În algebră , caracteristica unui inel (unitar) A este prin definiție ordinea legii aditive a elementului neutru al legii multiplicative dacă acest ordin este finit; dacă această ordine este infinită, caracteristica inelului este prin definiție zero .
Notăm, pentru un inel unitar ( A , +, ×), 0 A elementul neutru al „+” și 1 A cel al „×”.
Caracteristica unui inel A este deci cel mai mic număr întreg n > 0 astfel încât
dacă există un astfel de număr întreg. În caz contrar (cu alte cuvinte, dacă 1 A este de ordin infinit), caracteristica este zero.
Notă. Această definiție este în concordanță cu literatura de specialitate în XXI - lea secol . Bourbaki spune în mod explicit să definească caracteristica unui inel numai dacă acest inel conține un corp. Lang consideră idealul lui Z format de n astfel încât n .1 A = 0; dacă acest ideal este prim, adică despre forma a Z în care a este zero sau un număr prim , acesta definește caracteristica lui A ca fiind numărul a . Nu o definește altfel.
Există un morfism unic al inelelor unitare din în A ( este într-adevăr un obiect inițial al categoriei inelelor). Prin definiție, dacă n este un întreg strict pozitiv, avem:
,unde 1 A se repetă de n ori. Deoarece este un inel euclidian , nucleul lui este un ideal principal și, prin definiție, caracteristica lui A este generatorul său pozitiv. Mai explicit, acesta este unicul număr natural c astfel încât nucleul este ideal .
Acest lucru rezultă din definiția de mai sus și din teorema factorizării . Deducem în special:
Într-adevăr, homomorfismul inelelor unitare este omomorfismul compus g ∘ f . Dacă p și q sunt caracteristicile respective ale lui A și B , nucleul lui g ∘ f este , prin urmare , sau g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , deci conține p , cu alte cuvinte q împarte p .
Rezultatul rezultă imediat din formula binomială a lui Newton și din faptul că p împarte coeficienții binomiali care apar în expansiune.
Ca pentru orice inel integral, caracteristica unui câmp K este fie 0, fie un număr prim p . Mai mult, în al doilea caz, la fel ca pentru orice inel cu caracteristică p zero, K conține o copie din care (deoarece aici p este prim) este un câmp: este câmpul finit unic F p cu elemente p .
Într-adevăr, un astfel de câmp K conține deja (ca orice inel cu zero caracteristică) o copie a . Deoarece K este un câmp, acesta conține, prin urmare, câmpul fracțiilor de , și anume câmpul oamenilor raționali. Prin urmare, orice corp are un sub-corp minim, corpul său prim , izomorf (conform caracteristicii sale) la un câmp finit F p sau la corp .
Dacă K este un câmp finit are, ca orice inel finit, o caracteristică diferită de zero. Prin cele de mai sus, caracteristica sa este deci un număr prim p și K conține o copie a câmpului F p . De fapt, K este un spațiu vectorial pe F p . Deci cardinalitatea sa este p la puterea dimensiunii sale (care, prin urmare, este neapărat finită, cu alte cuvinte K este o extensie finită a lui F p ).
de exemplu câmpul fracțiilor raționale pe F p sau închiderea algebrică a lui F p .