Grup rezolvabil

În matematică , un grup rezolvabil este un grup care poate fi construit din grupuri abeliene un rezultat terminat cu extensii .

Istorie

Teoria grupurilor provine de la căutarea de soluții generale (sau lipsa acestora) pentru rădăcinile polinoame de gradul 5 sau mai mult. Conceptul unui grup rezolvabile provine dintr - un teren de grupuri de automorfisme ale polinoamelor ale căror rădăcini pot fi exprimate folosind doar un număr finit de elementare operații ( n -lea rădăcină , plus , multiplicare , etc. ).

Definiție

O grupă G este rezolvabilă atunci când există o secvență finită G 0 , G 1 , ..., G n a subgrupurilor de G astfel încât:

{\ displaystyle \ {e \} = G_ {0} \ triangleleft G_ {1} \ triangleleft \ ldots \ triangleleft G_ {n-1} \ triangleleft G_ {n} = G}

unde notația înseamnă că pentru tot i ∈ [0, n –1], G i este un subgrup normal al lui G i +1 , iar grupul coeficient G i +1 / G i este abelian ( este subgrupul trivial al lui G ) . ${\ displaystyle \ triangleleft}$ $\ {e \}$

G 0 , G 1 , ..., G n este deci un lanț normal (en) al cărui factor este abelian.

Mai G 0 , G 1 , ..., G n se spune solvabilitatii pe la G . Dacă pentru toți i ∈ [0, n –1], G i ≠ G i +1 (adică sunt subgrupuri proprii), îl numim secvența de rezolvabilitate care nu se repetă.

Un grup este rezolvabil dacă și numai dacă secvența sa derivată este staționară la { e }. Cel mai mic număr natural n astfel încât D n ( G ) = { e } este apoi numit clasa solvabilitatii de G . Un grup non- trivial G este deci rezolvabil din clasa n (≥ 1) dacă și numai dacă grupul său derivat D ( G ) este rezolvabil din clasa n - 1.

Proprietăți

Grupurile rezolvabile din clasa ≤ 1 sunt grupuri abeliene.
Orice subgrup al unui grup rezolvabil este rezolvabil.
Orice grup câtul unui grup rezolvabile (printr - un subgrup normal) este rezolvabilă (care poate fi reformulat astfel: în cazul în care există un surjectiv grup morfism unui grup rezolvabile pe G , atunci G este rezolvabilă).
Dacă H se distinge în G și este rezolvabil din clasa q și G / H este rezolvabil din clasa p , atunci G este rezolvabil din clasa mai mică sau egală cu p + q .
Un grup simplu este rezolvabil dacă și numai dacă este comutativ, care are loc dacă și numai dacă este un grup de ordin prim (deci ciclic finit ).
Un grup finit este rezolvabil dacă și numai dacă, în „secvența” lui Jordan-Hölder , fiecare grup de coeficienți este de ordinul primar (deoarece pentru un grup rezolvabil, coeficienții unei secvențe Jordan-Hölder sunt simpli și rezolvabili).
Un grup de ordine n este rezolvabil dacă și numai dacă îndeplinește următorul „reciproc” parțial al teoremei lui Lagrange : pentru orice divizor d de n astfel încât d și n / d sunt coprimă , G are un subgrup (de Hall) de ordinul d .

Exemple

Orice grup de comenzi strict mai mici de 60 este rezolvabil.
Pentru n ≥ 5, grupul alternativ A n este simplu și nu abelian, deci nu poate fi rezolvat.
Prin urmare, grupul simetric S n este soluționabil numai dacă n ≤ 4.
Toate grupurile nilpotente sunt rezolvabile.
Grupul matricilor n × n triunghiulare superioare inversabile cu coeficienți într-un inel comutativ A este rezolvabil, ca o extensie a grupului abelian ( A × ) n de către grupul nilpotent H n ( A ) .
Dacă G este un grup finit din care toate subgrupurile proprii sunt nilpotente, atunci G este rezolvabil (aceasta este teorema lui Schmidt ).

Teorema Feit-Thompson

Orice grup finit de ordin impar este rezolvabil.

Rezultă că orice grup finit simplu non-abelian este de ordinul egal și, prin urmare, conține cel puțin o involuție (adică un element de ordinul 2).

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) K. Doerk și T. Hawkes, Finite Soluble Groups , Berlin, de Gruyter, 1992
(ro) JC Lennox și DJS Robinson, Teoria grupurilor solubile infinite , Oxford University Press, 2004

Articole similare

Grupul Métabélien (în) ( adică clasa de solvabilitate 2)
Grup policiclic (en) ( adică grup rezolvabil noetherian (en) sau, care este echivalent, solubil printr-un lanț normal, toți factorii sunt ciclici)
Grup super-rezolvabil (rezolvabil printr-un lanț normal cu factori ciclici, cu G i normal nu numai în G i +1, ci în G )
Grup practic rezolvabil (un grup care are un subgrup rezolvabil de index finit)
Număr solubil (număr întreg n ≥ 1 astfel încât orice grup de ordine n să fie rezolvabil)