De mecanicii cuantice este ramura fizicii teoretice care a urmat teoria cuantică și mecanica ondulatorie pentru a studia si de a descrie fenomenele de bază la locul de muncă în sistemele fizice , în special la scara atomica si subatomice .
A fost dezvoltat în anii 1920 de către o duzină de fizicieni europeni, pentru a rezolva probleme pe care fizica clasică nu le-a explicat, precum radiația corpului negru , efectul fotoelectric sau existența liniilor spectrale . S-a dovedit a fi fructuos în rezultate și în diferite aplicații: a făcut posibilă în special elucidarea misterului structurii atomului și, mai general, sa dovedit a fi cadrul general pentru descrierea comportamentului particulelor elementare , până la punctul de a constitui roca de bază a fizicii moderne.
Mecanica cuantică implică dificultăți conceptuale profunde. Dacă formalismul său matematic este de neegalat în ceea ce privește eficiența, interpretarea sa nu este unanimă în comunitatea științifică. Conceptele sale includ dualitatea particule-undă , suprapunerea cuantică , încurcarea sau nelocalitatea .
Termenul de fizică cuantică se referă la corpul mai mare de teorie care se bazează pe mecanica cuantică pentru a descrie un set mai mare de fenomene, inclusiv interacțiunile fundamentale din modelul standard .
Un cuantomecanist este un specialist în mecanica cuantică și un cuantochimist un specialist în chimia cuantică .
La nivel global, mecanica cuantică diferă de fizica clasică prin două aspecte: reguli diferite privind aditivitatea probabilităților și existența unor mărimi fizice care se pot manifesta doar prin multipli de mărimi fixe, numite cuante, care își dau numele teoriei.
În concepția clasică a legilor probabilității, atunci când un eveniment poate avea loc în două moduri diferite incompatibile între ele, probabilitățile se adună. Acest lucru nu este cazul în mecanica cuantică, unde probabilitatea unui eveniment este legată de o amplitudine de probabilitate care ar putea interfera , inclusiv distructiv.
Această proprietate este ilustrată de experiența fantelor lui Young , considerată în special de Richard Feynman ca fiind cea mai emblematică a comportamentului cuantic al materiei. În cursul său de mecanică cuantică, Feynman dedică un capitol lung analizei sale detaliate. Acest experiment ilustrează, de asemenea, conceptul de dualitate undă-particulă , care stă la baza interpretării standard a teoriei.
În prezent, se consideră că, la scări macroscopice, neobservarea aparentă a acestui comportament probabilistic se explică printr-un fenomen numit decoerență . Cu toate acestea, există și alte explicații, dar niciuna nu este unanimă: ele provin în esență din diferențe în interpretarea mecanicii cuantice .
Mecanica cuantică își trage numele din existența unor mărimi care nu se pot manifesta decât în multipli de mărimi fixe, adesea legate de constanta descoperită de Max Planck . Aceste cantități sunt, de exemplu, energia sau impulsul unghiular al particulelor.
Cea mai evidentă ilustrare și cea mai bogată în consecințe ale acestui fenomen se găsește probabil în structura atomului și mai precis în organizarea electronilor din jurul nucleului. Într-adevăr, electronii sunt distribuiți ocupând locurile lăsate libere de valorile posibile ale numerelor cuantice legate de energia lor și de impulsul lor unghiular. Această organizare face posibilă explicarea comportamentului chimic și spectroscopic al elementelor naturale .
Existența cuantelor nu este o proprietate fundamentală a mecanicii cuantice, deoarece poate fi demonstrată din alte considerații, în special referitoare la regula privind aditivitatea probabilităților menționată mai sus. Cu toate acestea, este cu siguranță unul dintre cele mai caracteristice aspecte ale mecanicii cuantice, deoarece aceasta se manifestă cel mai ușor în ecuații și, din punct de vedere istoric, a fost descoperită mecanica cuantică.
Fără îndoială, rezolvarea problemei radiațiilor corpului negru a marcat începutul teoriei cuantice . La începutul XX - lea secol, Max Planck rezolvă într - adevăr , problema prin luarea presupunerea că energia atomilor pot fi comercializate in multipli de o anumită sumă, deoarece numita constanta lui Planck și cunoscut , ulterior , ca fiind unul dintre cele patru constante fundamentale .
Această idee a cantităților de energie care pot fi schimbate numai discret va inspira mulți fizicieni, precum Niels Bohr , care o vor folosi în special pentru a dezvolta un model al structurii atomului. Mai general, acesta a fost începutul a ceea ce s-a numit teoria cuantică .
La scurt timp după descoperirea lui Planck, Albert Einstein , urmând în special analiza efectului fotoelectric , sugerează că cantitatea h ν este energia unei particule electromagnetice care mai târziu va fi numită foton . Această reintroducere a unei concepții corpusculare a luminii îl va încuraja pe Louis de Broglie să propună o relație similară cu cea a lui Planck, dar pentru cantitatea de mișcare:
unde este un vector unde . este așa-numita constantă de Planck redusă .
Procedând astfel, el este instigatorul dualității undelor de particule, care îi va încuraja pe anumiți fizicieni să caute o descriere a undelor a materiei. Dintre acestea, Erwin Schrödinger reușește și obține o ecuație diferențială, care îi poartă acum numele, care face posibilă descrierea precisă a evoluției cuantice a unei particule. Această ecuație și-a dovedit rapid relevanța în descrierea modelului atomului de hidrogen .
În același timp, Werner Heisenberg dezvoltase o abordare radical diferită, care se baza pe calcule matriciale inspirate direct din mecanica analitică clasică.
Aceste două abordări, precum și confuzia cu privire la conceptul de dualitate a undelor de particule, au dat mecanicii cuantice emergente nevoia de clarificare. Această clarificare a apărut datorită muncii unui fizician britanic, Paul Adrien Dirac .
