În matematică , în mod specific în topologie și topologie algebrică , o acoperire a unui spațiu topologic B printr - un spațiu topologic E este aplicarea continuă și surjectivă p : E → B astfel încât orice punct B aparține unui deschis U ca imaginea reciprocă a U de p este o uniune disjunctă a deschiderilor lui E , fiecare homeomorfă la U de p .
Prin urmare, este un pachet de fibre discrete . Acoperirile joacă un rol în calcularea grupului fundamental și a grupurilor de homotopie ale unui spațiu. Un rezultat al teoriei acoperirilor este că , în cazul în care B este calea de conectat și la nivel local , pur și simplu conectat , există o corespondență între una de acoperire aferente Arcs B , până la izomorfism și subgrupuri ale grupului fundamental al B .
Fie X și B două spații topologice.
Un homeomorfism local este o hartă π : X → B , numită proiecție , astfel încât pentru orice punct x al X , există un U deschis de X care conține x și un V deschis de B astfel încât restricția lui π la U este un homeomorfism pe V .
Un spațiu X cu un homeomorphism locale π : X → B se spune că a răspândit peste B . Spațiul de sosire B al proiecției se numește baza homeomorfismului local.
Pentru orice punct b ∈ B , numită fibră de X deasupra punctului b și este notat X ( b ) sub-space tt -1 ( b ) ⊂ X .
Numita secțiune (continuă) a π , sau X , deasupra B , o aplicație continuă σ : B → X astfel încât π ∘ σ = Id B .
O acoperire a unui spațiu topologic B este un spațiu X , dotat cu un homeomorfism local π : X → B surjectiv , astfel încât pentru orice punct b al lui B , există un V deschis conținând b , un spațiu discret F și un homeomorfism Φ: π −1 ( V ) → V × F care face naveta cu proiecțiile de pe spațiul B , adică dacă Φ ( x ) = ( c , f ) atunci π ( x ) = c .
Cu alte cuvinte: o acoperire este un pachet de fibre discrete, cu observația că, dacă baza B nu este conectată, fibra F depinde de punctul de bază b și este identificată cu fibra π −1 ( b ).
Mai simplu: π : X → B este o acoperire dacă orice punct B aparține unui deschis V ca π -1 ( V ) este o uniune disjuns de aplicat deschis homéomorphiquement de π pe V .
Teorema : Fie n un întreg natural diferit de zero, X un spațiu separat și π : X → B un homeomorfism local în care toate fibrele au n elemente, atunci π este o acoperire.Dacă F este un spațiu discret, aplicația definește un strat peste B . Mai general, se spune că o acoperire este banală dacă putem lua V = B în definiție, adică dacă există un spațiu discret F și un homeomorfism care face naveta cu proiecțiile de pe spațiul B , adică dacă , atunci . Un homeomorfism este un exemplu de acoperire banală.
Fie S 1 cercul din planul ℝ 2 = ℂ. Linia reală ℝ este apoi o acoperire a lui S 1 definită de aplicație:
Fiecare fibra este aici numărabilă infinit : .
Construcția este generalizată la acoperirea exponențială a torului:
Fiber este numărabil: .
Aplicația p a planului complex privat de origine ℂ *
definește o acoperire.Fiecare fibră este aici finită și are n elemente.
Aplicarea planului complex ℂ
definește o acoperire.Fiecare fibra este aici numărabilă infinit: .
Cilindrul (sau inel) este o acoperire cu două straturi a benzii Möbius.
Banda Möbius este o varietate topologică neorientabilă, în timp ce acoperirea sa este orientabilă. Este mai general arătat că orice colector înrudit neorientabil are o acoperire orientabilă cu două foi. Acesta este în special cazul planului proiectiv a cărui acoperire este o sferă (a se vedea mai jos) și a sticlei Klein a cărei acoperire este torul .
Pentru n > 1, harta canonică este o acoperire a spațiului proiectiv (real); fibra are doua elemente.
