Teorema factorizării

În matematică , teorema factorizării este un principiu general care face posibilă construirea unui morfism al unei structuri de coeficient într-un alt spațiu dintr-un morfism de vierme , astfel încât să se factorizeze pe acesta din urmă prin surjecția canonică a trecerii la coeficient. X/R{\ displaystyle X / R}Da{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Da{\ displaystyle Y}

Cazul seturilor

Fie un set înzestrat cu o relație de echivalență și cu surjecția canonică. X{\ displaystyle X} R{\ displaystyle R}s:X→X/R{\ displaystyle s: X \ to X / R}

Teorema  -  Fie o hartă astfel încât (pentru orice pereche de elemente x , x ' în X ) f:X→Da{\ displaystyle f: X \ to Y}

XRX′⇒f(X)=f(X′){\ displaystyle xRx '\ Rightarrow f (x) = f (x')}.

Apoi, există o singură aplicație

g:X/R→Da ca f=g∘s{\ displaystyle g: X / R \ to Y {\ text {astfel încât}} f = g \ circ s}.

Mai mult:

• g{\ displaystyle g}este injectiv dacă și numai dacă, dimpotrivă, (și, prin urmare, dacă );f(X)=f(X′)⇒XRX′{\ displaystyle f (x) = f (x ') \ Rightarrow xRx'}f(X)=f(X′)⇔XRX′{\ displaystyle f (x) = f (x ') \ Leftrightarrow xRx'}
• g{\ displaystyle g}este surjectiv dacă și numai dacă este surjectiv;f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este bijectiv dacă este surjectiv și dacă .f{\ displaystyle f}XRX′⟺f(X)=f(X′){\ displaystyle xRx '\ Longleftrightarrow f (x) = f (x')}

Demonstrație

• Unicitatea lui g este imediată și ghidează dovada existenței sale , dintre care aici sunt mai multe variante:
  • Dovadă „naivă”: pentru orice element , pozăm . Dacă pentru un element echivalent cu , avem prin ipoteză. Deci este bine definit. Prin construcție, f = g ∘ s .z=s(X)∈X/R{\ displaystyle z = s (x) \ în X / R}g(z)=f(X){\ displaystyle g (z) = f (x)}z=s(X′){\ displaystyle z = s (x ')}X′{\ displaystyle x '}X{\ displaystyle x}f(X)=f(X′){\ displaystyle f (x) = f (x ')}g{\ displaystyle g}
  • Formalizarea dovezii „naive”, făcând mai evidentă utilizarea axiomei de alegere  : fie t o secțiune din s (adică o aplicație care asociază un element din această clasă cu fiecare clasă). Am stabilit g = f ∘ t . Apoi, pentru orice element x al lui X , ( t ∘ s ) ( x ) R x deci f (( t ∘ s ) ( x )) = f ( x ), adică ( g ∘ s ) ( x ) = f ( x ); avem deci f = g ∘ s .
  • Dovada fără axioma de alegere: prin ipoteză, f trimite toate elementele unei clase z pe același element acolo din Y . Atribuirea z ↦ y definește apoi aplicația corespunzătoare g .
  • Formalizarea dovada fără axioma alegere: notând F și S a graficelor de f și s , relația binară G = F ∘ S -1 (definit prin: zGy dacă există un x astfel încât z = s ( x ) și f ( x ) = y ) este funcțional și definește aplicația adecvată g .
• Dacă f este surjectiv, egalitatea f = g ∘ s implică faptul că g este și surjectiv.
• Să presupunem că este echivalent cu . Lăsați astfel încât . Deci , prin urmare și . Ceea ce înseamnă că este injectiv.XRX′{\ displaystyle xRx '}f(X)=f(X′){\ displaystyle f (x) = f (x ')}z1=s(X1),z2=s(X2){\ displaystyle z_ {1} = s (x_ {1}), z_ {2} = s (x_ {2})}g(z1)=g(z2){\ displaystyle g (z_ {1}) = g (z_ {2})}f(X1)=f(X2){\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}X1RX2{\ displaystyle x_ {1} Rx_ {2}}z1=s(X1)=s(X2)=z2{\ displaystyle z_ {1} = s (x_ {1}) = s (x_ {2}) = z_ {2}}g{\ displaystyle g}
• Ultima proprietate rezultă din cele două anterioare.

( Conversa este mai puțin utilă, dar imediată: pentru orice hartă g  : X / R → Y , compozitul f = g ∘ s satisface x R x ' ⇒ f ( x ) = f ( x' ).)

Această teoremă se poate specializa într-o serie de structuri algebrice sau topologice.

Cazul grupurilor

Pe un grup , considerăm relația de echivalență definită de un subgrup normal de  : dacă . Apoi, surjecția canonică este un morfism al grupurilor și este enunțată teorema factorizării G{\ displaystyle G} H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}XRX′{\ displaystyle xRx '}X∈X′H{\ displaystyle x \ in x'H}s:G→G/H=G/R{\ displaystyle s: G \ to G / H = G / R}

Teorema  -  Să fie un morfism al grupurilor. Dacă este conținut în nucleul lui , atunci există un morfism unic al grupurilor astfel încât . Mai mult: f:G→K{\ displaystyle f: G \ to K}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}g:G/H→K{\ displaystyle g: G / H \ to K}f=g∘s{\ displaystyle f = g \ circ s}