Într-o carte publicată în 1930, intitulată Principiile mecanicii cuantice , Dirac arată că cele două abordări, cele ale lui Schrödinger și Heisenberg, sunt de fapt doar două reprezentări ale aceleiași algebre liniare . În această lucrare fondatoare, Dirac extrage legile cuantice corespunzătoare, ignorând legile deja impuse de fizica clasică. Dirac oferă apoi o reprezentare axiomatică a mecanicii cuantice, probabil inspirată de evoluțiile matematice ale timpului, în special în ceea ce privește geometria proiectivă .
Lucrarea lui Dirac fusese precedată cu câțiva ani mai devreme de cea a lui John Von Neumann , dar opera lui Von Neumann a fost mult mai riguroasă din punct de vedere matematic, astfel încât a atras în primul rând matematicienii. Fizicienii au preferat-o pe cea a lui Dirac în locul lui și, prin urmare, este esențial opera lui Dirac care a lăsat o posteritate. În prefața unei reediții a cărții sale, Von Neumann menționează opera lui Dirac și o descrie ca „o reprezentare a mecanicii cuantice care poate fi greu depășită din punct de vedere al conciziei și eleganței” , dar adaugă la fel în paragraful următor că metoda sa „nu satisface în nici un fel cerințele de rigoare matematică” .
Paul Dirac identifică proprietățile esențial cuantice ale fenomenelor fizice și le exprimă prin intermediul unor postulate și concepte care stau la baza mecanicii cuantice. Acestea sunt prezentate aici într-un mod mai puțin formal, mai favorabil unei înțelegeri generale. Articolul detaliat prezintă formularea lor într-un mod mai riguros, dar și mai abstract.
În esență, o stare cuantică este ceea ce cuantifică ceea ce putem ști despre un sistem cuantic. Permite calcularea probabilităților și a valorilor medii măsurate ale observabilelor (poziție, impuls etc.). Stările cuantice sunt descrise matematic prin vector de stare într-un spațiu Hilbert , reprezentat de o notație dedicată introdusă de Dirac, numită notație bra-ket . O stare cuantică este apoi scrisă în formă . Evoluția în timp a acestui vector de stare este descrisă matematic de funcția de undă , guvernată de ecuația Schrödinger .
Aceste două reprezentări privesc stările pure , adică stările sistemelor cuantice simple idealizate și izolate, unde fiecare componentă poate fi cuantificată și observată. Pentru stările mixte , reprezentând stări cuantice în interacțiune complexă cu un mediu sau un dispozitiv de măsurare, în care componentele sunt prea numeroase sau inaccesibile observării, starea cuantică este mai degrabă reprezentată de o matrice de densitate .
În cazul notației bra-ket, exprimăm starea cuantică în funcție de stările proprii, adică stările pentru care suntem siguri că, dacă am efectua o măsurare a unui observabil, am obține fără îndoială o valoare dată . În general, același simbol este utilizat pentru aceste stări ca cel folosit pentru a identifica această valoare. De exemplu, când suntem siguri că, dacă am efectua această măsurare, rezultatul ar fi o valoare , atunci vom nota starea . Există, în general, un anumit număr (chiar și o infinitate) de stări proprii pentru un observabil dat. De exemplu, dacă suntem interesați de rotirea unei particule de rotire 1/2, obținem două stări proprii cu direcție opusă: și . Pentru poziția observabil, un număr infinit se obțin eigenstates corespunzătoare fiecăruia dintre pozițiile posibile ... .
Aceste stări proprii sunt vectori ortogonali ai spațiului vectorial Hilbert și formează o bază a acestuia , legată de un observabil dat. Orice stare cuantică este apoi exprimată ca o combinație liniară a acestor stări proprii, de exemplu o stare generalizată de spin 1/2 :, a și b fiind numere complexe .
Orice două stări cuantice distincte nu se disting în mod necesar , deoarece există probabilitatea ca măsurarea a două stări distincte să dea aceeași valoare măsurată. Se spune că două stări cuantice sunt distincte atunci când există cel puțin un proces de măsurare în care suntem absolut siguri că cele două stări dau rezultate diferite.
Probabil cel mai important postulat al mecanicii cuantice este principiul suprapunerii . Conform acestui principiu, dacă un sistem fizic poate fi într-o stare și dacă poate fi și într-o stare , atunci poate fi și într-o stare compusă liniar:
unde și sunt două numere complexe .
Cu alte cuvinte, setul de stări posibile ale unui sistem fizic este un spațiu vectorial (sau mai precis un spațiu Hilbert , așa cum s-a menționat mai sus), a cărui dimensiune poate fi arbitrară.
Punctul important este că o stare suprapusă nu este o stare care traduce o ignoranță față de starea „reală” a sistemului, ci într-adevăr o nedeterminare intrinsecă sistemului, care nu este nici în stat , nici în stat. . Acest punct a ridicat multe întrebări în comunitatea științifică. În special, principiul suprapunerii se află la originea a ceea ce se numește problema măsurării cuantice , pe care Schrödinger a popularizat-o aplicându-l pe o pisică care, conform paradoxului lui Schrödinger , nu este nici moartă, nici vie.
Principiul suprapunerii a fost analizat și criticat și de Einstein care, împreună cu Boris Podolsky și Nathan Rosen , și-a imaginat un experiment, cunoscut sub numele de experimentul EPR , pentru a-l pune în culpă. Un experiment similar a fost efectuat la sfârșitul XX - lea secol de Alain Aspect , care a confirmat principiul superpoziției.
Regula lui Born, numită după fizicianul Max Born , este o interpretare probabilistică a coeficienților liniari ai principiului suprapunerii. Se mai numește deseori o interpretare probabilistică.
