Matricea simetrică

În liniar și biliniară algebra , o matrice simetrică este o matrice pătrată care este egală cu propria sa transpusa , adică astfel încât un i, j = a j, i pentru toți i și j între 1 și n , unde un i, j sunt coeficienții matricei și n este ordinea acesteia.

Exemple

Coeficienții unei matrice simetrice sunt simetrici în raport cu diagonala principală (de la colțul din stânga sus până la colțul din dreapta jos). Prin urmare, următoarea matrice este simetrică:

(246401061012){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 10 \\ 6 & 10 & 12 \ end {pmatrix}}}

Orice matrice diagonală este simetrică.

Proprietăți

• O matrice care reprezintă o formă biliniară este simetrică dacă și numai dacă aceasta din urmă este simetrică.
• Mulțimea matricilor simetrice de ordinul n cu coeficienți într-un câmp comutativ este un subspatiu vectorial cu dimensiunea n ( n +1) / 2 a spațiului vectorial al matricelor pătrate de ordinul n , iar dacă caracteristica corpului este diferită de 2, un subspațiu suplimentar este cel al matricelor antisimetrice .

Matrici simetrice reale

Descompunerea spectrală

Într-un spațiu euclidian , o matrice care reprezintă un endomorfism într-o bază ortonormală este simetrică dacă și numai dacă endomorfismul este auto-îmbinat . Cele finit dimensionale teorema spectrale deduce din aceasta că orice matrice simetrică cu reale coeficienți este diagonalizable folosind o ortogonală matrice de tranziție , deoarece valorile proprii ale unei endomorphism auto alăturat sunt reale și ei valorile proprii sunt ortogonale .

Numeric, procesul de diagonalizare se aplică oricărei matrici simetrice și constă în descompunerea acesteia în formă LA{\ displaystyle A}

LA=ODOT{\ displaystyle A = ODO ^ {\ mathsf {T}}}

unde este o matrice ortogonală (ale cărei coloane sunt vectorii proprii ai ) și unde este o matrice diagonală ai cărei coeficienți sunt exact valorile proprii ale . O{\ displaystyle O}LA{\ displaystyle A}D{\ displaystyle D}LA{\ displaystyle A}

Notă  : o matrice simetrică cu coeficienți complexi poate să nu fie diagonalizabilă. De exemplu, matricea

(1eueu-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & {\ rm {i}} \\ {\ rm {i}} & - 1 \ end {pmatrix}}}

admite 0 ca singură valoare proprie; dacă ar fi diagonalizabilă, ar fi zero. Analogul complex al matricilor simetrice reale este de fapt matricile hermitiene (care, la rândul lor, sunt diagonalizabile).

Inegalitatea urmei lui Ky Fan

Notăm spatiul vectorial al matricelor reale simetrice de ordinul n și , a valorilor proprii , care se clasează în ordine descrescătoare: Snu{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}λeu(LA)∈R{\ displaystyle \ lambda _ {i} (A) \ in \ mathbb {R}}eu=1,...,nu{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}nu{\ displaystyle n}LA∈Snu{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}}

λ1(LA)⩾λ2(LA)⩾⋯⩾λnu(LA).{\ displaystyle \ lambda _ {1} (A) \ geqslant \ lambda _ {2} (A) \ geqslant \ cdots \ geqslant \ lambda _ {n} (A).}

Vă prezentăm aplicația

λ:Snu→Rnu:LA↦(λ1(LA),...,λnu(LA)){\ displaystyle \ lambda: {\ mathcal {S}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}: A \ mapsto (\ lambda _ {1} (A), \ ldots, \ lambda _ { n / A))}

și, pentru un vector coloană , vom denumi transpusa vectorul rând și matricea diagonală a cărui coeficient indice este . v∈Rnu{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}vT{\ displaystyle v ^ {\ mathsf {T}}}Diag⁡(v){\ displaystyle \ operatorname {Diag} (v)}(eu,eu){\ displaystyle (i, i)}veu{\ displaystyle v_ {i}}

Ky Fan urmărește inegalitatea  -  Pentru tot și , avem LA{\ displaystyle A}B∈Snu{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}}

⟨LA,B⟩⩽λ(LA)Tλ(B),{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B),}

unde 〈⋅, ⋅〉 denotă produsul scalar canonic peMnu(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})} , cu egalitate dacă și numai dacă se pot obține descompuneri spectrale ordonate și de și de aceeași matrice ortogonală, adică dacă și numai dacă λ(LA){\ displaystyle \ lambda (A)}λ(B){\ displaystyle \ lambda (B)}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

∃V ortogonală:LA=VDiag⁡(λ(LA))VTșiB=VDiag⁡(λ(B))VT.{\ displaystyle \ există \, V ~ {\ mbox {ortogonal}}: \ quad A = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \; V ^ {\ mathsf {T}} \ quad { \ mbox {și}} \ quad B = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (B)) \; V ^ {\ mathsf {T}}.}

