Vectorul unitar

Într-un spațiu vector normat (real sau complex) E , un vector unitate este un vector a cărui normă este egală cu 1.

Dacă câmpul scalarilor este R , doi vectori unitari v și w sunt coliniari dacă și numai dacă v = w sau v = - w .
Dacă câmpul scalarilor este C și dacă v este un vector unitar al lui E , atunci vectorii unitari coliniari cu v sunt α v unde α este un complex de modul 1.

Vectorii de unitate sunt folosite pentru a defini direcția și sensul unui vector nenul al E . Orice vector v nul este multiplicarea vectorului unitar u = v / ║ v ║ cu un număr real strict pozitiv, și anume norma ║ v ║ a v .

v = ║ v ║ u .

În fizică , pentru a desemna vectorii unitari, este obișnuit pentru a utiliza un caret : . În mecanica cuantică , stările sunt vectori unitari ai spațiilor Hilbert . În special, funcțiile de undă sunt funcții pe R 3 cu un pătrat sumabil și cu o normă L 2 egală cu 1. $\ hat {x}, \ hat {y}, \ hat {z}$

Derivarea vectorilor unitari

Fie E un spațiu euclidian sau hermitian și să fie o funcție diferențiată t ↦ e ( t ) cu valori în E , astfel încât pentru toate t , e ( t ) este un vector unitate. Atunci vectorul derivat e ' ( t ) este ortogonal cu e ( t ). Acesta este în special cazul vectorilor tuturor bazelor ortonormale mobile (en) .

Într-adevăr, pătratul normei lui e ( t ) este o funcție constantă la t , deci a derivatei zero. Derivatul său este

{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ | e (t) \ | ^ {2} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle e (t) \ mid e (t) \ rangle = 2 \ langle e '(t) \ mid e (t) \ rangle.}

Prin definiția ortogonalității, cei doi vectori e ( t ) și e ' ( t ) sunt ortogonali pentru toți t .