Această regulă poate fi ilustrată luând în considerare, de exemplu , pisica lui Schrödinger , menționată mai sus, și a cărei stare cuantică poate fi scrisă după cum urmează:
Un experiment care ar căuta să stabilească dacă această pisică este moartă sau vie nu ar da niciun rezultat cu certitudine (altfel pisica ar fi fie în stat, fie în stat ). Într-un mod simplificat, se poate spune că regula lui Born cuantifică această incertitudine afirmând că probabilitatea de a găsi pisica moartă este egală cu pătratul modulului lui , împărțit la suma pătratelor modulelor lui și .
Mai general, pentru un sistem al cărui vector de stare este o combinație liniară de stări distincte , probabilitatea ca rezultatul măsurii care definește distincția să fie aceeași ca și dacă sistemul ar fi fost în stare este:
,unde sunt coeficienții liniari ai vectorului de stare.
Pentru a simplifica calculele, vectorii de stare sunt în general normalizați, astfel încât numitorul să fie egal cu unul. Acest lucru nu afectează în niciun fel calculele de probabilitate. În practică, regula lui Born este deci scrisă cel mai des:
,sau:
Coeficientul de proporționalitate care este subîntins de relația normalizare: ,Regula lui Born este unul dintre cele mai dificile postulate ale mecanicii cuantice de înțeles. Este, de asemenea, subiect de controversă, doar pentru că statutul său axiomatic este pus în discuție de cel puțin două interpretări: interpretarea lumilor multiple și interpretarea tranzacțională . Conform acestor două interpretări, regula lui Born poate fi dedusă din considerații matematice și fizice mai profunde.
Când, în urma unui experiment, suntem siguri că vom obține întotdeauna același rezultat al măsurării , spunem că sistemul fizic luat în considerare este în stare . Acest lucru nu înseamnă, totuși, că știm cu certitudine rezultatul unei măsurători efectuate cu un alt dispozitiv experimental. Cu alte cuvinte, chiar și cunoașterea deplină a stării unui sistem nu garantează cunoașterea perfectă a rezultatelor oricărui experiment făcut pe acesta.
De exemplu, dacă măsurăm poziția unei particule în stare , suntem siguri că vom obține , dar pe de altă parte nu este posibil a priori să știm cu certitudine care este rezultatul măsurării impulsului, pentru că altfel particula ar fi, de asemenea, în stare , ceea ce nu este cazul general și, prin urmare, constituie o ipoteză ad-hoc .
Mai general, dacă pentru un anumit proces de măsurare A denotăm toate stările de rezultate ale măsurării perfect determinate, atunci în virtutea principiului suprapunerii, toate combinațiile liniare posibile sunt, de asemenea, stări posibile pentru anumite sisteme:
Aceste combinații liniare, unele pot fi foarte bine în măsură să perfecționeze condiții determinate pentru un alt proces de măsurare B . Întrebarea este, ceea ce poate fi rezultatul măsurării A pentru aceste state „curate“ B .
Interpretarea probabilistică a coeficienților liniari sugerează apoi că rezultatul măsurării, dacă nu este determinist, va fi totuși statistic egal cu așteptările matematice :
Această expresie este o formă sesquiliniară a coeficienților . În subspațiul vectorial generat de les , putem, prin urmare, scrie această expresie folosind un produs scalar în care baza este ortonormală . Alegerea acestui produs scalar este cea care dă sens notației sutien-ket: vectorii sutienului, notați „spre stânga”, sunt apoi elementele spațiului dual al spațiului de stare ket. Apoi avem relația:
unde este simbolul Kronecker .
Expresia așteptării matematice poate fi apoi scrisă:
Termenul sugerează introducerea operatorului liniar ai cărui vectori proprii sunt și ale căror valori proprii asociate sunt valorile posibile ale rezultatelor măsurătorii. Acest operator este numit observabilului asociat cu procesul de măsurare A . Nu este altceva decât un instrument matematic care permite calcularea așteptării matematice a rezultatului măsurării, așteptare care este apoi scrisă:
Interesul unei astfel de expresii este că nu mai depinde în mod explicit de bază . Astfel, câștigăm în abstractizare și simplificăm calculele, un pic ca în geometria analitică, unde este adesea mai ușor să se manipuleze vectorii cu notația lor abstractă, mai degrabă decât cu coordonatele lor într-o anumită bază.
Din considerații algebrice elementare, este ușor să ne convingem că observabilul este un operator autoadjunct care poate fi scris în funcție de vectorii proprii și valorile proprii, după cum urmează:
Când avem suficiente observabile pentru a descrie orice rezultat al măsurătorii, spunem că avem un set complet de observabile care fac naveta , iar acest lucru se află în spațiul hermitian generat de vectorii proprii ai acestor observabili.
Prin construcție, produsul punct în spațiul de stare face posibilă calcularea probabilităților rezultatelor măsurătorilor. Este apoi ușor de înțeles că operatorii liniari care păstrează acest produs scalar joacă un rol foarte important în mecanica cuantică. În algebra liniară, acești operatori care păstrează produsul punct se numesc operatori de unitate . Ei au proprietatea esențială de a fi inversul adjunctului lor:
Caz generalDeoarece păstrează produsul scalar, un operator de unitate se transformă într-un spațiu fizic de nedistins , deoarece oferă exact aceleași probabilități de măsurare. În schimb, este rezonabil să presupunem că un operator care transformă spațiul de stare într-un spațiu nedistinguibil este unitar.
Luarea în considerare a setului tuturor operatorilor unitari de pe , precum și a unui subset care poate fi parametrizat continuu de un μ scalar, face posibilă aproximarea la primul ordin în μ:
unde este un operator liniar a priori arbitrar care poate, fără a pierde în general, să fie scris în formă .
Scriind relația de unitaritate a , vine, rămânând în prima ordine:
Adică este auto-asistent.
