Compact Lie Group

În matematică, un grup Lie compact este un grup Lie (real sau complex) care, ca grup topologic , este un grup compact . Un grup compact Lie real admite o invariantă metrică riemanniană prin traduceri dreapta și stânga. Clasificarea grupurilor compacte complexe de Lie este cunoscută: toate sunt comutative .

Grup de minciuni compacte

Reprezentarea unui grup compact

O adevărată (resp. Complex) grup Lie compact G este un exemplu al unui grup compact. Ca atare, are o unică măsură de probabilitate invariantă de traducere din stânga, numită măsura Haar a G . Orice reprezentare de grad finit a grupului G este echivalentă cu o reprezentare unitară (en) . Mai exact, pentru orice spațiu vectorial dimensional real (resp. Complex) V și orice morfism continuu de grup ρ: G → GL ( V ) , există o structură euclidiană (resp. Hermitian) pe V invariantă prin acțiunea lui G : harta ρ are valori în grupul ortogonal asociat (respectiv grupul unitar ).

Metrică Riemanniană biinvariantă

Pentru orice grup Lie real conectat G , orice structură euclidiană pe spațiul tangent al lui G în elementul neutru induce prin transportul structurilor o metrică Riemanniană unică pe G invariantă prin traducere stângă. Dacă grupul nu este comutativ , această valoare nu are niciun motiv să fie invariantă prin traducerea corectă. ${\ mathfrak {g}}$

Dacă și sunt multiplicările stânga și dreapta cu g și cu g −1 , prin definiție, diferențialul la elementul neutru al este . Prin corespondența anterioară, metricele Riemanniene biinvariante pe G corespund exact structurilor euclidiene pe invarianți prin reprezentarea adiacentă . $m_ {g}$ $d_ {g}$ ${\ displaystyle m_ {g} d_ {g}}$ ${\ displaystyle ad (g)}$ ${\ mathfrak {g}}$

Existența unei structuri euclidiene invariante prin reprezentarea adiacentă rezultă tocmai din considerații generale asupra reprezentărilor.

Pentru o astfel de metrică riemanniană, multiplicările stânga și dreapta sunt izometrii riemanniene. Subgrupurile cu un singur parametru sunt geodezice ale lui G care trece prin elementul neutru. După cum G este compact, teorema Hopf-Rinow presupune existența unei geodezic în orice element neutru , care element al G . Asa de :

Exponențială Harta este surjectiv.

Rețineți că un grup Lie conectat este divizibil dacă (și numai dacă!) Harta sa exponențială este surjectivă.

Grupul compact complex Lie

Un grup complex Lie complex G este comutativ.

Reprezentarea adjunctă a lui G este o hartă holomorfă . Deoarece G este o varietate complexă compactă, reclama pe hartă este constantă, egală cu valoarea sa în elementul neutru. Prin urmare, cârligul Lie algebrei Lie este trivial, prin urmare legea grupului este comutativă. ${\ displaystyle ad: G \ rightarrow GL _ {\ mathbf {C}} ({\ mathfrak {g}})}$

Compact complex de grupuri Lie G de dimensiune 1 sunt coeficientii de $C$ de către sale rețele . O rețea de $C$ este un subgrup aditiv discret de rangul 2.

Referinţă

(în) Dl McCrudden, „ Tu n - lea rădăcini și elemente infinit divizibile într - un grup Lie conectat “ , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , vol. 89, n o 2nouăsprezece optzeci și unu, p. 293-299 ( DOI 10.1017 / S0305004100058175 ).

Articole similare

Grup ortogonal și grup ortogonal special
Grup de unități și grup de unități
Grupul Spinor
Grup simplectic compact
Subgrup compact maxim (en)