CW-complex

În topologia algebrică , un complex CW este un tip de spațiu topologic , definit de JHC Whitehead pentru a satisface nevoile teoriei homotopiei . Ideea a fost să se lucreze la o clasă de obiecte mai mare decât cea a complexelor simpliciale și având proprietăți mai bune din punctul de vedere al teoriei categoriilor , dar prezentând asemenea proprietăților combinatorii care se pretează la calcule .

Numele CW provine din calificativul spațiului topologic, în limba engleză : c losure-finite w eak topology , pentru „cu închidere finită” și „topologie slabă”.

Definiții

Aproximativ, un complex CW este obținut dintr-un set de celule 0, sau „vârfuri”, prin lipirea succesivă a „celulelor” închise ( imagini continue de bile euclidiene închise) de dimensiunile 1, 2, ..., de-a lungul marginilor lor .

Mai precis, o structură a complexului CW pe un spațiu X reprezintă datele unei secvențe crescânde ( X n ) de sub spații ( X n se numește n- scheletul lui X ) astfel încât:

scheletul 0 este un spațiu discret non-gol;
pentru toate n > 0, n- scheletul este homeomorf spațiului obținut prin atașarea unei familii de n- bile închise la scheletul ( n - 1), de-a lungul marginilor lor (care sunt ( n - 1) - sfere ), prin alegerea unei cereri de re-lipire;
scheletele formează o suprapunere fundamentală a lui X , adică se suprapun peste X și o parte este închisă în X dacă și numai dacă, pentru toate n , intersecția sa cu n- scheletul X n este închisă în X n (de unde și numele „ topologie slabă ”).

Arătăm că atunci:

fiecare „celulă deschisă ” (adică fiecare imagine a interiorului unei mingi închise de unul dintre lipici) este canonic homeomorfă cu bila deschisă corespunzătoare;
celulele deschise și vârfurile formează o partiție a lui X ;
X este separat ;
orice compact de X (în special orice celulă închisă) intersectează doar un număr finit de celule deschise (de unde și numele „cu închidere finită”).

N -skeleton X n este uniunea n- celule închise de dimensiuni mai mici sau egale cu n . Dacă X este redus la X n , se spune că are dimensiunea n (se spune că este de dimensiune infinită dacă nu este redus la niciunul dintre scheletele sale). Se spune că X este terminat dacă are doar un număr finit de celule.

O uniune închisă de celule X se numește subcomplex X (acesta este din nou un complex CW). N -skeleton lui X este deci subcomplex maximă de dimensiune mai mică sau egală cu n .

Definiția unui complex celular este mai generală prin aceea că permite re-legarea celulelor în orice ordine în raport cu dimensiunile, dar orice complex celular este echivalent homotopic cu un complex CW.

Exemple și contra-exemple

Structura standard complexă CW (de dimensiunea 1) pe linia reală are pentru 0-schelet setul ℤ al numerelor întregi relative și pentru 1-celule intervalele [ n , n + 1] pentru întregul n . La fel, structura standard peste ℝ n , de dimensiunea n , este rețeaua care are celule cubice produse din 0 și 1 celule ale lui ℝ.
Orice complex simplicial , în special orice poliedru sau orice grafic , este în mod natural dotat cu o structură complexă CW. ( Graficele cubice sunt, într-un sens, „generice” complexe CW unidimensionale.) Dar există complexe CW non-triunghiulare.
Cea mai simplă structură CW a n- sferei S n are două celule: o celulă 0 și o celulă n , care este suficientă pentru a descrie complexul CW. Putem construi multe altele, luând ca ( n - 1) - schelet S n - 1 (prevăzut cu una din structurile sale CW, după dorință), servind ca un ecuator, pe care lipim două emisfere: două n - celule, de-a lungul identității de cartografiere a lui S n - 1 .
Spațiul proiectiv real P n (ℝ) are o structură CW cu o celulă în fiecare dimensiune mai mică sau egală cu n : aplicația de atașare a celulei sale n la scheletul său ( n - 1) P n - 1 (ℝ ) este proiecția canonică a lui S n - 1 pe 2-coeficientul său P n - 1 (ℝ).
De Grassmannians au o structură complexă CW ale căror celule sunt indexate de simboluri Schubert .
Fiecare distribuitor diferențial și fiecare distribuitor algebric complex are tipul de homotopie al unui complex CW.
O varietate Banach de dimensiune infinită nu este niciodată un complex CW (deoarece este un spațiu Baire, deci nu poate fi scris ca o uniune numărabilă de n- sequele, fiecare dintre ele fiind un vid închis în interior), dar când este metrizabilă , are tipul de homotopie a unui complex CW.
Spațiul { r e 2πiθ | 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ ℚ} ⊂ ℝ 2 are tipul de omotopie al unui punct, dar nu are o structură complexă CW, deoarece nu este contractilă local .
Cercelul Hawaiian nici măcar nu are tipul de omotopie al unui CW-complex , deoarece nu este semi-local contractile, nici măcar semi-local , pur și simplu legate .