În cazul planului proiectiv , a cărui reprezentare în ℝ 3 este dată de suprafața Boy , este posibilă transformarea sferei prin imersiune într-o acoperire cu două straturi a acestei suprafețe Boy. Dacă traversăm aceste două foi, vom trece la inversarea sferei .
Procedăm în același mod pentru inversarea torului , după ce l-am făcut să coincidă într-un strat cu două foi de sticlă de Klein .
Fie X , Y și Z trei spații topologice și și două morfisme (hărți continue). Numim un produs din fibre de X și Y peste Z , un spațiu topologic, notat și o pereche de morfisme și , astfel încât pentru orice spațiu topologic A și orice pereche de morfisme și satisfăcătoare , există un morfism astfel încât și .
Fie Γ un grup discret care funcționează corect și liber pe un spațiu compact local E , proiecția E → E / Γ definește o acoperire de fibră Γ.
În special dacă Γ este un subgrup discret al unui grup topologic G , proiecția G → G / Γ este o acoperire de fibră Γ.
Un morfism al acoperirilor de deasupra lui B este o hartă continuă (unde X și X ' sunt acoperiri) care comută cu proiecțiile și , adică, astfel încât:
. Aplicația de identitate Id X este un morfism al acoperirilor. Compusul a două morfisme de acoperire este un morfism.Prin urmare, acoperirile de bază B cu morfismele lor formează o categorie .
Teorema - Orice acoperire a unui interval compact de ℝ este banală.
Mai general :
Teorema - Orice acoperire a unui spațiu conectat simplu și conectat local este banală.
Teoremă - Orice pachet de pe un complex CW contractil este banal.
Propoziție - Fie ( X , π ) o acoperire a lui B , b un punct al lui B și x ∈ X ( b ). Pentru orice cale f în B de origine b , există o cale și doar o g în X de origine x astfel încât f = π ∘ g .
Un caz special comun este dat de acoperirea unității de cerc B în planul complex de linia reală X . Rezultatul precedent este numit apoi teorema ridicării .
Grupul fundamental al bazei, π 1 ( B , b ) , operează printr-o acțiune de grup în dreapta pe fibra X ( b ) = π −1 ( b ) , într-un mod compatibil cu acțiunea din stânga grup de automorfisme ale acoperirii.
Fie Z un spațiu conectat prin arcuri și conectat local prin arcuri , f : ( Z , z ) → ( B , b ) o hartă continuă și x ∈ X ( b ). O condiție necesară și suficientă pentru ca f să aibă un rulment g : ( Z , z ) → ( X , x ) este că morfismele induse, f # : π 1 ( Z , z ) → π 1 ( B , b ) și π # : π 1 ( X , x ) → π 1 ( B , b ), verificați:
În plus, lagărul g este atunci unic.
O acoperire se spune că este Galois (sau regulată sau normală ) dacă este conectată prin arcuri și grupul de automorfisme acționează tranzitiv asupra fibrei fiecărui punct. Se spune că este abelian dacă, în plus, grupul este abelian .
O acoperire universală a unui spațiu B este o acoperire Galois E astfel încât, pentru orice acoperire D a lui B , există un morfism de la E la D.
Două acoperiri universale sunt izomorfe și orice acoperire a unui strat universal este banală .Teorema - Orice acoperire pur și simplu legată este o acoperire universală.
Teoremă - Un spațiu ( conectat prin arcuri ) admite o acoperire pur și simplu conectată dacă și numai dacă este semilocal conectată simplu .
În special orice grafic, orice varietate topologică admite o acoperire pur și simplu conectată.
Dacă B este conectat prin arc, atunci avem un izomorfism între grupurile de homotopie , consecință a secvenței lungi exacte a unei fibrări :
.De exemplu, linia reală ℝ este o acoperire a lui S 1 prin urmare .
Teorema Nielsen-Schreier - Orice subgrup al unui grup liber este un grup liber.