Element întreg

În matematică și mai specific în algebra comutativă , numerele întregi pe un inel comutativ sunt atât o generalizare a numerelor întregi algebrice (numere întregi pe inelul numerelor întregi relative ), cât și elemente algebrice într-o extensie de câmpuri . Este o noțiune foarte utilă în teoria numerelor algebrice și geometria algebrică . Apariția sa a început cu studiul numerelor întregi pătratice , în special a numerelor întregi gaussiene .

Definiție

Fixed este un inel comutativ $A$ .

Fie $B$ o $A$ -algebră comutativă (adică un inel comutativ (unitar) prevăzut cu un morfism inelar ). Se spune că un element $b$ al lui $B$ este întreg peste $A$ dacă există un polinom unitar cu coeficienți în $A care$ dispare la $b$ . ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$

Exemple

Când A este un corp (comutativ) , un element este parte integrantă peste A dacă (și numai dacă) este algebric peste A .
In corpul uman văzut ca o algebră pe inelul de numere întregi relative , numerele întregi sunt întregi algebrici . De exemplu : VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} $\ mathbb {C}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$
- orice număr întreg Gauss cu și o
rădăcină pătrată de $-1$ , este un număr întreg peste , deoarece este anulat de polinomul unitar cu coeficienți întregi ;α=la+eub∈VS{\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}} ${\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}}$ la,b∈Z{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}} ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ eu{\ displaystyle \ mathrm {i}} ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$ α{\ displaystyle \ alpha} $\alfa$ X2-2laX+(la2+b2){\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})} ${\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})}$
singurele numere întregi algebrice raționale sunt numere întregi relative.

Să o să fie un element de A și B câtul inelul A [ X ] / ( X 2 - a ). Imaginea X în B este completă pe A .

Să G un grup finit de automorfisme de A , și A G subinel elementelor A fixate prin toate elementele G . Deci , fiecare element al A este parte integrantă peste A G .

Demonstrație

Dacă α este un element al lui A , atunci α este rădăcina polinomului ∏ σ ∈ G ( X - σα ), ai cărui coeficienți sunt invarianți de automorfismele lui G , din moment ce funcțiile simetrice ale σα .

Se spune că $B$ este parte integrantă peste $A$ , sau că este o $O$ întreagă algebră dacă fiecare element al $B$ este parte integrantă peste $A$ . Vom spune, de asemenea, că este un întreg morfism sau că este o întreagă extensie . ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$ $A \ to B$

Spre deosebire de cazul extensiilor corpului, un morfism inelar nu este neapărat injectiv. Dar să spunem că $b$ este parte integrantă peste $A$ înseamnă că $b$ este parte integrantă peste subinel de $B$ . Prin urmare, ne putem limita întotdeauna la morfisme injective. Dar este mai convenabil să păstrăm definiția cazului general (putem spune astfel că un morfism surjectiv este întreg). ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$ ${\ displaystyle \ phi (A)}$

Proprietăți

Noi spunem că un morfism de la A la B este un morfism finit în cazul în care face B o A -modul de tip finit, adică, dacă există , cum ar fi , de asemenea , a spus că B este finită de peste A . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ în B}$ ${\ displaystyle B = b_ {1} A + \ ldots + b_ {n} A.}$

Teorema - Următoarele condiții sunt echivalente:

b este întreg peste A ,
A [ b ] este finit pe A (ca modul A ),
există o subalgebră (unitară) a lui B care conține b și finit pe A (ca modul A ),
există un A [ b ] - modul de tip fidel și finit ca A -modul.

Demonstrație

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ și sunt imediate. ${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$
${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ :

Fie așa încât . Fie . Prin împărțirea euclidiană în (este posibil aici, deoarece este unitar), avem cel mult cu grad . La fel este o combinație liniară a și este de tip finit. ${\ displaystyle P (X) = X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0} \ în A [X]}$ ${\ displaystyle P (b) = 0}$ ${\ displaystyle F (X) \ în A [X]}$ ${\ displaystyle A [X]}$ $P (X)$ ${\ displaystyle F (X) = Q (X) P (X) + R (X)}$ ${\ displaystyle R (X)}$ $n-1$ ${\ displaystyle F (b) = R (b)}$ ${\ displaystyle 1, b, \ ldots, b ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle A [b]}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 1}$ :

Să D un astfel de modul și o familie de generare a A -modul D . Pentru toate i , bd i este un membru D și este exprimat ca o combinație liniară de coeficienți în A . Prin urmare, există elemente a ij din A astfel încât: ${\ displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ $d_ {j}$

{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \ quad b.d_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} d_ {j}}

care este scris și

{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \ quad \ sum _ {j = 1} ^ {n} (\ delta _ {ij} b-a_ {ij}) d_ {j} = 0}

unde δ ij denotă simbolul Kronecker .

