Extensie ciclotomică

Acest articol este o schiță referitoare la algebră .

Vă puteți împărtăși cunoștințele îmbunătățindu-le ( cum? ) Conform recomandărilor proiectelor corespunzătoare .

În teoria numerelor algebrice , numim extensie ciclotomică a câmpului ℚ al numerelor raționale orice câmp de rupere al unui polinom ciclotomic , adică orice câmp de forma ℚ (ζ) unde ζ este o rădăcină a unității .

Aceste câmpuri joacă un rol crucial, pe de o parte, în înțelegerea anumitor ecuații diofantine : de exemplu, aritmetica ( grupul de clase , în special) a inelului lor de numere întregi face posibilă arătarea ultimei teoreme a lui Fermat în multe cazuri (vezi număr prim regulat ); dar, de asemenea, în înțelegerea extensiilor algebrice ale lui ℚ, care poate fi considerată o versiune abstractă a problemei anterioare: teorema Kronecker-Weber , de exemplu, asigură că orice extensie abeliană este conținută într-o extensie ciclotomică. În cele din urmă, teoria lui Iwasawa face posibilă studierea acestor extensii ciclotomice, nu le mai consideră separat, ci ca familii coerente.

Extensiile ciclotomice pot fi definite și pentru alte corpuri:

pentru câmpurile finite , teoria este în esență completă;
pentru câmpurile locale cu caracteristica 0, este mai bine înțeles decât pentru cazul global;
pentru corpurile de funcții ...

Primele proprietăți

Să n denotă ordinea de ζ, adică să spunem că ζ este o nth rădăcină primitivă de unitate, sau chiar o rădăcină a cyclotomic polinomul Φ n .

Dacă n împarte m , al n -lea câmp ciclotomic ℚ (ζ) este un subcâmp al m -al.
Extensia ℚ (ζ) / ℚ este de φ grade ( n ), unde φ reprezintă funcția indicator Euler .
Extensia ciclotomică este și câmpul de descompunere al polinomului Φ n . Prin urmare, ea este Galois .
Aceasta înseamnă că cel mai mic câmp care conține o rădăcină a polinomului conține, de asemenea, toate rădăcinile polinomului. A spune că acest câmp este o extensie Galois înseamnă două lucruri: pe de o parte, polinoamele minime ale acestui câmp nu au rădăcini multiple (ceea ce este întotdeauna adevărat pentru extensiile cu numere raționale); iar pe de altă parte, toate morfismele acestui corp în număr complex au ca imagine corpul însuși. Prin urmare, acestea sunt automorfisme .
Această extensie este abeliană . Într-adevăr, grupul său Galois ( grupul automorfismelor sale) este abelian , deoarece izomorf la (ℤ / n ℤ) × .

Demonstrații

Extensia ciclotomică este și corpul de descompunere al polinomului. Prin urmare, ea este Galois.

Extensia conține ζ și, prin urmare, toate puterile sale, dar puterile lui ζ formează setul de n - rădăcini ale unității și, prin urmare, în special rădăcinile primitive care sunt rădăcinile polinomului ciclotomic. Aceasta demonstrează că ℚ (ζ) este câmpul de descompunere. Într-un câmp perfect ca cel al numerelor raționale (un câmp perfect este un câmp în care toate polinoamele ireductibile sunt separabile, adică nu au mai multe rădăcini în închiderea algebrică ), un câmp de descompunere este întotdeauna o extensie a lui Galois.

Extensia ciclotomică este abeliană.

Fie d un număr întreg mai mic decât n și prim la n . Atunci ζ d este o rădăcină a polinomului ciclotomic deci există un (evident unic) ℚ-automorfism m d al câmpului de descompunere ℚ (ζ) care trimite ζ pe ζ d . Să luăm apoi în considerare aplicarea grupului multiplicativ al elementelor inversabile ale lui ℤ / n ℤ în grupul Galois care, la clasa lui d asociază automorfismul m d . Această hartă este în mod clar un izomorfism al grupurilor. Acest izomorfism arată că grupul Galois este abelian, ceea ce pune capăt dovezii.

