Grupul Clifford

În matematică , grupul Clifford unui pătratică nedegenerata peste un câmp este un sub- grup de natură algebric-geometric al grupului de elemente inversabile ale algebra Clifford a formei pătratice.

Definiție

Este de notat K fi un câmp, V un spațiu vectorial de dimensiune nenul finit pe K , Q o formă pătratică nedegenerat pe V și φ formă biliniară simetrică asociată cu Q . Notă α involuția principal al Clifford algebra de Q .

Grupul Clifford este definit ca ansamblul elementelor inversabile x ale algebrei Clifford astfel încât $\ Gamma \,$

{\ displaystyle xv \ alpha (x) ^ {- 1} \ în V \,}

, sau

pentru toate v în V . Această formulă definește, de asemenea, o acțiune a grupului Clifford asupra spațiului vectorial V care păstrează norma Q și, prin urmare, dă un omomorfism din grupul Clifford grupului ortogonal. Grupul Clifford conține toate elementele r ale lui V cu o altă normă decât zero, iar acestea acționează asupra lui V prin reflexiile corespunzătoare care iau v spre v - φ ( v , r ) r / Q ( r ) (în caracteristica 2, acestea sunt numite mai degrabă tranziții ortogonale decât reflexii).

Mulți autori definesc grupul lui Clifford ușor diferit, înlocuind acțiunea cu . Acest lucru produce același grup Clifford, dar acțiunea grupului Clifford pe V este ușor modificată: acțiunea elementelor impare ale grupului Clifford este înmulțită cu un factor în afara -1. ${\ displaystyle xv ~ \ alpha (x) ^ {- 1} \,}$ ${\ displaystyle xvx ^ {- 1} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$

Acțiunea folosită aici are câteva avantaje mici: se conformează convențiilor obișnuite ale semnelor superalgebrei, elementele lui V corespund reflexiilor și în dimensiuni impare, aplicarea grupului Clifford la grupul ortogonal este activată, iar nucleul nu este mai mare decât K * . Utilizarea acțiunii în loc nu face nici o diferență: ea produce același grup Clifford cu aceeași acțiune pe V . ${\ displaystyle \ alpha (x) vx ^ {- 1} \,}$ ${\ displaystyle xv \ alpha (x) ^ {- 1} \,}$

Proprietăți

Grupul Clifford este uniunea disjunctă a două subseturi și , unde este subsetul elementelor de gradul i . Subsetul este un subgrup al indexului 2 în . $\ Gamma \,$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {0} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {i} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {0} \,}$ $\ Gamma \,$

Dacă V este dimensiunea finită , cu o formă biliniară nedegenerata atunci aplicațiile grupului Clifford pe gruparea ortogonală V și miezul este format din nenuli elemente ale câmpului K . Acest lucru duce la secvențele exacte

{\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow O_ {V} (K) \ rightarrow 1, \,}

{\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma ^ {0} \ rightarrow SO_ {V} (K) \ rightarrow 1. \,}

Ca o caracteristică arbitrară, norma de spin Q este definită peste grupul Clifford prin

{\ displaystyle Q (x) = x ^ {t} x \,}

Este un homomorfism din grupul Clifford la grupa K * de la zero elemente diferite ale K . Coincide cu forma pătratică Q a lui V când V este identificat cu un subespai algebrei Clifford. Mai mulți autori definesc norma de spin ușor diferit, adică diferă de cea utilizată aici de un factor de - 1, 2 sau - 2 pe . Diferența nu este foarte importantă. ${\ displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$

Diferitele elemente ale zero la K au un spin standard , din grupa K * 2 pătrate ale componentelor corpului la zero K . Deci, atunci când V este de dimensiune finită și non-singular, obținem o hartă indusă de la grupul ortogonal al lui V la grupul K * / K * 2 , numit și norma spin. Norma de rotire a unei reflexii a unui vector r are ca imagine Q ( r ) în K * / K * 2 , iar această proprietate o definește numai în grupul ortogonal. Acest lucru dă consecințele exacte:

{\ displaystyle 1 \ rightarrow \ {\ pm 1 \} \ rightarrow Pin_ {V} (K) \ rightarrow O_ {V} (K) \ rightarrow K ^ {*} / K ^ {* 2}, \,}

{\ displaystyle 1 \ rightarrow \ {\ pm 1 \} \ rightarrow Spin_ {V} (K) \ rightarrow SO_ {V} (K) \ rightarrow K ^ {*} / K ^ {* 2}. \,}

Notă: în caracteristica 2, grupul {± 1} are pur și simplu un element.