Transformarea Tietze

În teoria grupurilor , și în special în teoria grupurilor combinatorii , transformările Tietze sunt utilizate pentru a transforma o prezentare a unui grup dat într-un altul, adesea mai simplu, din același grup . Aceste transformări poartă numele matematicianului austriac Heinrich Tietze care le-a introdus într-un articol publicat în 1908.

Principiu

O prezentare este definită în termeni de generatori și relații ; în mod formal, o prezentare este o pereche formată dintr-un set ale cărui elemente se numesc generatori și un set de cuvinte din grupul liber de pe generatoare care sunt interpretate ca relații. Transformările lui Tietze sunt alcătuite din pași elementari, fiecare dintre aceștia transformând destul de evident prezentarea destul de evident într-o prezentare a unui grup izomorf .

Pași de bază

Un pas elementar poate opera asupra generatoarelor sau asupra relațiilor. Sunt de patru tipuri.

Adăugați o relație

O relație care poate fi dedusă din relațiile existente poate fi adăugată la prezentare fără a schimba grupul. Astfel, să luăm de exemplu o prezentare a grupului ciclic de ordinul 3. Dacă înmulțim cele două laturi ale lui cu , obținem , avem deci și această relație poate fi adăugată fără a modifica grupul, ceea ce oferă prezentarea aceluiași grup. ${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {3} = 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle x ^ {3} = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ ${\ displaystyle x ^ {6} = x ^ {3} (= 1)}$ ${\ displaystyle x ^ {6} = 1}$ ${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {3} = 1, \, x ^ {6} = 1 \ rangle}$

Ștergeți o relație

Dacă o relație poate fi derivată din alte relații într-o prezentare, aceasta poate fi eliminată. Astfel, se poate elimina relația din prezentarea ; pe de altă parte, dacă eliminăm relația , avem prezentarea grupului ciclic de ordinul 6, care nu definește același grup. ${\ displaystyle x ^ {6} = 1}$ ${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {3} = 1 \, x ^ {6} = 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle x ^ {3} = 1}$ ${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {6} = 1 \ rangle}$

Adăugați generator

Pentru o prezentare dată, putem adăuga un generator care este exprimat printr-un cuvânt în generatoarele originale. Deci, începând cu și cu , avem o nouă prezentare a aceluiași grup. ${\ displaystyle G = \ langle x \ mid x ^ {3} = 1 \ rangle}$ $y = x ^ {2}$ ${\ displaystyle G = \ langle x, y \ mid x ^ {3} = 1, y = x ^ {2} \ rangle}$

Ștergeți un generator

Dacă putem găsi o relație în care unul dintre generatoare este un cuvânt în celelalte generatoare, atunci acest generator poate fi șters. Pentru aceasta, înlocuim toate aparițiile generatorului șters cu cuvântul său echivalent. Astfel, prezentarea grupului abelian elementar (en) de ordinul 4 poate fi înlocuită prin ștergere . ${\ displaystyle G = \ langle x, y, z \ mid x = yz, y ^ {2} = 1, z ^ {2} = 1, x = x ^ {- 1} \ rangle}$ ${\ displaystyle G = \ langle y, z \ mid x = yz, y ^ {2} = 1, z ^ {2} = 1, yz = (yz) ^ {- 1} \ rangle}$ $X$

Exemplu

Este

{\ displaystyle G = \ langle x, y \ mid x ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, (xy) ^ {2} = 1 \ rangle}

o prezentare a grupului simetric de ordinul 3. Generatorul corespunde permutării (1,2,3) și (2,3). Prin transformările lui Tietze, această prezentare poate fi convertită în $X$ $y$

{\ displaystyle G = \ langle y, z \ mid (zy) ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, z ^ {2} = 1 \ rangle}

unde este (1,2). Iată etapele transformării: $z$

${\ displaystyle G = \ langle x, y \ mid x ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, (xy) ^ {2} = 1 \ rangle}$	începe prezentarea
${\ displaystyle G = \ langle x, y, z \ mid x ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, (xy) ^ {2} = 1, z = xy \ rangle}$	regula 3: adăugați generatorul z
${\ displaystyle G = \ langle x, y, z \ mid x ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, (xy) ^ {2} = 1, x = zy \ rangle \ quad}$	regulile 1 și 2: adăugarea și ștergerea ${\ displaystyle x = zy}$ ${\ displaystyle z = xy}$
${\ displaystyle G = \ langle y, z \ mid (zy) ^ {3} = 1, y ^ {2} = 1, z ^ {2} = 1 \ rangle}$	regula 4: ștergeți $X$

Note și referințe

Tietze 1908 .

Articole similare

Prelucrarea Nielsen (în)
Conjectura Andrews-Curtis

Bibliografie

Roger C. Lyndon și Paul E. Schupp , Teoria grupului combinator , Springer,2001, 339 p. ( ISBN 3-540-41158-5 , citit online ).
Heinrich Tietze , „ Über die topologische Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten ”, Monatshefte für Mathematik und Physik , vol. 19,1908, p. 1-118.