Topologie algebrică
Topologie algebrică , denumita anterior topologie combinatorice este ramura matematicii care aplică instrumentele de algebra în studiul spatiilor topologice . Mai degrabă, ea caută să se asocieze atât în mod natural invariante algebrice a structurilor topologice asociate. Înseamnă naturalitate că aceste invarianți verifica proprietățile functoriality în sensul teoriei categoriilor .
Invarianți algebrici
Ideea fundamentală este de a putea asocia obiecte algebrice ( număr , grup , spațiu vectorial etc.) cu orice spațiu topologic , astfel încât două spații homeomorfe sunt asociate cu două structuri izomorfe și, mai general, decât cu o hartă continuă între două spații. este asociat un morfism între două structuri algebrice. Astfel de obiecte se numesc invarianți algebrici. Folosind terminologia teoriei categoriilor, se urmărește studierea functorilor din categoria spațiilor topologice pe o categorie algebrică, cum ar fi categoriile de grupuri, algebre, grupoizi etc. Rezultatele topologiei trec apoi prin demonstrația mai accesibilă a proprietăților algebrice.
Unii invarianți notabili includ:
- Grupul fundamental al unui spațiu topologic X într-un punct x : ansamblul claselor de homotopie a buclelor lui X cu baza x , legea compoziției interne fiind concatenarea buclelor;
- Grupurile de homotopie superioare ale unui spațiu topologic X într-un punct x ;
- Grupurile de omologie sau cohomologie ale unui spațiu topologic X ;
- Cele mai caracteristice clase ale unui pachet vectorial real, complex, euclidiană sau Hermitian.
- Punct fix Teorema Brouwer : orice aplicație continuă o pasă închisă de la sine admite un punct fix .
- Păros Teorema mingii : orice domeniu continuă a vectorilor tangente la o sferă de dimensiune , chiar este anulat cel puțin la un moment dat; ca rezultat, un tokamak nu poate avea o geometrie sferică.
- Borsuk-Ulam Teorema : pentru orice aplicație continuă a sferei S n în , există o pereche de puncte diametral opuse care au aceeași valoare prin această hartă. De exemplu, în orice moment, există două puncte diametral opuse pe suprafața Pământului cu aceeași temperatură și aceeași presiune.
Topologi algebrici notabili
- Frank Adams
- Enrico Betti
- Armand Borel
- Karol Borsuk
- Luitzen Egbertus Jan Brouwer
- William browder
- Ronald Brown
- Henri cartan
- Albrecht Dold
- Charles Ehresmann
- Samuel Eilenberg
- Hans Freudenthal
- Peter Freyd
- Pierre Gabriel
- Alexander Grothendieck
- Kathryn Hess
- Friedrich Hirzebruch
- Heinz hopf
- Michael J. Hopkins
- Witold Hurewicz
- André Joyal
- Egbert van kampen
- Daniel Kan (ro)
- Hermann Künneth
- Jean Lannes
- Solomon Lefschetz
- Jean Leray
- Saunders Mac Lane
- J. Peter May
- Barry mazur
- John Milnor
- John Coleman Moore
- Emmy noether
- Serghei Novikov
- Grigory Perelman
- Henri Poincaré
- Lev Pontriaguine
- Mihail Postnikov
- Daniel Quillen
- Jean-Pierre Serre
- Stephen Smale
- Edwin Spanier
- Norman Steenrod
- Dennis sullivan
- René Thom
- Hiroshi Toda (ro)
- Leopold Vietoris
- JHC Whitehead
- Hassler Whitney
- Teorema aproximării celulare (în)
- Teorema lui Borsuk-Ulam
- Teorema punctului fix al lui Brouwer
- Teorema coeficientului universal
- Teorema Eilenberg-Zilber
- Teorema suspendării lui Freudenthal
- Teorema lui Hurewicz
- Teorema lui Künneth
- Teorema dualității Poincaré
- Teorema lui Van Kampen
- Teorema lui Whitehead
- Teorema punctului fix Lefschetz
Bibliografie
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Algebraic topology ” ( vezi lista autorilor ) .- N. Bourbaki, Topologie algebrică, capitolele 1-4 . Springer, 2016.
- Daniel Tanré, Yves Félix, Topologie algebrică , Dunod, 2010
- Claude Morlet, „Topologie algebrică”, Dicționar de matematică - fundamente, probabilități, aplicații , Encyclopædia Universalis și Albin Michel, Paris 1998.
- Jean-Claude Pont, LA TOPOLOGIE ALGEBRIQUE des origines à Poincaré , PUF, Paris, 1974.
- L .S. Pontryagin , Foundations of Combinatorial Topology , Graylock Press, Rochester, NY, 1952; prima ediție rusă în 1947.
- André Weil , Număr de soluții de ecuații în câmpuri finite , Bull. Amar. Matematica. Soc. , Volumul 55, Numărul 5 (1949), 497-508.
Note și referințe
- „Algebra intră astfel în posesia topologiei combinatorii. Aceasta explică de ce expresia topologie combinatorie a fost înlocuită, în jurul anului 1940, cu denumirea de topologie algebrică, mai potrivită metodelor acestei științe. », Jean-Claude Pont, p.2; vezi și titlul și cuprinsul cărții de Lev Pontriaguine și, în cele din urmă, André Weil, în articolul său citat în bibliografie (p. 506), scrie: „Atunci se constată că polinomul Poincaré (în sensul topologiei combinatorii) ) a soiului ... "