Observații

• Inegalitatea urmărită de mai sus a fost publicată de Ky Fan în 1949, dar se leagă îndeaproape de lucrările anterioare ale lui von Neumann (1937). Condiția pentru a avea egalitate se datorează lui CM Teobald (1975).
• Conform traducerii de mai sus în termeni de endomorfisme auto-îmbinate și sunt simultan diagonalizabile dacă și numai dacă fac naveta, iar matricea de trecere poate fi apoi aleasă ortogonal. Condiția menționată mai sus pentru a avea egalitate în inegalitatea Ky Fan este mai puternică, deoarece necesită ordonarea matricelor diagonale obținute . Deci, și naveta, dar diferă de .LA{\ displaystyle A}B∈Snu{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}}LA=Diag⁡(1,2){\ displaystyle A = \ operatorname {Diag} (1,2)}B=Diag⁡(2,1){\ displaystyle B = \ operatorname {Diag} (2,1)}⟨LA,B⟩=4{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = 4}λ(LA)Tλ(B)=5{\ displaystyle \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B) = 5}
• Inegalitatea Ky Fan este un rafinament al inegalității Cauchy-Schwarz pe subspațiul euclidian al , în sensul că acesta din urmă poate fi dedus din primul. Într - adevăr, în cazul în care cu ortogonală, avemSnu{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}Mnu(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}LA=VDiag⁡(λ(LA))VT{\ displaystyle A = V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {\ mathsf {T}}}V{\ displaystyle V}
  ‖λ(LA)‖2=‖Diag⁡(λ(LA))‖=‖VDiag⁡(λ(LA))VT‖=‖LA‖,{\ displaystyle \ | \ lambda (A) \ | _ {2} = \ | \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \ | = \ | V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A) ) \, V ^ {\ mathsf {T}} \ | = \ | A \ |,}
  
  unde și denotă normele canonice euclidiene pe și . Prin urmare, inegalitatea Ky Fan și inegalitatea Cauchy-Schwarz oferă‖⋅‖2{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Mnu(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
  ⟨LA,B⟩⩽‖λ(LA)‖2‖λ(B)‖2=‖LA‖‖B‖.{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | \ lambda (A) \ | _ {2} \, \ | \ lambda (B) \ | _ {2} = \ | A \ | \, \ | B \ |.}
  
  Deducem inegalitatea Cauchy-Schwarz , luând în considerare și cea obținută prin înlocuirea de mai sus cu .Snu{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}B{\ displaystyle B}-B{\ displaystyle -B}
• Prin aplicarea Ky Fan inegală la matricele diagonale, există o inegalitate Hardy, Littlewood și Polya , simplu de demonstrat direct că produsul scalar euclidian al a doi vectori și este delimitat de vectori și obținut din vectori anteriori prin ordonarea componentelor lor în ordine descrescătoare:X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}[X]{\ displaystyle [x]}[y]{\ displaystyle [y]}
  ∀X,y∈Rnu:XTy⩽[X]T[y].{\ displaystyle \ forall \, x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} y \ leqslant [x] ^ {\ mathsf {T}} [y] .}
  
  

Matrici simetrice pozitive

Se spune o matrice simetrică reală S de ordinul n :

• pozitiv dacă forma asociată (bilineară simetrică) este pozitivă, adică dacă

∀X∈Rnu,XTSX≥0 ;{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx \ geq 0 ~;}

• pozitiv definit dacă forma asociată este definitivă și pozitivă, adică dacă

∀X∈Rnu∖{0},XTSX>0.{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx> 0.}

Notă: o matrice pătrată reală care verifică o astfel de inegalitate (largă sau chiar strictă) nu este neapărat simetrică (cf. Matricea rotației plane ).

Utilizări concrete

O matrice simetrică de ordinul 3 reprezintă o secțiune conică în coordonate omogene într-un plan proiectiv construit din . VS3∖{(0,0,0)}{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} \, \ backslash \, \ {(0,0,0) \}}

Anexe

Note

1. (ro) K. Fan (1949). Avem teorema lui Weyl referitoare la valorile proprii ale transformărilor liniare. Lucrările Academiei Naționale de Științe din SUA 35, 652-655. [ citește online ]
2. (ro) J. von Neumann (1937). Unele inegalități matriciale și metrizarea spațiului matricial. Tomsk University Review 1, 286-300. În Lucrări colecționate , Pergamon, Oxford, 1962, Volumul IV, 205-218.
3. (ro) CM Teobald (1975). O inegalitate pentru urmarea produsului a două matrice simetrice. Procedeele matematice ale Societății filozofice din Cambridge 77, 265-266.
4. (în) GH Hardy , JE Littlewood și G. Polya , Inegalități , Cambridge University Press , Cambridge, Marea Britanie, 1952.

Carte de referinta

(ro) JM Borwein și AS Lewis , Convex Analysis an Nonlinear Optimization , New York, Springer ,2000

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">