Pe scurt, atunci când există un parametru care se transformă continuu într-un spațiu fizic nedistinguibil, atunci există un operator de unitate și o cantitate observabilă astfel încât să se transforme în și:
Prin echivalarea a , și observând vectorul astfel încât , apare ca rata de creștere a unei variații infinitezimale a μ în vecinătatea de la zero, astfel încât să poată fi scris:
unde este implicată dependența de en ( ).
Ecuația lui SchrödingerConsiderațiile anterioare pot fi folosite pentru a introduce ecuația Schrödinger din punct de vedere teoretic, grație unui principiu de simetrie conform căruia legile fizicii sunt invariante în timp. Un alt mod de a spune acest lucru este acela de a spune că un experiment efectuat într-un spațiu de stare nu se distinge de un experiment identic efectuat într-un spațiu de stare . Prin urmare, putem aplica rezultatele anterioare luând t (sau -t) pentru :
Factorul este reintrodus aici pentru a satisface constrângerile dimensionale ignorate anterior. Expresia detaliată a observabilului , numită hamiltoniană prin analogie cu mecanica clasică , este cel mai adesea obținută folosind principiul corespondenței .
Această formulare a ecuației Schrödinger este destul de diferită de formularea istorică și, ca atare, este uneori denumită ecuația Schrödinger generalizată și dependentă de timp .
Puls și impuls unghiularÎn ceea ce privește ecuația Schrödinger, dar de această dată prin aplicarea principiului conform căruia legile fizicii sunt invariante în spațiu, introducem observabilul momentului liniar (numit și impuls ) și a celor trei componente spațiale ale acestuia:
Cazul momentului unghiular (numit uneori mai explicit moment unghiular ) este tratat în același mod, dar pentru rotații în spațiu.
Având în vedere doi operatori A și B, nu neapărat observabili, le definim comutatorul după cum urmează:
Acest operator joacă un rol foarte important în mecanica cuantică. De exemplu, când suntem interesați de evoluția așteptării matematice a unui A observabil pentru o stare :
Obținem, folosind ecuația Schrödinger și cu notația :
expresie care constituie teorema lui Ehrenfest .
Comutatorul este analog cu parantezul Poisson al mecanicii clasice. Este, de asemenea, implicat în explicația și descrierea principiului incertitudinii .
Proprietăți:
În practică, starea este scrisă cel mai adesea într-o bază de stări cu poziție spațială perfect determinată:
Aici integrarea joacă rolul însumării utilizate mai sus, în special în enunțul principiului suprapunerii, diferența fiind că este vorba despre o sumă continuă, adică despre suma unei infinități de termeni infinit de mici.
Funcția se numește „funcție de undă” și pe aceasta se fac cele mai multe calcule obținute din ecuația Schrödinger.
Scrierea ecuației Schrödinger nu mai este o funcție a funcției de undă, ci se face prin înlocuirea fiecărui termen al hamiltonienului cu expresiile corespunzătoare în funcție de funcția de undă. De exemplu, impulsul este scris așa cum se vede mai sus, unde T ( x ) este operatorul unitar de traducere a lungimii x în spațiu, adică astfel încât:
.De atunci, vine:
Schimbând variabila de sub integral și amintind că ecuația este scrisă în vecinătatea x = 0, urmează:
Cu alte cuvinte, operatorul de impuls acționează asupra vectorului de stare dând un vector ale cărui coordonate în reprezentarea spațială sunt derivatele funcției de undă (cu excepția unui factor ignorat aici). Acest lucru face posibilă efectuarea tuturor calculelor numai asupra funcției de undă și astfel reducerea la rezoluția unei ecuații diferențiale parțiale , adică la ecuația Schrödinger într-o formă mai apropiată de forma sa istorică:
Regula lui Born implică faptul că rezultatul unui experiment poate fi nedeterminat chiar și atunci când starea sistemului este perfect determinată. Această nedeterminare este intrinsecă sistemului și într-un sens care nu are echivalent clasic. Totuși, o ignoranță cu privire la starea exactă a sistemului poate justifica și o descriere probabilistică în sensul clasic al termenului, adică cu acceptarea obișnuită a legilor probabilității.
Astfel, într-o bază de stare ortonormală , chiar dacă starea exactă este necunoscută, este încă posibil să i se atribuie o distribuție de probabilitate , unde este probabilitatea ca sistemul să fie în starea cuantică . Întrebarea este atunci cum să explicăm acest tip de probabilitate în calcule.
Studiul sistemului este redus la cel al măsurării observabilelor disponibile, care în sine este redus la măsurarea valorii medii a acestora care este scrisă, pentru un observabil și dacă sistemul este în stare :
Deoarece sistemul se află într-o stare necunoscută, dar cu distribuția probabilității , așteptarea matematică devine:
Această expresie este într-un fel o dublă așteptare matematică, luând în considerare atât probabilitățile cuantice, cât și probabilitățile clasice. Termenii sunt de fapt așteptări matematice, pentru distribuțiile de probabilitate asociate cu principiul suprapunerii și regula lui Born. Expresia este, la rândul său, o așteptare matematică asociată cu o distribuție de probabilitate care reflectă ignoranța stării reale a sistemului, adică o distribuție de probabilitate clasică.
Așteptarea matematică poate fi apoi scrisă:
Expresia este ceea ce se numește matricea densității asociată cu distribuția probabilității în bază . este urma .
Matricea densității este, la fel ca observabilele, doar un instrument matematic care permite calcularea așteptărilor matematice ale rezultatelor măsurării, dar spre deosebire de observabile, matricea densității încorporează luarea în considerare a unei posibile ignoranțe a stării exacte a sistemului .
În mecanica cuantică, există unele probleme și subiecte de studiu care sunt acum foarte bine analizate și care sunt foarte utile pentru înțelegerea altor sisteme. Acestea fac parte integrantă din corpusul teoretic și sunt tratate în detaliu în toate manualele.
Principiile fundamentale enunțate mai sus sunt deja suficiente pentru a explica una dintre cele mai importante proprietăți ale materiei: distincția dintre bosoni și fermioni .
