În matematică , mai ales în algebra omologică , o secvență exactă este o secvență (finită sau infinită) de obiecte și morfisme între aceste obiecte, astfel încât imaginea unuia este egală cu nucleul următorului.
În contextul teoriei grupurilor , spunem că secvența (finită sau infinită) grupuri și grupuri de morfisme
este exact dacă pentru toate numerele naturale n avem . În cele de mai sus, sunt grupuri de morfisme cu .
În cele ce urmează, 0 denotă grupul trivial , care este obiectul nul din categoria grupurilor .
De asemenea, putem, la fel ca aceste secvențe exacte infinite din dreapta, să definim secvențele exacte infinite din stânga (indexate de exemplu cu –ℕ) sau infinite pe ambele părți (indexate cu ℤ).
De asemenea, este posibil să se definească secvențe exacte pentru alte structuri și morfisme ale acestor structuri, de exemplu secvențe exacte de inele , algebre etc.
Unul dintre cazurile importante ale unei secvențe exacte este cel al unei secvențe exacte scurte, adică a unei secvențe exacte a formei
În teoria grupurilor, o scurtă secvență exactă este uneori numită o extensie a grupurilor .
Pentru o scurtă succesiune exactă ca mai sus:
În categoria grupurilor sau modulelor abeliene pe un inel și mai general în orice categorie abeliană , existența acestor trei diviziuni este echivalentă și se spune că secvența scurtă exactă este divizată.
În grupurile de categorii (non-abeliene), această echivalență nu are loc: un grup de extensie este împărțit la dreapta dacă și numai dacă este un produs semi-direct și se împarte la stânga dacă și numai dacă este un produs direct .
De exemplu , pentru n > 2, dacă ι denotă includerea grupării alternativ A n în grupul simetric S n și £ semnătura , secvența scurtă
este corectă și împărțită la dreapta (de exemplu, morfismul grupului care trimite -1 pe orice transpunere S n este o secțiune ε ) dar nu este lăsat (orice subgrup de ordinul 2 S n n 'este normal ).
În contextul teoriei grupurilor, să fie grupuri și morfisme ale grupurilor. Spunem că restul
este un complex de lanț dacă pentru toate n , avem , cu alte cuvinte . În special, orice secvență exactă este un complex diferențial. De asemenea, putem lua în considerare secvențe exacte de module, inele, spații vectoriale etc.
Omologia unui complex diferențial este măsura lipsei de acuratețe a acestuia. Mai precis, al n- lea grup de omologie al este definit ca fiind grupul coeficient . Următorul este exact dacă toate grupurile sale de omologie sunt banale.
Omologia este utilă în topologie și geometrie : putem asocia un complex diferențial cu orice spațiu topologic sau orice colector diferențial . Complexul asociat cu un spațiu topologic este un invariant topologic al spațiului, adică două spații homeomorfe au același complex diferențial asociat. În special, două spații topologice cu grupuri de omologie diferite nu sunt homeomorfe.
Rezoluție (algebră) (ro)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">