Dacă notăm cu d determinantul , formula lui Laplace arată că avem dd i = 0 pentru tot i . Deoarece d i generează D , deducem dD = 0 prin urmare (deoarece D este fidel) d = 0. Dacă dezvoltăm acest determinant d , obținem o ecuație de forma P ( b ) = 0, unde P este un polinom monic cu coeficienți în a . ${\ displaystyle \ det (\ delta _ {ij} b-a_ {ij})}$

Corolar 1 - Setul de elemente întregi ale lui B peste A este un subinel al lui B care conține imaginea lui . ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$

Demonstrație

Dacă b și c sunt numere întregi peste A, atunci subalgebra A [ b , c ] este finită (ca un modul) peste A [ b ] care în sine este finită peste A , deci A [ b , c ] este finită pe A prin urmare (conform teoremei) toate elementele sale sunt numere întregi pe A , în special elementele b - c și bc .

Corolarul 2 - Dacă B este integral peste A și dacă c este o parte întreagă a B a unui B algebră, atunci c este parte integrantă peste A . Astfel, un inel întreg al unui inel staționar A este parte integrantă peste A .

Demonstrație

Fie un polinom care anulează c . Deoarece sunt numere întregi peste A , algebra este un A -modul de tip finit (prin iterarea raționamentului corolarului anterior). Deoarece c este întreg peste C , algebra D = C [ c ] este un C -modul de tip finit. Deducem că D este un A -modul de tip finit, iar teorema ne permite să concluzionăm. ${\ displaystyle X ^ {n} + b_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + b_ {0} \ în B [X]}$ $b_k$ ${\ displaystyle C = A [b_ {0}, \ ldots, b_ {n-1}]}$

Dacă B este întreg peste A , atunci:
- pentru orice $A$ -algebră $C$ , produsul tensor este întreg peste $C$ (de exemplu: B [ X ] este întreg peste A [ X ]); ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
- dacă mai $C$ este parte integrantă peste $A$ , deci este parte integrantă peste $A$ . ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
Dacă un polinom B [ X ] este integral peste A [ X ], astfel încât coeficienții de ei sunt întregi A .

Închidere și închidere completă

Din Corolarul 1 de mai sus, setul de elemente întregi ale lui $B$ peste $A$ este o sub- $A$ -algebră a lui $B$ (adică un subinel al lui $B$ stabil prin multiplicare cu $A$ ). Acest set se numește închiderea integrală a $A$ în $B$ .

Dacă $A$ este integrat , închiderea sa integrală în său domeniu de fracții se numește închiderea integrală a $A$ . În geometria algebrica, aceasta corespunde la normalizarea regimului definit de $A$ . Dacă $A$ este egal cu închiderea sa integrală, spunem că $A$ este complet închis sau normal .

Conform corolarului 2 de mai sus , închiderea integrală a lui $A$ într-o extensie a câmpului său de fracțiuni este întotdeauna complet închisă. În special :

închiderea completă a lui $A$ este complet închisă;
inelul O K de întregi ale unui câmp K este integral închisă, astfel încât închiderea integrală a unui inel de intregi algebrici se reduce la inelul de întregi din câmpul său de fracții.

Exemple

Inelul ℤ = O ℚ întreg este complet închis, inelul ℤ [ $i$ ] = O ℚ [i] al întregilor Gaussieni . De fapt, orice inel principal este complet închis.
Mai general (cf. Lema Gauss ) un inel integral cu GCD - în special un inel factorial - este complet închis (de exemplu un inel regulat , cum ar fi inelul polinoamelor R [ X 1 , ..., X n ] cu coeficienți într-un corp sau inel R ).
Inelul O ℚ ( $\sqrt d$ ) al numerelor întregi ale unui câmp pătratic ℚ ( $\sqrt d$ ) este bine cunoscut: a se vedea „ Întregul pătratic ”. De exemplu, O ℚ (√5) = ℤ [(1 + √ 5 ) / 2] și O ℚ (√ - 2) = ℤ [ $\sqrt -2$ ].
Închiderea integrală a lui t [ t 2 , t 3 ] este ℤ [ t ].
Un inel de evaluare este complet închis; o intersecție de inele de rating, de asemenea.

Demonstrație

Orice inel de evaluare este de la Bézout, deci la GCD și, a fortiori, complet închis.
O intersecție de sub-inele complet închise în K este clar complet închisă.

De fapt, un inel integral este complet închis dacă și numai dacă este o intersecție a inelelor de evaluare pentru câmpul său de fracții.

Un inel Dedekind este complet închis (prin definiție).
„Trecerea la inele de fracții face naveta către închiderea integrală: fie A un subinel al unui câmp K și fie S o parte multiplicativă a lui A care nu conține 0. Pentru ca un element al lui K să fie un număr întreg peste S - 1 a dacă și numai dacă este de forma a '/ s unde un' întreg este pe a , unde s aparține lui s . » În special:
- dacă A este complet închis, atunci și S -1 A ;
- în K , închiderea algebrică a fracțiunii de A este egal cu domeniul fracțiuni de închidere integrală a A .

