În matematică , teoria funcțiilor L a devenit o ramură foarte substanțială, și încă în mare parte conjecturală , a teoriei numerelor analitice contemporane. Construim generalizări mari ale funcției zeta Riemann și chiar serie L pentru un caracter Dirichlet și enunțăm sistematic proprietățile lor generale, care în majoritatea cazurilor sunt încă dincolo de sfera unei dovezi.
Pentru început, trebuie să distingem seria L (de exemplu seria Dirichlet pentru funcția zeta Riemann) și funcția L , funcția care este extensia sa analitică la planul complex. Construcțiile generale încep cu o serie L, definită mai întâi ca o serie Dirichlet , apoi dezvoltată într-un produs eulerian , indexat prin numere prime. Sunt necesare estimări pentru a arăta că aceasta converge într-o jumătate dreaptă a planului complex.
Apoi are sens să conjecturăm o prelungire meromorfă în planul complex, pe care o vom numi funcție L. În cazurile clasice, știm că informațiile utile sunt conținute în valori și comportamentul funcției L în punctele în care seria divergă. Termenul general funcție L include multe tipuri cunoscute de funcții zeta. Clasei Selberg este o încercare de a axiomatizing proprietățile esențiale ale L-funcții și să încurajeze studiul comun proprietăți pentru toate aceste funcții în locul fiecărei izolare funcția L.
Putem enumera caracteristicile exemplelor cunoscute de funcții L pe care am dori să le vedem generalizate:
Lucrări detaliate au produs un corp mare de conjecturi plauzibile, de exemplu despre tipul exact de ecuație funcțională care ar trebui verificat. Deoarece funcția zeta Riemann este legată, prin valorile sale de numere întregi negative pozitive și impare, cu numerele Bernoulli , căutăm o generalizare adecvată a acestui fenomen. La această întrebare, s-au obținut rezultate pentru așa-numitele funcții L p -adic (en) , care descriu anumite moduli Galois .
Unul dintre cele mai influente exemple, atât pentru istoria celor mai generale funcții L, cât și ca o problemă de cercetare încă deschisă, este conjectura dezvoltată de Bryan Birch și Peter Swinnerton-Dyer la începutul anilor 1960. curba eliptică E și problema încearcă să rezolve este predicția rangului unei curbe eliptice pe setul de numere raționale, adică numărul de generatori liberi ai grupului său de puncte raționale. Multe lucrări anterioare în acest domeniu au început să se unească în jurul unei mai bune înțelegeri a funcțiilor L. Aceasta a jucat rolul unui exemplu paradigmatic în teoria emergentă a funcțiilor L.
Această dezvoltare a precedat programul Langlands cu câțiva ani și poate fi văzută ca fiind complementară: munca lui Langlands este în mare parte legată de funcțiile L ale lui Artin , care, ca și Hecke , au fost definite cu zeci de ani mai devreme.
Treptat, a devenit mai clar în ce mod s-ar putea face lucrarea de construcție Hasse-Weil pentru a obține funcții L valabile: în sens analitic; datele de pornire trebuiau să provină din analize, mai exact din analize automorfe . Cazul general unifică acum multe programe de cercetare diferite la nivel conceptual.
Câteva linkuri pentru a merge mai departe:
Valorile speciale ale funcțiilor L (en)