În geometrie , noțiunea generală de unghi poate fi împărțită în mai multe concepte.
În sensul său vechi, unghiul este o figură plană, o porțiune a planului delimitată de două jumătăți de linie . Așa vorbim despre unghiurile unui poligon . Cu toate acestea, este obișnuit să se utilizeze termenul „sector unghiular” pentru o astfel de figură. Unghiul poate desemna și o porțiune din spațiul delimitat de două planuri ( unghi diedru ). Măsurarea unor astfel de unghiuri se numește de obicei, dar în mod necorespunzător, unghi.
Într-un sens mai abstract, unghiul este o clasă de echivalență , adică un set obținut prin asimilarea între ele a tuturor cifrelor unghiulare identificabile prin izometrie . Oricare dintre figurile identificate este numită apoi reprezentantul unghiului. Toți acești reprezentanți având aceeași măsură, putem vorbi despre o măsură a unghiului abstract.
Este posibil să se definească o noțiune de unghi orientat în geometria euclidiană a planului, precum și să se extindă noțiunea de unghi la cadrul spațiilor vectoriale prehilbertiene sau varietăților Riemanniene .
Există mai multe tipuri de unghiuri: unghi drept , unghi acut și unghi obtuz
Cuvântul unghi derivă din latinescul angulus , un cuvânt care înseamnă „colțul”. Conform matematicianului Carpos din Antiohia , unghiul este o cantitate și intervalul liniilor sau suprafețelor care îl includ; acest decalaj este dimensionat într-un fel și totuși unghiul nu este o linie pentru el.
În plan, două jumătăți de linie de aceeași origine delimitează două regiuni, numite sectoare unghiulare .
Spunem că două sectoare unghiulare definesc același unghi atunci când sunt suprapozabile (mai formal: unghiul unui sector unghiular este clasa sa de congruență ). În mod tradițional vorbim despre unghiul geometric pentru această noțiune de unghi, dar acest termen poate desemna, de asemenea, în terminologia modernă, o noțiune similară mai puțin fină ( vezi mai jos ).
Se spune că un unghi este evident dacă sectoarele unghiulare care îl reprezintă sunt convexe și, dacă nu, reintră.
O pereche de jumătăți de linie de aceeași origine definește, prin urmare, în general două unghiuri: una proeminentă și alta reentrantă (cazul excepțional este cel al unghiului plat ).
În plan, putem vorbi despre unghiul a două linii care se intersectează. Două linii secante taie planul în 4 sectoare unghiulare saliente, corespunzătoare a două perechi de unghiuri opuse de vârf. Unghiurile opuse sunt egale, iar unghiurile adiacente sunt suplimentare . În general, există două valori posibile pentru aceste unghiuri. Uneori alegem să favorizăm cel mai mic unghi, adică unghiul acut sau drept.
Măsura unghiului unui sector unghiular este numărul real pozitiv care măsoară proporția planului ocupat de sectorul unghiular. Cele Unitățile folosite pentru a cuantifica sunt radian , cvadrantul și subdiviziunile sale, gradul , ei subunități și clasa . Unghiurile sunt frecvent indicate printr-o literă minusculă greacă, de exemplu α, β, θ, ρ ... Când unghiul este în partea de sus a unui poligon și nu există nicio ambiguitate, atunci se folosește denumirea vârfului supranumit de o pălărie, de exemplu  .
Pentru a evalua acest unghi, această „proporție de suprafață”, se ia un disc centrat în punctul de intersecție și se realizează raportul dintre aria porțiunii de disc interceptată de sectorul unghiular și aria totală a disc. Putem arăta că acest lucru echivalează și cu stabilirea relației dintre lungimea arcului interceptat și circumferința cercului; această valoare mai mică de 1 se numește numărul de ture . Valoarea 1/4 (sfert de tură) corespunde cadranului .
O unitate frecvent utilizată este gradul , care este rezultatul împărțirii cadranului în 90 de părți egale. Prin urmare, tura completă corespunde 360 de grade. Minutul de arc este un sub-multiplu al unui grad, egal cu 1/60 dintr-un grad. La fel, al doilea de arc este egal cu 1/60 din minutul de arc sau 1/3600 de grad. Gradul este mai rar folosit , ceea ce corespunde unei subdiviziuni centesimale a cadranului.
Unitatea internațională de măsură pentru unghiuri, totuși, este radianul , definit ca raportul dintre lungimea arcului interceptat și raza cercului. Prin urmare, tura completă corespunde radianilor.
Unghiurile pot fi calculate din lungimile laterale ale poligoanelor , în special triunghiurilor , folosind trigonometria .
