Triunghi dreptunghiular

În geometria euclidiană , un triunghi dreptunghi este un triunghi al cărui unghiuri este drept . Celelalte două unghiuri sunt apoi complementare , de măsurare strict inferioară. Partea opusă unghiului drept se numește apoi hipotenuză . Celelalte două părți, adiacente unghiului drept, se numesc catetere .

Hipotenuza este atunci cea mai lungă latură a triunghiului, iar lungimea sa este legată de cele ale celorlalte două laturi de teorema lui Pitagora . Această relație este chiar caracteristică triunghiurilor dreptunghiulare. În cazul triunghiurilor laterale, aceasta conduce la definirea triplurilor pitagoreice .

Proprietăți caracteristice

Teorema lui Pitagore

Teorema lui Pitagora afirmă că într-un triunghi dreptunghiular, pătratul lungimii hipotenuzei este egal cu suma pătratelor celorlalte două lungimi ale laturilor unghiului drept, adică dacă un triunghi ABC este dreptunghiular în C , atunci . LAB2=VSLA2+VSB2{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2}}

În schimb, orice triunghi ABC verificarea egalității anterioare este un triunghi dreptunghic C .

Zonă

Deoarece un triunghi dreptunghiular poate fi realizat ca jumătate de dreptunghi generat de cele două linii, aria unui triunghi dreptunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor acestor două laturi.

Dimpotrivă, dacă aria unui triunghi este produsul lungimilor a două laturi împărțite la 2, atunci acest triunghi este dreptunghiular cu vârful comun acestor laturi.

Cerc circumscris

Dacă un triunghi este dreptunghiular, atunci punctul mediu al hipotenuzei este echidistant de la cele trei vârfuri, adică este centrul cercului circumscris , sau chiar că mediana rezultată din unghiul drept are pentru lungimea jumătății hipotenuzei.

În schimb, orice punct al unui cerc formează un triunghi dreptunghiular cu capetele unui diametru al cercului respectiv.

Această echivalență poate fi văzută ca un caz special al teoremei unghiului central  : unghiul înscris este drept dacă și numai dacă unghiul central este plat.

Înălțimi

Înălțimea rezultată din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic are proprietăți caracteristice, una dintre care apare în primele pagini ale lui René Descartes carte , Geometrie .

În orice triunghi ABC unde H este piciorul înălțimii de la C.

• Dacă triunghiul este drept la C atunci:
  • H aparține lui [AB] și CH 2 = HA × HB;
  • H aparține [AB] și AC 2 = AH × AB;
  • H aparține lui [AB] și BC 2 = BH × AB;
  • CH × AB = CA × CB.
• În schimb, un triunghi în care se realizează una dintre aceste patru proprietăți este un dreptunghi C.

Primele trei proprietăți sunt deduse din observarea celor trei triunghiuri similare ABC, CBH și ACH. Al patrulea constă în scrierea ariei triunghiului dreptunghiular considerând succesiv BC și BA drept bază.

Reciprocurile folosesc aceleași instrumente: primele egalități traduc relații egale și prezența unui unghi drept sau a unui unghi comun confirmă prezența triunghiurilor similare. deci unele sunt dreptunghiuri.

Ortocentrul unui triunghi dreptunghiular este în mod evident vârful în care se află unghiul drept.

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea rezultată din unghiul drept, are o lungime HC egală cu suma razelor cercurilor înscrise respectiv în triunghiul dreptunghiular inițial ABC și cele două triunghiuri dreptunghiulare delimitate de înălțime. Dacă numim r raza cercului înscris în triunghiul ABC, r 1 aceea a cercului înscris în triunghiul AHC, r 2 aceea a cercului înscris în triunghiul BHC și h înălțimea CH , avem:

h=r+r1+r2{\ displaystyle h = r + r_ {1} + r_ {2}}

Înălțimea h , razele r , r 1 și r 2 sunt legate de relațiile: șihr1=lar{\ displaystyle {\ frac {h} {r_ {1}}} = {\ frac {a} {r}}}hr2=br{\ displaystyle {\ frac {h} {r_ {2}}} = {\ frac {b} {r}}}

r2=r12+r22{\ displaystyle r ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2}}

și

r1b=r2la=rvs.{\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {b}} = {\ frac {r_ {2}} {a}} = {\ frac {r} {c}}}.

Bisectoare

În orice triunghi dreptunghiular, bisectoarele se întâlnesc într-un punct O centru al cercului înscris în triunghi. Raza acestui cerc inscripționat este egală cu jumătatea perimetrului minus hipotenuza (vezi diagrama), adică cu aceleași notații:

r = AB + BC + CA/2- AB .

Găsim teorema lui Carnot , care s-a aplicat triunghiului dreptunghic la C, dă, r fiind raza cercului înscris și R =AB/2 cel al cercului circumscris:

CA + CB/2= r + R și   CA + CB = AB + 2 r

Raza r a cercului înscris este, de asemenea, egală cu dublul ariei triunghiului împărțit la perimetru.

Cazuri speciale

Aceste triunghiuri sunt unice, cu excepția similitudinii.

Dreptunghi triunghi isoscel

Jumătate de pătrat este un triunghi isoscel drept. Cele două unghiuri acute ale acestuia măsoară 45 °, iar raportul dintre hipotenuză și fiecare dintre cateterele sale este √ 2 .

Triunghiul 3-4-5

Triunghiul 3-4-5 este un triunghi ale cărui laturi măsoară 3, 4 și respectiv 5 unități. Acesta este triunghiul dreptunghiular cu ipotenuza minimă și singurul triunghi ale cărui lungimi laterale urmează o progresie aritmetică. Această formă este utilizată pentru a obține un unghi drept folosind coarda de 13 noduri .