Într-adevăr, această distincție provine în esență din caracterul vectorial al spațiului de stare și interpretarea probabilistică a acestuia. Dacă luăm în considerare un sistem fizic (sau mai simplu o particulă) și notăm starea acestuia, atunci un sistem fizic format din două dintre aceste particule va fi scris folosind produsul tensor al celor doi vectori.
Întrebarea care apare atunci este aceea de a cunoaște cum se comportă sistemul dacă, prin gândire, inversăm rolurile jucate de cele două particule. Cu alte cuvinte, ne întrebăm despre relația dintre și . Aceste două sisteme fiind perfect analoge, atunci când particulele sunt considerate indistincte, ele trebuie să se comporte în același mod. Distribuția lor de probabilitate este deci aceeași și, prin urmare, sunt conectate printr-un scalar :
Acum, dacă inversăm particulele din nou, trebuie să obținem din nou sistemul inițial, astfel încât:
Chiar și între numerele complexe, există doar două rădăcini pătrate ale unității: 1 și -1. Acest lucru implică faptul că pot exista doar două tipuri foarte diferite de particule, cele pentru care , de bosoni , și cele pentru care , în fermioni (aceste denumiri se referă la fizicienii care au descoperit statisticile asociate: Satyendra Nath Bose și Enrico Fermi ).
De aici rezultă în mod direct principiul excluderii lui Pauli , pe care doar fermionii îl respectă. Luați în considerare, de exemplu, un fermion și imaginați-vă două particule ale acestei specii în exact aceeași stare .
Avem: și, prin urmare:
Cu alte cuvinte, probabilitatea ca doi fermioni să fie în aceeași stare este întotdeauna zero. O astfel de proprietate are o importanță considerabilă în natură. Îi datorăm atât de mult impenetrabilitatea corpului (ro) .
În schimb, bosonii tind să se grupeze între ei, deoarece amplitudinile lor de probabilități interferează în mod constructiv atunci când sunt în aceeași stare. Aceasta este cauza multor fenomene, cum ar fi emisia stimulată , care stau la baza funcționării laserelor .
Considerații comparabile cu calculele făcute mai sus fac posibilă înțelegerea faptului că un număr par de fermioni se comportă ca niște bosoni. Aceasta este cauza unor fenomene precum superconductivitatea , în care electronii formează perechi Cooper . Acesta este, de asemenea, ceea ce explică diferențele de comportament între diferiții izotopi ai heliului : într-un atom de heliu 4 ( 4 He), fiecare particulă este prezentă în duplicat (doi electroni, doi protoni și doi neutroni, formând perechi Cooper), ceea ce face ca acest atom un boson. Nu este cazul atomului de heliu 3 ( 3 He), care are un singur neutron, ceea ce face din acest atom un fermion; care se poate combina cu un alt atom de heliu 3 pentru a forma un boson de pereche Cooper.
Caracterul bosonic sau fermionic al particulelor este legat de spinul lor , prin ceea ce se numește teorema spin-statistică .
Dintre sistemele care pot fi rezolvate analitic în mecanica cuantică, unul dintre ele are o importanță deosebită atât din punct de vedere istoric, cât și teoretic. Acesta este oscilatorul armonic .
În mecanica clasică, oscilatorul armonic este un sistem de mare importanță, deoarece constituie o bună aproximare a oricărui sistem stabil în jurul unei poziții de echilibru. Într-un sistem adecvat de unități, ecuația energetică este scrisă:
Unde și , respectiv, sunt impulsul și poziția mobilului.
În mecanica cuantică, ecuația este formal aceeași, dar cantitățile implicate sunt de natură diferită. În loc să fie scalari dependenți de timp real, impulsul și poziția sunt operatori liniari pe spațiul vectorial al stărilor. Aceste cantități pot fi manipulate algebric ca și în cazul scalarilor normali, cu excepția faptului că este o algebră necomutativă. Prin urmare, trebuie acordată atenție comutărilor între operatorii în cauză. În acest caz, comutarea între și este:
Rezoluția sistemului trece apoi printr-o factorizare inspirată de identitatea remarcabilă . În timp ce ne amintim acest lucru , se introduc astfel doi operatori (cu un factor de normalizare aproape):
Din motive care apar în timpul calculului (a se vedea articolul detaliat ), acești operatori sunt numiți respectiv operatori de creare și anihilare a cuantelor, sau operatori de scară . Apoi, un raționament prin recurență face posibilă arătarea caracterului cuantificat al nivelurilor de energie posibile și calcularea valorilor acestora. Aceste cuante sunt analogul mecanic al fotonilor și, ca atare, sunt uneori numite fononi .
Această introducere a operatorilor de creație și anihilare este o tehnică destul de emblematică a fizicii cuantice. Se găsește, de exemplu, în teoria momentului unghiular cuantic sau în teoria câmpului cuantic .
Unul dintre cele mai simple sisteme din mecanica cuantică este particula liberă, a cărei energie este redusă la componenta sa cinetică . Ecuația Schrödinger este apoi scrisă:
Soluțiile sunt de forma:
Efectul tunel desemnează proprietatea pe care o are un obiect cuantic de a traversa o barieră potențială chiar dacă energia sa este mai mică decât energia minimă necesară pentru a traversa această barieră. Este un efect pur cuantic, care nu poate fi explicat prin mecanica clasică. Pentru o astfel de particulă, funcția de undă, a cărei pătrat al modulului reprezintă densitatea probabilității de prezență, nu se anulează la nivelul barierei, ci se atenuează în interiorul barierei, practic exponențial pentru o barieră destul de largă. Dacă, la ieșirea din bariera potențială, particula are o probabilitate non-zero de prezență, poate traversa această barieră. Această probabilitate depinde de stările accesibile de ambele părți ale barierei, precum și de extensia spațială a barierei.