Unitatea de măsură pentru unghiurile utilizate în primul rând de militari este cea de-a mia . Este unghiul la care vedem de la 1 metru la 1 kilometru. 6283 miimi corespunde 2π radiani sau 360 de grade sau 360 ° / arctan (1 m / 1000 m ). Cu alte cuvinte, mii = mrad (miliradian).
Unghiurile „în câmp” pot fi măsurate cu un dispozitiv numit goniometru ; acesta cuprinde , în general , o riglă curbat gradat în grade, numit protractor .
În informatică, poate fi folosit 1/16 de grad, sau 5760 pentru 360 °.
Unghiurile corespunzătoare unui număr întreg de cadrane au un nume special. Tabelul următor reprezintă valorile unghiurilor particulare din diferitele unități.
Unghi | Reprezentare | Numărul de ture | Numărul de cadrane | Radieni | Grad | Grad |
---|---|---|---|---|---|---|
Unghi complet | 1 tura | 4 cadrane | 2π rad | 360 ° | 400 gr | |
Unghi plat | 1/2 tura | 2 cadrane | π rad | 180 ° | 200 gr | |
Unghi drept | 1/4 rând | 1 cadran | π / 2 rad | 90 ° | 100 gr | |
Unghiul zero | 0 rundă | 0 cadran | 0 rad | 0 ° | 0 gr |
Unghiul drept este obținut prin luarea în considerare a două linii care împart planul în patru sectoare egale. Se spune că astfel de linii sunt ortogonale sau perpendiculare.
Unghiul este confundat frecvent cu măsura sa. Astfel, de exemplu, se spune greșit că un unghi plat este „egal” la 180 °. Acest abuz este practicat pe scară largă în restul acestui articol.
Următoarele calificative sunt utilizate pentru unghiuri care iau valori intermediare între aceste valori remarcabile:
Pentru a califica valorile relative ale două unghiuri, folosim următoarele expresii:
Încă folosim alte expresii pentru a califica poziția unghiurilor pe o figură, adică mai precis poziția relativă a sectoarelor unghiulare:
Notă, două unghiuri complementare sau suplimentare nu sunt neapărat adiacente: De exemplu, într-un triunghi unghiular ABE la B, unghiurile  și Ê sunt complementare.
Prin extensie, definim și unghiurile dintre jumătăți de linie, segmente de linie și vectori , prin extinderea liniilor care transportă aceste obiecte până la intersecția lor. Definiția prin jumătăți de linie sau vectori face posibilă eliminarea nedeterminării dintre unghiurile suplimentare, adică să se definească fără ambiguitate ce sector unghiular să utilizeze pentru a defini înclinația direcțiilor.
Un unghi geometric este, în terminologia actuală, clasa de echivalență a unei perechi de jumătăți de linie de aceeași origine, două astfel de perechi fiind considerate echivalente dacă sunt suprapuse .
Dacă se observă unghiul geometric asociat cu perechea de jumătăți de linie , se are (prin simetrie comparativ cu bisectoarea ) :, adică acest unghi depinde doar de pereche .
Unghiul de ieșire și unghiul de reintrare asociat unei astfel de perechi ( vezi mai sus ) corespund, prin urmare, cu această nouă terminologie, aceluiași „unghi geometric”, al cărui reprezentant preferat este unghiul de ieșire (măsurat între 0 și 180 ° ).
Poate fi interpretat în mai multe moduri: divergența între două direcții, direcțiile fețelor unui obiect (colț), direcția în raport cu nordul (unghiul dat de o busolă) ... Unghiul poate fi interpretat și ca deschiderea sectorul unghiular. Este măsura înclinației unei jumătăți de linie în raport cu cealaltă.
Dacă o traducere transformă în și în , aceasta nu se schimba unghiul geometric: . Prin urmare, putem defini unghiul geometric al a doi vectori diferiți de zero și ca unghiul dintre două jumătăți de linie direcționate de acești doi vectori și de origine comună arbitrară. Sau din nou: două cupluri și vectori diferiți de zero sunt echivalenți (reprezintă același unghi geometric) dacă există o izometrie vectorială care transformă vectorii unitari și în și . (Definim astfel o relație de echivalență între cupluri, deoarece izometriile vectoriale formează un grup .)
Prezentarea unghiurilor orientate într-un plan se poate face într-un mod intuitiv sau mai formalist.
Prima abordare constă în a vedea unghiul ca urma unei rotații: rotația care trimite jumătatea liniei (Ox) pe jumătatea liniei (Oy) este, în general, diferită de cea care trimite (Oy) pe (Ox). Unghiurile (Ox, Oy) și (Oy, Ox) sunt apoi considerate a fi distincte, indicând că au aceeași măsură, dar direcții de deplasare diferite.
