Vector izotrop

În matematică , un vector izotrop pentru o formă biliniară f, este un vector x astfel încât f ( x , x ) = 0.

Definiții

Spunem că un vector x al lui E este izotrop (pentru f sau pentru forma pătratică asociată) dacă f ( x , x ) = 0.

Ansamblul vectorilor izotropi se numește con izotrop. Conține nucleul lui f .

Se spune că forma biliniară este definită - iar forma pătratică se spune că este anizotropă - dacă 0 este singurul său vector izotrop.

Când E este un spațiu vectorial real, dacă f (simetric) este definit atunci f sau - f este pozitiv definit , adică este un produs punct .Într - adevăr, în cazul în care nici - f nici f este pozitiv, există doi vectori x și y astfel încât f ( x , x ) = 1 și f ( y , y ) = -1, putem seta z = ax + y și vedem acesta este un polinom discriminant de gradul doi ; există deci un real astfel încât . Pe de altă parte, z este diferit de zero deoarece x și y sunt liniar independente . Deci f este nedefinit. ${\ displaystyle f (z, z) = a ^ {2} + 2af (x, y) -1}$ ${\ displaystyle 4 (f (x, y) ^ {2} +1)> 0}$ $la$ ${\ displaystyle f (z, z) = 0}$
Când E este un spațiu vectorial complex de dimensiune mai mare sau egală cu 2, f nu este niciodată definit.Raționamentul de mai sus necesită doar adaptări minore.

Mai precis: biliniar simetric sau antisimetric . Guy Auliac, Jean Delcourt și Rémi Goblot, Algebra și (obiectiv de licență, geometrie 3 - lea an) , Ediscience ,2005( citiți online ) , p. 153.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel și colab. , Matematică all-in-one pentru licența 2 , Dunod , col. „Științe Sup”,2014( citiți online ) , p. 115.
Dany-Jack Mercier, Geometrie curs: pregătirea pentru Capes și agregare , Publibook ,2005( citiți online ) , p. 115.
Auliac, Delcourt și Goblot 2005 , p. 155.
Jacek Bochnak, Michel Coste și Marie-Francoise Roy (ro) , Real algebraic geometry , Springer ,1987( citiți online ) , p. 99.