Din punct de vedere istoric, rotația electronului este în primul rând un fenomen experimental observat în special în timpul experimentului lui Stern și Gerlach . În esență, apare ca un fel de moment magnetic foarte slab care admite doar două valori posibile, care sunt opuse și care nu variază continuu de-a lungul axei de măsurare. Prin urmare, este o cantitate care nu respectă, cel puțin în aparență, legile spațiale ale trigonometriei , fiind în același timp direcțională. Aceste observații destul de curioase ar putea fi explicate doar prin mecanica cuantică.
Rotirea electronului este, prin urmare, o magnitudine direcțională a priori care poate lua doar două valori de magnitudine egală și cu direcție opusă. Stările cuantice corespunzătoare sunt apoi în general notate și . Aceste stări depind de o anumită axă de observare, plasată în mod tradițional vertical, adică de-a lungul axei .
Cu o alegere adecvată a unităților, aceasta înseamnă că pentru un electron în stare , măsurarea momentului magnetic de rotire în conformitate cu va da +1 ca rezultat al măsurării cu siguranță. În același mod, un electron din stare va da în mod necesar -1 ca rezultat al măsurării de-a lungul aceleiași axe.
Prin urmare, și formează baza unui spațiu vectorial bidimensional, iar observabilul asociat cu măsurarea spinului de-a lungul axei este apoi scris, în reprezentare matricială:
(indexul 3 este ales aici deoarece axa este în mod tradițional a treia axă a triedrului spațial)
Prin aplicarea principiului suprapunerii, orice suprapunere liniară a și este, de asemenea, o stare posibilă pentru electron. Printre aceste combinații liniare, există unele care sunt vectorii proprii ai două matrice și :
, și formează cu matricea unitară ceea ce se numește matrice Pauli .
Considerarea unui vector unitar și a observabilului: face posibilă afișarea următoarei valori medii a pentru stat :
unde este unghiul depărtat de axă .
Cu alte cuvinte, de îndată ce și sunt asociați cu observabilele legate de măsurarea spinului de-a lungul axelor și , atunci apar regulile trigonometriei, dar cu o semnificație probabilistică. Acesta este un rezultat tipic al mecanicii cuantice.
Rotirea electronului joacă un rol foarte important în mecanica cuantică, pe de o parte pentru că este un fenomen care nu are echivalent clasic și, pe de altă parte, pentru că este unul dintre cele mai simple sisteme cuantice în măsura în care are doar două stări (sau mai exact, spațiul său vectorial este de dimensiunea a doua). Ca atare, este adesea folosit ca model de studiu pentru sisteme mai complexe, chiar și atunci când fenomenul fizic de bază este complet diferit. Exemplul emblematic este modelul Ising .
Richard Feynman , în teza sa din 1942, a introdus noțiunea integrală de cale pentru a prezenta o nouă formulare a mecanicii cuantice. Aceste rezultate nu vor fi publicate decât în 1948 din cauza celui de-al doilea război mondial. În cele din urmă, scopul acestei abordări ar fi formularea unei teorii a electrodinamicii cuantice prin dezvoltarea cuantizării integrale a căilor. Dacă în zilele noastre păstrăm formalismul hamiltonian al mecanicii cuantice pentru a face față problemelor clasice (în sens non-relativist), se dovedește că formularea lui Feynman este în mare măsură predominantă pentru abordarea problemelor relativiste, în special în teoria câmpului cuantic , avantajul care rezultă din faptul că această abordare este non-perturbativă.
În plus, în 1953, Feynman și-a aplicat abordarea pentru a formula mecanica statistică cuantică (en) prin integrarea căii ( integrala Wiener , formula Feynman-Kac (en) ) și a încercat să explice tranziția lambda în heliu superfluid.
Mecanica cuantică este o teorie „non-relativistă”: nu încorporează principiile relativității speciale . Aplicând regulile de cuantificare canonică relației de dispersie relativistă, obținem ecuația Klein-Gordon (1926). Soluțiile acestei ecuații prezintă totuși dificultăți serioase de interpretare în cadrul unei teorii presupuse să descrie „o singură particulă”: nu se poate construi în special o „densitate de probabilitate de prezență” peste tot pozitivă, deoarece ecuația conține o derivată a doua . Dirac va căuta apoi o altă ecuație relativistă de „primul ordin în timp” și va obține ecuația lui Dirac , care descrie foarte bine fermionii de spin jumătate ca electronul.
Teoria câmpului cuantic pentru interpretarea toate ecuațiile cuantice relativiste fără dificultate.
Ecuația Dirac încorporează în mod natural invarianta Lorentz cu mecanica cuantică, precum și interacțiunea cu electromagnetic câmp , dar care este încă tratată într - un mod clasic (vorbim de aproximare semi-clasic ). Constituie mecanica cuantică relativistă . Dar tocmai datorită acestei interacțiuni dintre particule și câmp, este necesar, pentru a obține o descriere coerentă a întregului, să se aplice procedura de cuantificare și câmpului electromagnetic. Rezultatul acestei proceduri este electrodinamica cuantică, în care unitatea dintre câmp și particulă este și mai transparentă, deoarece acum și materia este descrisă de un câmp. Electrodinamica cuantică este un exemplu particular al teoriei câmpului cuantic .
Alte teorii ale câmpului cuantic au fost ulterior dezvoltate pe măsură ce au fost descoperite celelalte interacțiuni fundamentale ( teoria electrodebilității , apoi cromodinamica cuantică ).
Relațiile de incertitudine Heisenberg reflectă imposibilitatea de a pregăti o stare cuantică corespunzătoare valorilor precise ale anumitor perechi de mărimi conjugate. Acest lucru este legat de faptul că operatorii cuantici asociați cu aceste cantități clasice „ nu fac naveta ”.