Proprietăți

Orice complex CW este contractil local.
Orice compact al unui complex CW X este conținut într-un subcomplex finit și X este generat compact . Este compact dacă și numai dacă este terminat.
Orice complex CW este paracompact și, prin urmare, este normal . Este chiar perfect normal .
Un complex CW este compact local dacă și numai dacă este „local finit”, adică dacă acoperirea sa de celule închise este local finită sau dacă orice celulă închisă întâlnește doar un număr finit. Celule închise sau dacă orice punct se află în interiorul unui subcomplex finit.
Un complex CW este conectat dacă și numai dacă 1-scheletul său este. În acest caz, se poate regla dacă și numai dacă este finalizat local.
Produsul X x Y două CW-complecșilor este CW construit pe complex produs cartezian al X și Y și în care fiecare celulă este produsul unei celule X printr - o celulă Y . Topologie sa este cea a produsului în categoria de spații generate compact . În general, este mai fină decât topologia produsului , dar coincide cu aceasta din urmă în cele mai frecvente cazuri: este suficient ca X sau Y să fie finite sau ca X și Y să fie numărabile și este chiar suficient ca aceste proprietăți să fie verificate local .
Orice coeficient separat de un complex CW printr-o relație de echivalență „celulară” este un complex CW (de exemplu: orice identificare a unei întâlniri de sub-complexe într-un punct, ca în con sau suspensie , sau chiar produsul smash a două complexe CW atunci când produsul lor este unul). Mai general, orice lipire X ∪ f Y un complex CW pe altul de-a lungul unei aplicații celulare este un complex CW.
Orice acoperire a unui complex CW este încă un complex CW.
Nu este suficient ca X și Y să fie complexe CW pentru ca spațiul C ( X , Y ) al mapărilor continue de la X la Y (prevăzut cu topologia compact-deschisă ) să fie unul. Dar dacă X și Y au tipul de homotopie al complexelor CW și dacă X este compact, atunci C ( X , Y ) are tipul de homotopie al complexului CW.

Omologie și cohomologie

Singular Coomologia și omologia de CW-complecși sunt ușor calculabile prin omologie de celule , care este o teorie omologică pentru categoria CW complexelor și aplicații celulare. Pentru calcularea unei (co) omologii extraordinare a unui complex CW, secvența spectrală a lui Atiyah - Hirzebruch este analogă omologiei celulare.

Exemple alese dintre complexele CW specifice menționate mai sus :

Pentru sfera S n ( n > 0), dacă alegem descompunerea într-o singură celulă 0 și o celulă n , complexul lanțurilor celulare C ✻ și omologia sa sunt date de: $H_ {k} (S ^ {n}) = C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} și {\ text {si}} k \ in \ {0, n \}, \\ 0 & {\ text {în caz contrar,}} \ end {cases}}$ întrucât toate diferențialele sunt zero.
Desigur, găsim aceeași omologie utilizând, de exemplu, descompunerea ecuatorială într-un mod recursiv , astfel cu două celule în fiecare dimensiune de la 0 la n , ceea ce oferă un complex de șiruri $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n, \\ 0 & {\ text {else}} \ end { cases}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ partial _ {k} = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}},$ exact cu excepția C 0 și C n .
Pentru spațiul proiectiv real P n (ℝ), aceeași metodă dă: $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ partial _ {k} = 1 + (- 1) ^ {k}: C_ {k} \ to C _ {{k-1}} \ quad$ prin urmare $H_ {k} (P_ {n} (\ mathbb {R})) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} k = 0 {\ text {ou si}} k = n {\ text {odd,}} \\\ mathbb {Z} _ {2} & {\ text {si}} k {\ text {odd}} \ in] 0, n [, \\ 0 & {\ text {altfel.}} \ end {cases}}$

Unele echivalențe homotopice, numite simple (en) , permit ca un complex CW X să fie înlocuit cu altul, având mai puține celule.

1-scheletul lui X este un grafic. Fie F o pădure maximă (o uniune disjunctă a copacilor ) în acest grafic. Notând x ∼ y atunci când x și y se află în același copac al acestei păduri, harta X → X / ∼ este o echivalență homotopică, deoarece copacii sunt contractili. Coeficientul X / ~ este un complex CW ale cărui celule sunt celulele X nu sunt conținute în F . În special, scheletul 1 al lui X / ∼ este o uniune disjunctă de grupuri de cercuri. De exemplu, dacă X a fost conectat, scheletul 0 al lui X / ∼ va fi redus la un punct.

Urcând scara de conectivitate , să presupunem că X este un complex CW conectat pur și simplu al cărui schelet 0 este redus la un punct. Putem găsi apoi un complex CW echivalent homotopic al cărui 1-schelet este, de asemenea, un singleton. Pentru a face acest lucru, considerăm X 1 și atașarea celor 2 celule ca o prezentare de grup și imităm transformările Tietze (adăugări și retrageri de generatori și relații, modificând o prezentare fără a schimba grupul) prin adăugări și ștergeri de celule.