O altă abordare constă în confuzia unghiului orientat și măsura acestuia. Această abordare necesită definirea unei orientări anterioare a planului pentru a putea defini așa-numitul sens pozitiv . Acest tip de abordare îl găsim atunci când definim măsura unghiului orientat al unei perechi de vectori unitari folosind lungimea arcului circular orientat pe care o determină pe un cerc unitar.
Ultima abordare mai formalizată constă în a vedea un unghi orientat ca o clasă de echivalență a perechilor de jumătăți de linii vectoriale modulând rotațiile plane sau ceea ce echivalează cu aceleași, ca orbite de perechi de jumătăți de linii vectoriale prin acțiunea grupului de izometrii pozitive.
Ulterior, vor fi prezentate abordările prin lungimile arcurilor cercurilor și ca clase de echivalență. Folosind aceleași tehnici ca mai sus, echivalează cu același lucru, atunci când vorbim despre unghiuri, să luăm în considerare două jumătăți de linie de aceeași origine, doi vectori diferiți de zero sau doi vectori de unitate. Prin urmare, limităm discuția la acest din urmă caz.
Într-un cerc cu centrul O și raza 1, definim așa-numita direcție pozitivă de deplasare , în general direcția în sens invers acelor de ceasornic, numită direcția trigonometrică. Dacă A și B sunt două puncte ale cercului, numim lungimea arcului orientat AB, lungimea oricărei rute de pe cerc începând de la A și ajungând la B. Există mai multe rute posibile constând în adăugarea de viraje complete ale cercului parcurs în direcția pozitivă sau în direcția negativă. O lungime a fiind cunoscută, celelalte lungimi ale arcului orientat sunt deci toate de formă a + 2 k π unde k este orice număr întreg relativ. Lungimea corespunzătoare celei mai scurte căi pentru a ajunge de la A la B se numește măsurarea principală a arcului AB (dacă există două căi posibile, se alege cea de măsurare pozitivă). Măsura principală este deci un număr aparținând intervalului] -π, π].
Fie și să fie doi vectori unitari, iar A și B punctele astfel încât și , numim măsura unghiului orientat orice lungime a arcului orientat AB. Măsura principală a unghiului are deci ca valoare absolută măsura unghiului geometric . Semnul acestei măsurători principale este pozitiv dacă cea mai scurtă cale de la A la B este în direcția directă, altfel este negativă. Două perechi de vectori având aceeași măsură definesc același unghi orientat.
În această abordare, este necesar ca „înfășurarea” liniei reale de pe cerc să fie percepută ca fiind naturală, o înfășurare care ar trebui încă formalizată.
Planul are următoarea particularitate, în comparație cu dimensiunile superioare: se poate rafina relația de congruență definită pentru unghiul geometric în așa fel încât cuplurile și să nu mai reprezinte același unghi în general. Pentru aceasta, se evită implică reflecții între izometrii autorizate să definească o nouă relație între cupluri, și anume că unul limitele sine la subgrupa de rotații ale avionului vectorului (în dimensiune 3 , de exemplu, această limitare nu ar reuși deoarece cele două cupluri sunt transformate unele de altele nu numai prin reflecție față de planul bisectoare, ci și printr-o rotație de jumătate de tură). Aceasta duce la următoarea definiție:
Un unghi orientat de vectori este o clasă de echivalență(Acum renunțăm la săgețile tradiționale de pe vectori.)
Două perechi (u, v) și (u ', v') de vectori unitari ai planului reprezintă același unghi orientat dacă există o rotație g astfel încât u '= g (u) și v' = g (v).
Confuzând în mod necorespunzător un cuplu și unghiul orientat pe care îl reprezintă, avem de exemplu: (–u, –v) = (u, v) cu jumătatea turei g = - Id .
Această nouă relație de echivalență este mai fină decât cea care definește unghiurile geometrice. Mai precis, ca clasă de echivalență, unghiul geometric este uniunea celor două unghiuri orientate și .
Fiecare unghi orientat corespunde unei rotațiiAvând în vedere doi vectori unitari, există o singură rotație a planului care trimite primul la al doilea.
Această unicitate face posibilă definirea unei aplicații care la perechea (u, v) de vectori unitari asociază rotația f astfel încât f (u) = v.
Această hartă T: (u, v) ↦ f, de la perechile de vectori la rotații, „ trece la coeficient ” și astfel definește o bijecție S, din unghiurile direcționate spre rotații. Într-adevăr :
Teorema - (u, v) și (u ', v') reprezintă același unghi orientat dacă și numai dacă rotația care trimite u pe v este aceeași cu cea care trimite u 'pe v'.
Acest lucru se datorează faptului că grupul de rotații al planului vector este abelian .