Inegalitățile lui Heisenberg sunt deseori desemnate prin expresia „principiul incertitudinii”. Strict vorbind , acest nume este înșelător: aceste inegalități nu sunt un principiu deoarece sunt perfect demonstrate grație analizei lui Fourier și nu privesc incertitudini în sensul comun al termenului, ci o indeterminare intrinsecă, specifică naturii aleatorii. a mecanicii cuantice.
Luați în considerare, de exemplu, poziția și impulsul unei particule. Folosind regulile cuantificării canonice, este ușor să verificați dacă operatorii de poziție și impuls satisfac:
Relația de incertitudine este definită din deviațiile pătratice medii ale mărimilor combinate. În cazul poziției și impulsului unei particule, se scrie de exemplu:
Cu cât statul are o distribuție strânsă pe poziție, cu atât distribuția sa pe valorile impulsului asociat cu acesta este mai mare. Această proprietate amintește cazul undelor, printr-un rezultat al transformatei Fourier , și aici exprimă dualitatea undă-particulă. Este clar că acest lucru duce la o întrebare a noțiunii clasice de traiectorie ca o cale continuă diferențiată.
Există, de asemenea, o relație de incertitudine legată de energia unei particule și de variabila timp. Astfel, durata necesară pentru detectarea unei particule de energie în verifică aproape relația:
Cu toate acestea, derivarea acestei inegalități energie-timp este destul de diferită de cea a inegalităților poziție-impuls.
Într-adevăr, dacă Hamiltonianul este într-adevăr generatorul de traduceri în timp în mecanica Hamiltoniană , indicând faptul că timpul și energia sunt conjugate, nu există un operator de timp în mecanica cuantică („teorema” lui Pauli), este că nu putem construi un operator care respectă o relație de comutare canonică cu operatorul hamiltonian :
aceasta dintr-un motiv foarte fundamental: mecanica cuantică a fost într-adevăr inventată astfel încât fiecare sistem fizic stabil să posede o „stare fundamentală de energie minimă”. Argumentul lui Pauli este următorul: dacă operatorul de timp ar exista, acesta ar avea un spectru continuu. Cu toate acestea, operatorul de timp, respectând relația de comutare canonică, ar fi, de asemenea, generatorul „traducerilor de energie”. Acest lucru implică atunci că operatorul hamiltonian ar avea și un „spectru continuu”, în contradicție cu faptul că energia oricărui sistem fizic stabil trebuie să fie delimitată mai jos .
Noțiunea de cuantice intră în joc atunci când două sisteme și sunt considerate ca un întreg ca formând un singur sistem . Această afirmație poate fi verificată de exemplu în cazul simplu în care spațiile de stare ale și au pentru baze vectorii proprii și a două observabile și care acționează respectiv asupra și .
și neapărat acționează și asupra, deoarece este alcătuit din uniunea dintre și . Prin urmare, putem nota vectorul stării de astfel încât, în această stare, măsura de dă fără eșec și măsura de dă fără eșec .
Conform principiului suprapunerii, toate combinațiile liniare de vectori de stare sunt stări posibile ale sistemului. Cu toate acestea, există astfel de vectori și, prin urmare, spațiul vectorial pe care îl generează este cel puțin de dimensiune . În cazul general, această dimensiune este mai mare decât , adică numărul de grade de libertate necesare pentru a descrie sistemele și luate în considerare separat.
Prin urmare, se pare că, în cazul general, descrierea completă a celor două sisteme în ansamblu nu poate fi redusă la cea a celor două sisteme luate separat. Cu alte cuvinte, există stări de așa natură încât să nu existe nici o stare și nici o stare de , adică nici o combinație liniară sau nici o combinație liniară care să permită obținerea probabilităților rezultatelor măsurătorilor. Se spune că astfel de stări de sunt încurcate . Un astfel de exemplu de stare încurcată este:
Două sisteme sau două particule pot fi încurcate de îndată ce există o interacțiune între ele. Ca rezultat, stările încurcate sunt regula mai degrabă decât excepția. O măsurătoare făcută pe una dintre particule își va schimba starea cuantică în funcție de postulatul cuantic al măsurării. Datorită încurcării, această măsurare va avea un efect instantaneu asupra stării celeilalte particule, chiar dacă linia universului care leagă cele două evenimente „ măsoară 1 ” și „ măsoară 2 ” de spațiu-timp este o curbă asemănătoare spațiului ! În consecință, faptul că mecanica cuantică tolerează existența unor stări încurcate, stări care au fost observate în realitate în laborator și al cărui comportament este în acord cu cea prezisă de mecanica cuantică (vezi experimentul Aspect ), implică faptul că mecanica cuantică este un non - teoria fizică locală . Conjectura ER = EPR interpretează această nelocalitate ca o proprietate fundamentală a spațiului-timp, care ar fi în substanță generată de fenomenul încâlcirii cuantice.
Cu toate acestea, este incorect să echivalăm încurcarea cuantică cu transmiterea de informații mai rapidă decât viteza luminii (și, prin urmare, o încălcare a teoriei relativității). Motivul este că rezultatul măsurătorii referitoare la prima particulă este întotdeauna aleatoriu, în cazul stărilor încurcate ca în cazul stărilor neîncurcate. Prin urmare, este imposibil să „transmitem” orice informație, deoarece modificarea stării celeilalte particule, oricât de imediată ar fi aceasta, conduce la un rezultat al măsurării aferente celei de-a doua particule care este întotdeauna aleatorie decât cea referitoare la prima particulă. Corelațiile dintre măsurătorile celor două particule, deși foarte reale și demonstrate în multe laboratoare din întreaga lume, vor rămâne nedetectabile atâta timp cât rezultatele măsurătorilor nu sunt comparate, ceea ce implică în mod necesar un schimb clasic de informații, respectând relativitatea ( vezi și Paradoxul EPR ).