• g{\ displaystyle g}este surjectiv dacă este surjectiv;f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este injectiv dacă avem  ;H=ker⁡f{\ displaystyle H = \ ker f}
• g{\ displaystyle g}este un izomorfism dacă este surjectiv și .f{\ displaystyle f}H=ker⁡f{\ displaystyle H = \ ker f}

Demonstrație

Existența este asigurată de teorema generală de mai sus. Faptul că este un morfism al grupurilor provine din faptul că și sunt morfisme ale grupurilor. g{\ displaystyle g}g{\ displaystyle g}f{\ displaystyle f}s{\ displaystyle s}

Dacă , atunci dacă și numai dacă . Această ultimă condiție este echivalentă cu . Conform teoremei generale, este injectiv. H=ker⁡f{\ displaystyle H = \ ker f}f(X1)=f(X2){\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}X1X2-1∈ker⁡f=H{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} ^ {- 1} \ in \ ker f = H}X1RX2{\ displaystyle x_ {1} Rx_ {2}}g{\ displaystyle g}

Cazul spațiilor vectoriale

Considerăm un spațiu vector și relația de echivalență definită de un subspatiu vectorial  : si . Apoi, surjecția canonică este liniară . E{\ displaystyle E} H{\ displaystyle H}XRX′{\ displaystyle xRx '}X-X′∈H{\ displaystyle x-x '\ în H}s:E→E/H=E/R{\ displaystyle s: E \ to E / H = E / R}

Teorema  -  Fie o hartă liniară. Dacă este conținut în nucleul lui , atunci există o hartă liniară unică astfel încât . Mai mult: f:E→F{\ displaystyle f: E \ to F}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}g:E/H→F{\ displaystyle g: E / M \ to F}f=g∘s{\ displaystyle f = g \ circ s}

• g{\ displaystyle g}este surjectiv dacă este surjectiv;f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este injectiv dacă avem  ;H=ker⁡f{\ displaystyle H = \ ker f}
• g{\ displaystyle g}este un izomorfism dacă este surjectiv și .f{\ displaystyle f}H=ker⁡f{\ displaystyle H = \ ker f}

Cazul inelelor

Considerăm un inel și relația de echivalență definită de un ideal bilateral de  : si . Apoi, surjecția canonică este un morfism inelar . LA{\ displaystyle A} Eu{\ displaystyle I}LA{\ displaystyle A}XRX′{\ displaystyle xRx '}X-X′∈Eu{\ displaystyle x-x '\ în I}s:LA→LA/Eu=LA/R{\ displaystyle s: A \ to A / I = A / R}

Teorema  -  Să fie un morfism inelar. Dacă este conținut în nucleul lui , atunci există un morfism unic inelar, astfel încât . Mai mult: f:LA→B{\ displaystyle f: A \ to B}Eu{\ displaystyle I}f{\ displaystyle f}g:LA/Eu→B{\ displaystyle g: A / I \ to B}f=g∘s{\ displaystyle f = g \ circ s}

• g{\ displaystyle g}este surjectiv dacă este surjectiv;f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este injectiv dacă avem  ;Eu=ker⁡f{\ displaystyle I = \ ker f}
• g{\ displaystyle g}este un izomorfism dacă este surjectiv și .f{\ displaystyle f}Eu=ker⁡f{\ displaystyle I = \ ker f}

Fie un spațiu topologic prevăzut cu o relație de echivalență și surjecția canonică. Noi oferim topologia câtul . Fie o aplicație continuă . X{\ displaystyle X}R{\ displaystyle R}s:X→X/R{\ displaystyle s: X \ to X / R}X/R{\ displaystyle X / R}f:X→Da{\ displaystyle f: X \ to Y}

Teorema  -  În cazul în care pentru orice pereche in , avem , atunci există o hartă continuă unică , astfel încât . Mai mult: XRX′{\ displaystyle xRx '}X{\ displaystyle X}f(X)=f(X′){\ displaystyle f (x) = f (x ')}g:X/R→Da{\ displaystyle g: X / R \ to Y}f=g∘s{\ displaystyle f = g \ circ s}

• g{\ displaystyle g}este surjectiv dacă este surjectiv;f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este injectiv dacă avem echivalent cu  ;XRX′{\ displaystyle xRx '}f(X)=f(X′){\ displaystyle f (x) = f (x ')}
• g{\ displaystyle g}este deschis (resp. închis) dacă este deschis (resp. închis);f{\ displaystyle f}
• g{\ displaystyle g}este un homeomorfism dacă este surjectiv și deschis sau închis și dacă .f{\ displaystyle f}XRX′⟺f(X)=f(X′){\ displaystyle xRx '\ Longleftrightarrow f (x) = f (x')}

Demonstrație

Continuitatea urmează imediat din proprietățile generale ale topologiei coeficientului. Pentru orice parte a , avem , acest lucru implică dreptul de proprietate asupra aplicațiilor deschise sau închise. g{\ displaystyle g}F{\ displaystyle F}X/R{\ displaystyle X / R}g(F)=f(s-1(F)){\ displaystyle g (F) = f (s ^ {- 1} (F))}

Referințe

1. N. Bourbaki , Elemente de matematică  : teoria seturilor [ detaliile edițiilor ], p.  II-44 , C57, referindu-se la p.  II-20 pe Google Books , propunerea 9.a.
2. Saunders Mac Lane și Garrett Birkhoff , Algebra [ detaliile edițiilor ], p.  35 din ed. 1999 în engleză pe Google Books .

Articol asociat

Coeficient de magmă