Pentru a transforma o n -connected CW-complex X într - un homotopically echivalent CW-complex a cărui n schelet este un Singleton, folosim pentru n > 1 aceleași idei, înlocuind transformările Tietze pe o prezentare a grupului fundamental prin operații elementare asupra matricile care prezintă celule complexe X .

Categoria omotop (en) de ascuțite CW-complecși (sau variantele de mai jos) este un cadru adecvat pentru teoria omotopie:

spațiile care au tipul de homotopie ale unui complex CW sau ale unui complex simplicial sau ale unei retractări absolute de vecinătate sunt aceleași;
orice includere a complexelor CW este o cofibrare ;
aproximare celulară (în) : orice mapare continuă între complexele CW este homotopică cu implementarea celulei;
Teorema lui Whitehead : pentru ca o hartă continuă între complexele CW conectate să fie o echivalență homotopică , este (necesar și necesar) că morfismele pe care le induce asupra grupurilor de homotopie sunt izomorfisme ;
teorema Brown de reprezentare a (in) ofera o simpla caracterizare a functori să fie reprezentate în această categorie.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ CW complex ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) JHC Whitehead , „ Homotopie combinatorie. Eu ” , Bull. Amar. Matematica. Soc. , vol. 55,1949, p. 213-245 ( citiți online ).
(în) JHC Whitehead , „ Homotopie combinatorie. II ” , Bull. Amar. Matematica. Soc. , vol. 55,1949, p. 453-496 ( citește online ).
Michel Zisman, Topologie algebrică elementară , Armand Colin ,1972, p. 113.
(ro) Allen Hatcher , Algebraic Topology , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , citit online ) , p. 5.
Zisman 1972 , p. 114 și 119.
Hatcher 2001 , p. 519-521.
(în) J. Peter May și Kathleen Ponto Topologie algebrică mai concisă: localizare, finalizare și categorii de modele , UCP ,2011, 544 p. ( ISBN 978-0-226-51179-5 , prezentare online ) , p. 52 și 358.
(în) AT Lundell și S. Weingram , Topologia complexelor CW , Van Nostrand,1969( ISBN 978-0-442-04910-2 , citit online ) , p. 81 oferă un exemplu care este un complex CW finit de dimensiunea 3.
(în) Allen Hatcher, Vector Bundles și K-Theory ,2009( citiți online ) , p. 31-34.
(în) Richard S. Palais , " Teoria homotopiei multitudinilor dimensionale infinite " , Topologie , vol. 5,1966, p. 1-16 ( citiți online ).
(în) Bruce Hughes și Andrew Ranicki , Ends of complexes , CUP,1996, 353 p. ( ISBN 978-0-521-57625-3 , prezentare online ) , p. 81.
Zisman 1972 , p. 120.
Hatcher 2009 , p. 35.
Lundell și Weingram 1969 , p. 9 și 51-53.
(ro) Hans-Joachim Baues și Antonio Quintero, Teoria infinită a homotopiei , Springer ,2001, 296 p. ( ISBN 978-0-7923-6982-0 , prezentare online ) , p. 140.
(în) Yoshio Tanaka, „ Produsele complexelor CW ” , Proc. Amar. Matematica. Soc. , vol. 86,1982, p. 503-507 ( citiți online ).
Lundell și Weingram 1969 , p. 32, 35, 59-60 și 62.
Hatcher 2001 , p. 529.
(în) John Milnor , „ Noi spații având tipul de homotopie a unui complex CW ” , Trans. Amar. Matematica. Soc. , vol. 90,1959, p. 272-280 ( citiți online ).
JHC Whitehead, „ Tipuri simple de homotopie ” , Amer. J. Math. , vol. 72, nr . 1,Ianuarie 1950, p. 1-57 ( citiți online ).
(ro) Rudolf Fritsch (de) și Piccinini Renzo, Structuri celulare în topologie , CUP,1990, 326 p. ( ISBN 978-0-521-32784-8 , prezentare online ) , p. 226.
Lundell și Weingram 1969 , p. 68.

Vezi și tu

Articole similare

Anse (matematică)
Chirurgie (topologie)
Space Moore (ro)
Reidemeister torsion (in)
Whitehead de torsiune (în)
Turnul Postnikov

Bibliografie

(ro) Max K. Agoston , Computer Graphics and Geometric Modeling , vol. 2, Springer,2005, 959 p. ( ISBN 978-1-85233-817-6 , prezentare online ) , cap. 7 („Topologie algebrică”)
(ro) G. Burde și H. Zieschang , „Dezvoltarea conceptului de complex” , în IM James , History of Topology ,1999( citiți online ) , p. 103-110