Conform teoremei lui Gauss-Wantzel , această extensie se descompune într-un turn de extensii pătratice dacă și numai dacă n este de forma: $n = 2 ^ {k} \ prod _ {i} F_ {i},$ unde F i sunt primi Fermat distincti (un număr prim se spune că este Fermat dacă este de forma 2 (2 k ) + 1 pentru un număr întreg k ).
Cu toate acestea, un punct este construibil dacă și numai dacă extensia asociată verifică această proprietate. Prin urmare, această teoremă oferă teoretic lista numerelor întregi n pentru care poligonul regulat cu n vârfuri este construibil și face posibilă, pentru valori „mici” ale lui n , să se determine dacă n aparține sau nu acestei liste. (Numerele prime Fermat cunoscute sunt 3, 5, 17, 257 și 65.537.)
Inelul de întregi ale câmpului ℚ (ζ) este ℤ inelul [ζ]
Un număr prim p este ramificat în ℚ (ζ n ) dacă și numai dacă împarte n , cu excepția cazului p = 2 = (4, n ); un număr prim p ≠ 2 este complet descompus în ℚ (ζ n ) dacă și numai dacă p ≡ 1 mod n .
Discriminantul câmpului ℚ (ζ) (sau al polinomului Φ n ) este: unde φ este indicatrix Euler . $(-1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ prod _ {{p {\ text {first}} \ atop {\ text {dividing}} n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}$
Câmpul ℚ (ζ) are multiplicare complexă : este un câmp total imaginar, extensie pătratică a câmpului total real ℚ (ζ + ζ −1 ).
Când n = p prima impară, câmpul ℚ (ζ) conține câmpul pătratic ℚ ( $\sqrt (-1) ( p -1) / 2 p$ ). De exemplu, pentru p = 5, ℚ (ζ) conține ℚ ( √ 5 ), iar pentru p = 3, ℚ (ζ) conține ℚ ( $\sqrt -3$ ).
Câmpurile pătratice ℚ ( √ 2 ) și ℚ ( $\sqrt -2$ ) sunt conținute în ℚ (ζ) pentru n = 8.

Câteva întrebări aritmetice

Considerăm câmpul ℚ (ζ p ), pentru p un număr prim. Apoi, putem arăta că ecuația x p + y p = z p nu admite o soluție întreagă non-trivială ( x , y , z ) cu xyz prim la p , sub ipoteza că p nu împarte numărul de clase din ℚ (ζ p ). Un astfel de număr prim se numește număr prim regulat . Acesta este adesea numit primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat și a fost studiat de Ernst Kummer . Kummer are în special un criteriu referitor la numerele lui Bernoulli pentru a determina dacă un număr prim este regulat. În prezent se știe că o infinitate de numere prime nu sunt regulate: pe de altă parte, nu știm dacă există o infinitate de numere regulate.

Mai precis, ne putem întreba pentru ce valori ale n inelului ℤ [ζ n ] este principală , adică numărul de clase este 1. Acest lucru se știe: singurele numere n astfel încât ℤ [ζ n ] este principal (sau, ceea ce este echivalent aici : factorial ), sunt: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25 , 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, precum și la dublu de impar n acestei liste de atunci, ℚ (ζ 2 n ) = ℚ (ζ n ).

Acțiunea conjugării complexe

Faptul că câmpul este CM face posibil ca Gal (ℚ (ζ p ) / ℚ (ζ p + ζ p −1 )) ≃ ℤ / 2ℤ să acționeze asupra diferitelor obiecte aritmetice legate de ℚ (ζ p ). În special, acest lucru permite (vezi reprezentarea grupurilor ) să definească două părți în numărul de clase: partea + și partea -. Vandiver ghici apoi afirmă: „Pentru orice prim p , p nu împarte partidul + numărul de clase.“ În special, un număr prim regulat satisface conjectura lui Vandiver. Sub această ipoteză și o ipoteză suplimentară asupra unităților subcâmpului real ℚ (ζ p + ζ p −1 ), putem arăta al doilea caz al teoremei lui Fermat: x p + y p = z p nu admite non- soluții întregi triviale astfel încât p nu divide xy și p divide z .

Conjectura lui Vandiver este încă o presupunere în acest moment . A fost verificată numeric pentru p <2 27 = 134 217 728.

Extensii ciclotomice infinite

Pentru fiecare câmp numeric și fiecare număr prim p , poate fi considerat un turn infinit de extensie: extensia ciclotomică ℤ p . Dacă este impar, ℤ p extensia -cyclotomic a ℚ este turnul de extensii definite prin corespondenta Galois ca sub-extensie fixată de subgrupul izomorf ℤ / ( p - 1) ℤ Gal (ℚ (ζ p n ) / ℚ) ≃ ℤ / ( p –1) ℤ × ℤ / p n –1 ℤ. Câmpul este astfel o extensie Galois a lui ℚ și chiar ciclică de ordinul p n ; prin definiția limitei proiective , uniunea lui este apoi Galois pe ℚ din grupul Galois ℤ p , de unde și numele. $p$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$

Extensia ℤ p- ciclotomică a oricărui câmp numeric se obține prin compozit cu acesta.

Note și referințe

(în) Jürgen Neukirch , Teoria numerelor algebrice [ ediții cu amănuntul ], corn. 10.4, p. 63 .
(în) Lawrence C. Washington (de) , Introducere în câmpurile ciclotomice [ ediții cu amănuntul ], cap. 11 .
(în) David Harvey, „ Verificarea la scară largă a conjecturii lui Vandiver ” ,decembrie 2008( Seminarul teoriei numerelor MIT ).

Vezi și tu

Articol asociat

Teorema lui Stickelberger

Link extern

André Weil , „ Ciclotomia trecutului și trecutului ”, Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452, 1973-1974 ( citește online )