De quantum teleportarea folosește entanglement pentru a transfera starea cuantică a unui sistem fizic la un alt sistem fizic. Acest proces este singurul mod cunoscut de a transfera perfect informații cuantice. Nu poate depăși viteza luminii și este, de asemenea, „descarnat” prin faptul că nu există transfer de materie (spre deosebire de teleportarea fictivă din Star Trek).
Această stare nu trebuie confundată cu starea de „suprapunere”. Același obiect cuantic poate avea două (sau mai multe) stări „suprapuse”. De exemplu, același foton poate fi în starea „polaritate longitudinală” și „polaritate transversală” simultan. Pisica lui Schrodinger este simultan în starea „mort“ și „viu“. Un foton care trece pe o placă semireflectantă se află în starea suprapusă „foton transmis” și „foton reflectat”. Numai în timpul actului de măsurare obiectul cuantic va avea o stare determinată.
În formalismul fizicii cuantice, o stare de încurcare a „mai multor obiecte cuantice” este reprezentată de un produs tensor al vectorilor de stare ai fiecărui obiect cuantic. O stare de suprapunere privește doar „un singur obiect cuantic” (care poate fi o încurcătură) și este reprezentată de o combinație liniară a diferitelor posibilități de stări ale acestuia.
Putem determina starea unui sistem cuantic doar observându-l, care are ca efect distrugerea statului în cauză. Pe de altă parte, odată ce este cunoscut, în principiu poate fi recreat în altă parte. Cu alte cuvinte, „duplicarea” nu este posibilă în lumea cuantică, doar „reconstrucția în alt loc” este posibilă, aproape de conceptul de teleportare în science fiction .
Dezvoltat teoretic în 1993 de CH Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres și W. Wootters în articolul Teleporting an unknown quantum state by dual classical and EPR channels , of the Physical Review Letter , this reconstrucția a fost efectuată experimental în 1997, pe fotoni, de către echipa lui Anton Zeilinger din Innsbruck și mai recent pe atomii de hidrogen .
Numeroase experimente au arătat că fenomenele descrise de mecanica cuantică, cum ar fi spin sau încurcarea cuantică , sunt foarte reale. Dintre cele mai faimoase, putem menționa în special:
Aceste „paradoxuri” ne întreabă cu privire la interpretarea mecanicii cuantice și, în anumite cazuri, dezvăluie în ce măsură intuiția noastră poate fi înșelătoare în acest domeniu, care nu are legătură directă cu experiența zilnică a simțurilor noastre.
Acest paradox (1935) evidențiază problemele interpretării postulatului de reducere a pachetului de unde .
Acest paradox (1935) evidențiază non-localitatea fizicii cuantice, implicată de stări încurcate .
Acest experiment poate fi interpretat ca o demonstrație că rezultatele unui experiment înregistrat la un moment T depind în mod obiectiv de o acțiune efectuată la un moment ulterior T + t. Conform acestei interpretări, nelocalitatea statelor încurcate nu este doar spațială, ci și temporală.
Cu toate acestea, cauzalitatea nu este încălcată strict, deoarece nu este posibil - din motive fundamentale - să se demonstreze, înainte de ora T + t, că starea înregistrată la momentul T depinde de un eveniment ulterior. Prin urmare, acest fenomen nu poate oferi nicio informație despre viitor.
Potrivit mecanicii cuantice, evenimentele care „s-ar fi putut întâmpla, dar nu au” afectat rezultatele experimentului.
În timp ce principiile mecanicii cuantice se aplică a priori tuturor obiectelor conținute în univers (inclusiv noi), de ce continuăm să percepem în mod clasic esențialul lumii macroscopice ? În special, de ce nu sunt observabile suprapunerile cuantice în lumea macroscopică? Teoria decoerenței explică disparițiile lor foarte rapide datorită cuplării inevitabile dintre sistemul cuantic considerat și mediul său.
Această teorie a primit confirmarea experimentală cu studii asupra sistemelor mezoscopice pentru care timpul de decoerență nu este prea scurt pentru a rămâne măsurabil, de exemplu un sistem de câțiva fotoni într-o cavitate.
Aplicațiile mecanicii cuantice includ semiconductori , tranzistor , laser , microscop electronic și rezonanță magnetică nucleară . O categorie specială de aplicații este dedicată fenomenelor cuantice macroscopice precum superfluiditatea heliului sau superconductivitatea . Studiul semiconductoarelor a condus la inventarea diodei , a tranzistorului și a circuitului integrat , elemente esențiale ale electronicii moderne.
Accesibil la nivel de licență.
Accesibil din ciclul al doilea al universității.
Accesibil fără bagaje fizice prealabile.
Există multe interpretări ale mecanicii cuantice , unele în contradicție cu altele. În absența consecințelor observabile ale acestor interpretări, nu este posibil să se decidă în favoarea uneia sau alteia dintre aceste interpretări. Singura excepție este școala de la Copenhaga, al cărei principiu este tocmai de a refuza orice interpretare a fenomenelor.
Diagrama principalelor interpretăriArborele soluției problemei de măsurare | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teoria cuantica | |||||||||||||||||
Nu este menit să reprezinte realitatea | Nu reprezintă pe deplin realitatea | Reprezintă total realitatea | |||||||||||||||
Pozitivism | Legi cuantice modificate | Influența conștiinței | Adăugarea unei variabile suplimentare: poziția | Decoerența cuantică | Universuri multiple | ||||||||||||
Stephen Hawking Niels Bohr |
Roger penrose | Eugene Wigner | Teoria lui De Broglie-Bohm |
Roland Omnès Murray Gell-Mann James Hartle |
Hugh Everett David Deutsch |
||||||||||||
Giancarlo Ghirardi Alberto Rimini Wilhelm Eduard Weber |
John von Neumann Fritz London și Edmond Bauer |
John Bell |
Hans-Dieter Zeh Wojciech Zurek |
||||||||||||||
Bernard d'Espagnat Olivier Costa de Beauregard |