Demonstrație

Dacă x este întreg peste S −1 A, atunci îndeplinește o ecuație a formei

{\ displaystyle x ^ {n} + {\ frac {a_ {n-1}} {s}} x ^ {n-1} + \ ldots + {\ frac {a_ {0}} {s}} = 0 \ {\ text {cu}} \ a_ {k} \ în A \ {\ text {și}} \ s \ în S}

Înmulțind cu s n , rezultă că sx este parte integrantă peste A . Conversația este dovedită în același mod prin repetarea acestui calcul în ordine inversă. Primul caz special se obține prin luarea K egal cu domeniul de fracțiuni A , iar al doilea luarea S egal cu multimea nenuli elemente ale A .

În teoria numerelor algebrice , de exemplu, avem nevoie frecvent de inelul S-numere întregi ale unui câmp de numere K , unde S este un set finit de numere prime. Acestea sunt elementele lui K anulate de un polinom unitar cu coeficienți în S –1 ℤ, un inel de numere raționale al cărui numitor este divizibil numai cu primele lui S (de exemplu, dacă S = {2, 3}, atunci S –1 ℤ este mulțimea fracțiilor de forma c / 2 până la 3 b ).

Legătură cu extensiile algebrice

Să A fi un domeniu integral, K domeniul său de fracții și L o extensie de K .

Dacă un element de L este întreg A , când coeficienții ei polinomului minimal peste K sunt întregi A .

Demonstrație

Dacă x este întreg peste A , există un polinom unitar Q ∈ A [ X ] care anulează x . A fortiori, x este algebric peste K , iar polinomul său minim P împarte Q în K [ X ]. Să notăm cu a , b , c , ... rădăcinile lui P (într-un câmp de descompunere ); astfel, P ( X ) = ( X - a ) ( X - b ) ( X - c ) ... Deoarece aceste rădăcini sunt și rădăcini ale lui Q , toate sunt întregi pe A ; în consecință, coeficienții lui P , care sunt polinoame în a , b , c , ... , sunt, de asemenea, numere întregi pe A (conform Corolarului 1).

Dacă L este o extensie finită a lui K și dacă B este închiderea integrală a lui A în L , una dintre următoarele două condiții este suficientă pentru ca B să fie finit pe A :
- extensia este separabilă sau
- A este o algebră integrală de tip finit peste un câmp sau un inel Dedekind cu caracteristică zero.

(Există contra-exemple în cazul general).

Aplicații la geometria algebrică

Să fie un întreg morfism. ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$

Dimensiunile Krull satisfac inegalitatea . ${\ displaystyle \ dim B \ leq \ dim A}$
Schema morfismului asociat este închisă (adică trimite o parte închisă către o parte închisă). ${\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} B \ to {\ rm {Spec}} A}$ $\ phi$
Dacă mai mult este injectiv, atunci este surjectiv. Cu alte cuvinte, pentru fiecare ideal prim al lui $A$ , există un ideal prim al lui $B$ astfel încât . Mai mult, este maxim dacă și numai dacă este maxim. În cele din urmă, avem egalitatea de dimensiuni . $\ phi$ $f$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ phi ^ {- 1} ({\ mathfrak {q}})}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle \ dim A = \ dim B}$

Note și referințe

(în) MF Atiyah și IG Macdonald , Introducere în algebra comutativă , Taylor & Francis ,1969( citiți online ) , p. 68, ex. 12.
Această ultimă caracterizare este mai puțin utilizată, dar servește, de exemplu, în studiul inelelor de evaluare discrete .
Acest argument apare în Pierre Samuel , Teoria algebrică a numerelor [ detaliul ediției ], în N. Bourbaki , Algebra comutativă , p. V.1.1, în Serge Lang , Algèbre [ detaliu ediții ]și în (en) Pierre Samuel și Oscar Zariski , Algebra comutativă , vol. 1, Springer Verlag , col. „ GTM ” ( nr . 28). Este o variantă a argumentului folosit pentru a demonstra lema lui Nakayama . Alternativ, putem invoca teorema Cayley-Hamilton pentru endomorfismul lui D : „produs de b ”.
O dovadă mai explicită folosind rezultatele este prezentată de Aviva Szpirglas , Algebra L3: Curs complet cu 400 de teste și exerciții corectate [ detaliul ediției ], cap. 10, § 4.2.2 în cazul A = ℤ dar se extinde prin genericitate la orice inel . O metodă alternativă bazată pe teorema fundamentală a polinoamelor simetrice .
Atiyah și Macdonald 1969 , p. 67-68 (ex. 8 și 9).
Henri Lombardi și Claude Left, algebră comutativă - Metode constructive - module proiective de tip finit , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. 2011) ( arXiv 1,611.02942 , prezentare on - line ) , p. 137, Lema 8.4.
Pentru calculul general al închiderii integrale a unei algebre generate de monomii , a se vedea de exemplu (în) David Eisenbud , Algebra comutativă: cu o vedere către geometria algebrică , al. „GTM” ( nr . 150)1995( citiți online ) , p. 139-140, exercițiul 4.22.
André Néron , „ Noțiuni elementare de geometrie algebrică ” , Publicații matematice din Orsay, 1964-65 .
Bourbaki AC VI § 1 n o 3.
Jean-Pierre Serre , Corpul local [ detaliile edițiilor ]p. 22.
Atiyah și Macdonald 1969 , p. 61-64.