Soi Riemannian
În matematică și mai precis în geometrie , varietatea Riemanniană este obiectul de bază studiat în geometria Riemanniană . Este vorba despre o varietate , adică un spațiu curbat care generalizează curbele (de dimensiunea 1) sau suprafețele (de dimensiunea 2) la orice dimensiune n și pe care este posibil să se efectueze calcule de lungime .
În termeni tehnici, o varietate Riemanniană este o varietate diferențială dotată cu o structură suplimentară numită metrică Riemanniană care permite calcularea produsului scalar a doi vectori tangenți la varietate în același punct. Această metrică face posibilă definirea lungimii unei căi între două puncte ale colectorului, apoi a celor geodezice care răspund la o problemă de cale mai scurtă. Conceptele fundamentale asociate cu varietatea Riemanniană sunt conexiunea Levi-Civita și curbura .
Definiții de bază și exemple
Definiție formală
O varietate Riemanniană este dată de o varietate diferențială și, în fiecare punct , a unei forme pătratice definite pozitive pe spațiul tangent cu ipoteze de regularitate suplimentare. Spațiile tangente sunt spații euclidiene . Ipotezele de regularitate sunt exprimate în două moduri echivalente:
M{\ displaystyle M}m{\ displaystyle m} gm{\ displaystyle g_ {m}} TmM{\ displaystyle T_ {m} M}(TmM,gm){\ displaystyle (T_ {m} M, g_ {m})}
- Harta este o secțiune globală din clasa C k a pachetului de vectori ;m↦gm{\ displaystyle m \ mapsto g_ {m}} S2T∗M{\ displaystyle S ^ {2} T ^ {*} M}
- Pentru toate câmpurile vectoriale ale aplicației este de clasa C k .X,Da{\ displaystyle X, Y}M{\ displaystyle M}m↦gm(Xm,Dam){\ displaystyle m \ mapsto g_ {m} (X_ {m}, Y_ {m})}
Datele sunt numite metrice Riemanniene pe .
g{\ displaystyle g}M{\ displaystyle M}
Metricele Riemanniene există pe orice varietate diferențială ( paracompactă ) și formează un con convex închis de (cu topologii rezonabile).
ΓS2T∗M{\ displaystyle \ Gamma S ^ {2} T ^ {*} M}
Dacă și sunt două varietăți Riemanniene, o izometrie locală este o hartă diferențiată satisfăcătoare . Cu alte cuvinte, diferențialele sunt hărți izometrice liniare. Prin teorema inversiunii locale , orice izometrie locală este un difeomorfism local.
(M,g1){\ displaystyle (M, g_ {1})}(NU,g2){\ displaystyle (N, g_ {2})} f:M→NU{\ displaystyle f: M \ rightarrow N}f∗g2=g1{\ displaystyle f ^ {*} g_ {2} = g_ {1}}df(X):TXM→Tf(X)NU{\ displaystyle df (x): T_ {x} M \ rightarrow T_ {f (x)} N}
Un izometric (global) este un bijectiv izometric local .
Lungime și distanță
Distribuitoarele Riemanniene sunt exemplele cele mai de bază ale varietăților Finsler . O metrică Riemanniană pe o varietate diferențială conectată definește pe fiecare spațiu tangent o normă euclidiană , dată de:
g{\ displaystyle g} M{\ displaystyle M}
‖v‖=g(v,v){\ displaystyle \ | v \ | = {\ sqrt {g (v, v)}}}
Lungimea unei porțiuni curbe C 1 γ: [ a , b ] → M este definit prin:
L(γ)=∫lab‖γ′(t)‖dt.{\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ gamma '(t) \ | \; \ mathrm {d} t.}
- Lungimea unei curbe este invariantă prin reparameterizare regulată.
- Lungimea concatenatului a două curbe C 1 în bucăți este suma lungimilor.
Deoarece , definim:
X,y∈M{\ displaystyle x, y \ în M}
d(X,y)=infL(γ){\ displaystyle \ mathrm {d} (x, y) = \ inf L (\ gamma)}
unde infinitul se referă la toate curbele C 1 pe bucăți de origine și capăt .
X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}
După cum sugerează notațiile, d este o distanță peste numită distanță Riemanniană. Rețineți că acesta din urmă redefineste topologia lui .
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
Exemple de bază
Sferele
Deoarece n -sfera este scufundată în spațiul ℝ n + 1 , metrica Riemanniană este metrica indusă de distanța obișnuită. Pe n -sfera centrată în O și pe raza R , două puncte A și B au pentru distanță Riemanniană (sau geodezică) lungimea arcului cercului mare care le leagă, unde .
