Operator de unitate

În analiza funcțională , un operator de unitate este un operator liniar U al unui spațiu Hilbert astfel încât

U * U = UU * = I

unde U * este asistentul lui U , iar eu operatorul de identitate . Această proprietate este echivalentă cu:

U este o aplicație densă de imagine și
U păstrează produsul punct ⟨,⟩. Cu alte cuvinte, pentru toți vectorii x și y ale spațiului Hilbert, ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ (ceea ce implică faptul că U este liniar ).

Conform identității de polarizare , putem înlocui „ U păstrează produsul scalar” cu „ U păstrează norma”, deci cu „ U este o izometrie care fixează 0”.

Faptul că U este o izometrie asigură faptul că este injectivă și că imaginea sa este completă și deci închisă (prin densitate) că U este surjectiv .

Reciprocă bijectie U -1 = U * este , de asemenea , un operator de unitate.

În consecință, operatorii unitari apar ca izomorfisme ale spațiului Hilbert, adică își păstrează structura algebrică și metrică .

Exemple

Funcția de identitate este, într-un mod banal, un operator unitar.
În spațiul vectorial C al numerelor complexe , înmulțirea cu un număr complex de modul 1 (adică un număr de forma e i θ pentru θ ∈ R ) este un operator de unitate. Valoarea lui θ modulo 2π nu afectează rezultatul înmulțirii și, prin urmare, operatorii de unitate ai lui C sunt parametrați de un cerc. Corespunzătoare grupului , din care setul este cercul unitate , este notat cu U (1).
Mai general, matricile unitare sunt foarte exact operatorii unitari pentru spațiile Hilbert de dimensiune finită; în consecință, conceptul de operator unitar este o generalizare a conceptului de matrice unitară. Cele Matricele ortogonale sunt un caz special de matrice unitare, pentru care toți coeficienții sunt reale. Sunt operatorii unitari ai lui R n .
Operatorul Fourier (adică operatorul care efectuează o transformare Fourier ) este un operator de unitate (cu normalizare adecvată). Aceasta este o consecință a teoremei lui Parseval .

Spectrul unei unități de operator de inclus în cercul unitate. Cu alte cuvinte, pentru orice număr complex λ al spectrului, | λ | = 1. Aceasta este o consecință a teoremei spectrale pentru operatorii normali .