 2, 13.4.7
• Jean Fresnel , Quadratic, Euclidean, Hermitian , Paris, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 )
• Guy Auliac, Jean Delcourt, Rémy Goblot, Matematică: Algebră și geometrie , Colecție Obiectiv Licență, EdiScience, Dunod, 2005 ( ISBN  2 10 048335 8 )
• [Sylvester 1852] (ro) JJ Sylvester , „  O demonstrație a teoremei că fiecare polinom pătratic omogen este reductibil prin substituții ortogonale reale la forma unei sume de pătrate pozitive și negative  ” , Philos. Mag. , Seria a 4- a , vol.  4, n o  23,1852, n o  XIX , p.  138-142 ( OCLC  7317544727 , DOI  10.1080 / 14786445208647087 ), retipărire în:
  • [Baker și Sylvester 1904] (ro) HF Baker (ed., Pref. Și adnot.) Și JJ Sylvester , Lucrările matematice colectate ale lui James Joseph Sylvester , t.  I st  :1837-1853, Cambridge, CUP , hors coll. ,Aprilie 1904( repr. Februarie 2012), 1 st  ed. , 1  vol. , XII -650  p. , fig. și pl. , in-4 o (17 × 24,4  cm ) ( ISBN  978-1-107-65032-9 , EAN  9781107650329 , OCLC  459169152 , notificare BnF n o  FRBNF31425191 , SUDOC  019470991 , prezentare online , citiți online ) , nr o  47, p .  378-381.

Articole similare

• Matrice pozitivă definită
• Matricea de trecere
• Teoremele lui Sylvester 
• Semnătură (topologie  )

Link extern

Legea inerției lui Sylvester pe bibmath.net