Reflecție (matematică)

În matematică , o reflectare axială sau simetrie a planului euclidian este o simetrie ortogonală față de o linie (linie vectorială dacă este un plan vector euclidian). Constituie apoi o simetrie axială ortogonală.

Mai general, în orice spațiu euclidian, o reflecție este o simetrie ortogonală față de un hiperplan , adică un subspatiu de codimensiune 1. În dimensiunea 3, este deci o simetrie ortogonală cu un plan. Originea termenului este bine înțeleasă în legătură cu oglinzile care reflectă o imagine. Imaginea figurii și figura inițială sunt izometrice.

Reflecțiile, ca toate simetriile, sunt transformări involuționare .

O reflexie este o anti-deplasare (sau izometrie negativă).

Exemple

Într-un plan vector euclidian referit la o bază ortonormală,

• reflexia în raport cu axa lui este aplicațiaX{\ displaystyle x}

(X,y)↦(X,-y){\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x, -y)} ;

• reflexia în raport cu axa lui este aplicațiay{\ displaystyle y}

(X,y)↦(-X,y){\ displaystyle (x, y) \ mapsto (-x, y)} ;

• reflecția față de axă este aplicațiay=X{\ displaystyle y = x}

(X,y)↦(y,X){\ displaystyle (x, y) \ mapsto (y, x)} ;

• reflecția față de axă este aplicațiay=-X{\ displaystyle y = -x}

(X,y)↦(-y,-X){\ displaystyle (x, y) \ mapsto (-y, -x)}.

Proprietăți generale

Reflecțiile vectoriale ale unui spațiu euclidian pot fi exprimate folosind un vector normal la hiperplanul de reflecție: k≠0{\ displaystyle k \ neq 0}

s(X)=X-2<X|k>‖k‖2k{\ displaystyle s (x) = x-2 {\ frac {<x | k>} {\ | k \ | ^ {2}}} k}

Acestea sunt izometrii vectoriale cu determinant -1. Păstrează produsul scalar, dar transformă orice bază ortonormală într-o bază ortonormală de orientare opusă. Este recunoscut în expresia reflexie a proiecției ortogonale pe linia generată de k  :  ; reflectarea este, prin urmare, și un endomorfism auto-adăugat . s=Eud-2pk{\ displaystyle s = \ mathrm {Id} -2p_ {k}}

Conform teoremei Cartan-Dieudonne , reflexiile generează grupul ortogonal . Mai precis, în dimensiunea n , orice izometrie vectorială este produsul a cel mult n reflecții.

În baza ortonormală, reflectările au pentru matrici reprezentative matricile Householder care intervin de exemplu în algoritmul de descompunere QR .

Note și referințe

1. J.-M. Arnaudiès și H. Fraysse, matematică curs 4: Biliniar algebra și geometria , Dunod , 1990, p. 95

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">