Rθ{\ displaystyle R \ theta}θ=arccosOLA→.OB→/R2{\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ vec {OA}}. {\ vec {OB}} / R ^ {2}}
Spațiul hiperbolic
Discul Poincaré : spațiul hiperbolic este mingea unitară a lui ℝ n , prevăzută cu metrica:
(Hnu,g){\ displaystyle (H ^ {n}, g)}
g=4∑eu=1nudXeu2(1-‖X‖2)2{\ displaystyle g = 4 \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i} ^ {2}} {\ left (1- \ left \ | x \ right \ | ^ {2} \ dreapta) ^ {2}}}}Modelul lui Klein : spațiul hiperbolic este, de asemenea, reprezentat de unitatea bilă, dar metrica este diferită:
g=(∑eu=1nuXeudXeu)2(1-‖X‖2)2+∑eu=1nudXeu21-‖X‖2{\ displaystyle g = {\ frac {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathrm {d} x_ {i} \ right) ^ {2}} {\ left (1 - \ left \ | x \ right \ | ^ {2} \ right) ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i} ^ {2}} {1- \ left \ | x \ right \ | ^ {2}}}}În acest model, liniile spațiului hiperbolic sunt segmente ale mingii unitare, spre deosebire de modelul Poincaré, dar unghiurile nu sunt păstrate.
Demi-planul lui Poincaré : acest model al spațiului hiperbolic este dat de metrica definită pe jumătatea superioară a spațiului :
R∗+×Rnu-1{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {*} ^ {+} \ times \ mathbb {R} ^ {n-1}}
g=∑eu=1nudXeu2X12{\ displaystyle g = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i} ^ {2}} {x_ {1} ^ {2}}}}O izometrie explicită a discului de unitate pe semiplanul superior este dată de inversarea polului :
t=(-1,0,...,0){\ displaystyle t = (- 1,0, \ dots, 0)}
X↦t+2X-t‖X-t‖2{\ displaystyle x \ mapsto t + 2 {\ frac {xt} {\ left \ | xt \ right \ | ^ {2}}}}Notă: spațiul hiperbolic apare în aritmetică , un domeniu în care se folosește de obicei modelul semiplanului superior. Cu toate acestea, în geometrie, gusturile sunt foarte răspândite: modelul discului Poincaré oferă avantajul unei grafice mai bune în figuri. Există și alte modele (precum modelul hiperboloid ), puțin utilizate în practică.
H2{\ displaystyle H ^ {2}}
De la conexiune la geodezie
Conexiune Levi-Civita
Pe o varietate Riemanniană , există o conexiune unică fără torsiune D astfel încât, pentru toate câmpurile vectoriale :
(M,g){\ displaystyle (M, g)} X,Da,Z{\ displaystyle X, Y, Z}
X.g(Da,Z)=g(DXDa,Z)+g(Da,DXZ).{\ displaystyle Xg (Y, Z) = g (D_ {X} Y, Z) + g (Y, D_ {X} Z).}
Această conexiune se numește conexiunea Levi-Civita a , sau conexiunea canonică. Acest rezultat constituie teorema fundamentală a geometriei riemanniene .
(M,g){\ displaystyle (M, g)}
Dacă este diferențiabilă, un câmp vectorial de-a lungul f este o secțiune de ansamblu a mănunchi vector , deci fie o aplicație , cum ar fi, pentru fiecare punct , avem: . Notăm spațiul câmpurilor vectoriale de-a lungul .
f:NU→M{\ displaystyle f: N \ rightarrow M}f∗TM{\ displaystyle f ^ {*} TM}X:NU→TM{\ displaystyle X: N \ rightarrow TM}nu∈NU{\ displaystyle n \ in N}X(nu)∈Tf(nu)M{\ displaystyle X (n) \ în T_ {f (n)} M}Γ[f∗TM]{\ displaystyle \ Gamma \ left [f ^ {*} TM \ right]}f{\ displaystyle f}
Ecuații geodezice
Geodezica unui distribuitor Riemanian satisface următoarea ecuație diferențială:
d2Xeudt2+∑j,kΓjkeudXjdtdXkdt=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ sum _ {j, k} \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {dt}} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {k}} {dt}} = 0}
Teorema Hopf-Rinow
Următoarele proprietăți sunt echivalente:
- pentru orice punct , aplicația exp m este setată la ;m{\ displaystyle m}TmM{\ displaystyle T_ {m} M}
- varietatea este geodezică completă, adică geodezica este definită pe ℝ;(M,g){\ displaystyle (M, g)}
- spațiul este complet pentru distanța Riemanniană;M{\ displaystyle M}
- de bile închise și mărginit este compact .
Curbură
Generalizări
Noțiunea de varietate riemanniană se generalizează în două direcții complet diferite.
- Înlocuim g cu un câmp de forme pătratice nedegenerate cu orice semnătură ( varietăți pseudo-Riemanniene ). Mai avem o conexiune Levi-Civita, geodezică și o noțiune de curbură, dar proprietățile geometrice sunt complet diferite.
- Ne interesează structura metrică. O generalizare naturală este atunci cea a spațiului de lungime . Aceste spații au fost studiate în special de școala rusă (DA Alexandrov și, mai recent, G. Perelman și M. Gromov ).
Vezi și tu
Bibliografie
- (ro) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin și Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ detaliu ediție ]
- (ro) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaliu ediții ]
-
(ro) Gerard Walschap, Structuri metrice în geometrie diferențială , Springer.
Link extern
Pierre Pansu , Curs de geometrie diferențială , nivel Master 2
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">