Triunghiul lui Kepler

Triunghiul Kepler este triunghiul singurul unghi ale cărui lungimi laterale urmează o progresie geometrică. Motivul acestei progresii este rădăcina pătrată a raportului auriu .

Jumătate de triunghi echilateral

Demi-triunghiul echilateral are unghiuri de 90 °, 60 ° și 30 °. Este singurul triunghi unghiular ale cărui unghiuri urmează o progresie aritmetică.

Aplicații

Descompunere

Orice triunghi neplat poate fi descompus în două triunghiuri dreptunghiulare care admit ca latură comună o înălțime internă (de exemplu, cea rezultată dintr-un vârf de unghi maxim).

Acest principiu face posibilă reducerea problemelor de placare cu poligoane la probleme de placare cu triunghiuri dreptunghiulare.

Componente dintr-un sistem de coordonate ortonormale

Într-un sistem de coordonate ortonormale , dacă un punct M se proiectează de-a lungul H pe axă și de-a lungul I pe axă , atunci OHM și OMI sunt triunghiuri dreptunghiulare. (O,ı→,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})}(O,ı→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}})}(O,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ jmath}})}

Trigonometria în triunghiul dreptunghiular

Un triunghi dreptunghi are un unghi drept și două unghiuri acute , cel puțin în geometria euclidiană ( pe o sferă , există triunghiuri cu două și chiar trei unghiuri drepte).

Două triunghiuri dreptunghiulare care au unul dintre unghiurile lor non- drepte sunt similare  : raportul a două dintre laturile triunghiului dreptunghi depinde deci doar de un unghi non-drept. Această proprietate face posibilă introducerea funcțiilor trigonometrice pentru un unghi acut neorientat, a cărui măsură este, în grade cuprinse între 0 și 90 ° (sau în radiani, între 0 și π / 2). De exemplu, pentru un triunghi ABC drept în C:

• cosinusul unghiului a este raportul dintre partea laterală a unghiului drept adiacent alfa de ipotenuza , adică cos (a) = AC / AB  ;
• sinusul unghiului a este raportul dintre partea dreaptă unghiul opus α de ipotenuzei, adică sin (α) = BC / AB  ;
• tangenta unghiului a este raportul dintre partea dreaptă unghiul opus alfa per latură a unghiului drept adiacent α, tan (α) = BC / AC .

Triunghi pitagoric

Un triunghi dreptunghic ale cărui trei laturi sunt măsurate cu numere întregi (pentru aceeași unitate de măsură) se numește triunghi pitagoric. Prin teorema lui Pitagora , lungimile celor trei laturi ale unui triunghi pitagoric furnizează un triplu pitagoric , care este un triplet de numere întregi nenule ( x , y , z ) care satisfac x 2 + y 2 = z 2 . Prin inversul aceleiași teoreme, un triplet pitagoric face posibilă construirea unui triunghi pitagoric.

În special pentru orice număr întreg n mai mare sau egal cu 3, putem construi un triunghi dreptunghic a cărui lungime a unei laturi a unghiului drept este măsurată cu acest număr n , celelalte două laturi fiind măsurate prin numere întregi:

• Dacă n este un număr par, n = 2 k , este suficient să luăm lungimea celeilalte laturi a unghiului drept egală cu k 2 - 1. Hipotenuza este atunci de lungime egală cu k 2 +1.
• Dacă n este un număr impar, n = 2 k + 1, este suficient să luăm lungimea celeilalte laturi a unghiului drept egală cu 2 k 2 + 2 k . Hipotenuza are apoi o lungime egală cu 2 k 2 + 2 k + 1.

Știm să descriem mai general toate tripletele și, prin urmare, toate triunghiurile, pitagoreice. Fermat a demonstrat că niciuna dintre acestea nu ar putea avea un pătrat perfect pentru suprafață.

Spirala lui Teodor

Spirala lui Theodore este alcătuită dintr-o serie de triunghiuri dreptunghiulare, fiecare admitând un cateter de lungime 1 și celălalt definit de ipotenuza triunghiului precedent. Triunghiul inițial este drept isoscel. Succesiunea lungimilor hipotenuzelor este alcătuită din rădăcinile pătrate ale numerelor naturale. Această spirală este numită în omagiu lui Teodor din Cirene, care ar fi demonstrat că rădăcinile pătrate ale primilor numere întregi (cu excepția pătratelor perfecte) erau iraționale .

Generalizări

Tetraedru triunghiular

Se spune că un tetraedru este un trirectangular dacă trei dintre fețele sale sunt triunghiuri dreptunghiulare la același vârf. Gua Teorema generalizează atunci teorema lui Pitagora stipulând că pătratul suprafața ultimului strat este suma pătratelor zonele de celelalte trei.

Triunghi dreptunghiular sferic

În geometria neeuclidiană , un triunghi dreptunghiular sferic poate avea două sau trei unghiuri drepte.

Note și referințe

1. Dacă excludem posibilitatea ca două vârfuri să fie confuze, un triunghi nu poate admite două unghiuri drepte și un unghi zero.
2. proprietate caracteristică atribuită uneori lui Thales .
3. „  Relații metrice în triunghiul dreptunghiular  ” , pe alloprof.qc.ca .
4. Joseph Casimir Pascal, curs de geometrie elementară , licențiat,1835, 367  p. ( citește online ).

Vezi și tu

• Triunghi acut
• Triunghi obuz
• Dreptunghi special triunghi  (in)