DemonstrațiePrin definiție, (u, v) și (u ', v') reprezintă același unghi orientat dacă și numai dacă rotația care trimite u pe u 'este aceeași cu cea care trimite v pe v', cu alte cuvinte: T (u, u ') = T (v, v'). Prin comutativitatea grupului de rotații, aceasta este echivalentă cu T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v), adică T (u, v) = T (u ', v').
Unghiurile orientate ale vectorilor formează un grupFolosind această bijecție S, putem „mapa” structura grupului abelian (en) a grupului de rotații pe setul de unghiuri, adică să definim adăugarea unghiurilor din compoziția rotațiilor, prin setarea:
.Vom defini, pe unghiurile orientate, o măsură, astfel încât măsura sumei să fie egală cu suma măsurilor (pentru unghiurile geometrice, am putea defini parțial o adunare a unghiurilor și măsurile corespunzătoare: numai pentru „nu” „unghiuri prea mari”.
Alegerea uneia dintre cele două orientări posibile ale planului determină unul dintre cele două izomorfisme ale grupului de rotații cu grupul SO (2) al matricilor de rotații plane sau cu grupul U al numerelor complexe ale modulului 1 . Exponențială complexă apoi face posibilă definirea măsurii unghiului de rotație la cadrul 2π , sau „modulo 2π“ (în radiani). Dacă θ este o măsură a unghiului de rotație f = T (u, v), vom spune că θ este și o măsură a unghiului orientat al vectorilor (u, v).
De exemplu, se observă măsura unghiului drept de direcție directă:
sau
.În rezumat, o orientare a planului fiind aleasă, măsura unui unghi orientat de vectori este definită de:
,unde matricea este cea a lui T (u, v) în orice bază ortonormală directă .
Este un izomorfism al grupului de unghiuri orientate din grupul aditiv al „modulului real 2π” . Astfel, măsurarea unghiurilor este în cele din urmă aditivă.
Amintiți-vă, totuși, că depinde de o alegere a orientării loviturii : inversarea acestei alegeri schimbă toate măsurile în contrariile lor . Aflăm aici faptul că un unghi geometric, de măsură α între 0 și π, corespunde cu două unghiuri orientate opuse, atribuirea (modulul 2π) a măsurii α la una și, prin urmare, –α la cealaltă fiind o funcție a orientării a avionului.
În plus, Daniel Perrin și Jean Dieudonné subliniază că nu putem vorbi strict de măsurare, deoarece nu este posibilă nicio comparație între două măsurători de unghi.
Într-un plan, unghiul orientat al două linii este clasa modulo π a unghiului orientat format de vectorii lor de direcție. Această lucrare de modul π provine din faptul că putem lua ca vector direcționar al unei drepte u sau -u și că schimbarea unui vector în cantitățile sale opuse pentru a adăuga π la măsura unghiului corespunzător.
Unghiurile orientate pe linie sunt utilizate pentru a determina unghiul unei rotații formate din două reflexii. Această noțiune este, de asemenea, utilă pentru toate problemele de aliniere și ciclicitate.
Două linii care se intersectează sunt neapărat coplanare, deci unghiul dintre linii este definit în acest plan, în același mod ca mai sus.
În spațiu, nu există noțiunea de unghi orientat de linii, dar putem defini unghiul oricărei două linii în spațiu, secante sau nu, cu condiția de a lucra la vectorii lor de direcție. Unghiul a două linii se numește unghiul geometric format de vectorii lor de direcție. În general, există două valori posibile pentru acest unghi, în funcție de vectorii de direcție aleși. Uneori este preferat cel mai mic unghi. Astfel unghiul dintre două linii paralele este zero și cel dintre două linii ortogonale este de 90 ° sau π / 2 rad.
Unghiul a două linii de vectori de direcție u și v poate fi determinat folosind produsul scalar: este unghiul al cărui cosinus este .
Putem considera, de asemenea, noțiunea vecină de unghi de două axe, în care orientarea axelor impune o singură valoare unghiului pe care îl formează.
Pentru a defini unghiul dintre două planuri, sau unghi diedru , considerăm unghiul făcut de normalii lor .
Pentru a defini unghiul dintre un plan și o linie, considerăm unghiul α dintre linie și proiecția sa ortogonală pe plan, sau unghiul complementar dintre linie și normal la plan: scădem unghiul β între linie și normalul la planul unghiului drept (α = π / 2 - β în radiani).
De asemenea, definim unghiurile solide : luăm un punct (uneori numit „punct de observație”) și o suprafață în spațiu („suprafața observată”), unghiul solid este porțiunea de spațiu delimitată de conul având pentru vârf punctul considerat și sprijinindu-se pe conturul suprafeței. Măsurăm unghiul solid calculând aria capacului tăiat de con pe sfera razei unu și centrăm vârful conului. Unitatea de măsură pentru unghiul solid este steradianul (sr pe scurt), spațiul complet este 4π sr.