Teorema Ehrenfest

Ehrenfest Teorema , numit după fizicianul Paul Ehrenfest conectează derivata din valoarea medie a unui operator de cuantic pentru a comuta la operatorul cu hamiltonianul sistemului. Această teoremă se referă în special la toate sistemele de verificare a principiului corespondenței . H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

Teorema

Teorema lui Ehrenfest afirmă că derivata în timp a valorii medii a unui operator (unde operatorul care returnează derivata în timp a observabilului în cauză) este dată de: LA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

d⟨LA^⟩dt=⟨∂LA^∂t⟩+1euℏ⟨[LA^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ partial {\ hat {A}}} {\ partial t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}

unde este orice operator cuantic și valoarea sa medie. LA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}⟨LA^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle}

Dependența temporală a operatorului și nu a funcției de undă este caracteristică reprezentării Heisenberg a mecanicii cuantice. Găsim o relație analogă în mecanica clasică: derivata temporală a unei funcții definite pe spațiul de fază care implică apoi parantezele Poisson în locul unui comutator: f(q,p,t){\ displaystyle f (q, p, t)}

dfdt=∂f∂t+{f,H}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ left \ {f, H \ right \} }

(dovada rezultă direct din ecuațiile canonice ale lui Hamilton )

În general, pentru sistemele cuantice care posedă un analog clasic, această inversare între comutatoare și paranteze Poisson poate fi acceptată ca lege empirică. (vezi principiul corespondenței ).

Dovada teoremei

Fie A o mărime fizică reprezentată de operatorul autoadjunct . Definim valoarea sa medie prin: LA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

⟨LA^⟩=⟨ψ(t)|LA^|ψ(t)⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

Obținem această egalitate în ceea ce privește timpul:

d⟨LA^⟩dt=d⟨ψ(t)|dt|LA^|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|∂LA^∂t|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|LA^|d|ψ(t)⟩dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi ( t) \ right |} {\ mathrm {d} t}} | {\ hat {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle + \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ frac {\ partial {\ hat {A}}} {\ partial t}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle + \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {A}} | {\ frac {\ mathrm {d} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle} {\ mathrm {d} t}}}

Folosim ecuația Schrödinger și conjugatul său:

+euℏd|ψ(t)⟩dt=H^|ψ(t)⟩{\ displaystyle + i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {H}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

și

-euℏd⟨ψ(t)|dt=⟨ψ(t)|H^{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi (t) \ right |} {\ mathrm {d} t}} = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {H}}}

Înlocuind în ecuația anterioară, obținem:

d⟨LA^⟩dt=⟨∂LA^∂t⟩+1euℏ⟨ψ(t)|LA^H^|ψ(t)⟩-1euℏ⟨ψ(t)|H^LA^|ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ partial {\ hat {A}}} {\ partial t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {A}} {\ hat {H}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hat {H}} {\ hat {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

Cu , în sfârșit obținem [LA^,H^]=LA^H^-H^LA^{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] = {\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A}} }

d⟨LA^⟩dt=⟨∂LA^∂t⟩+1euℏ⟨[LA^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ partial {\ hat {A}}} {\ partial t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}  

Relații Ehrenfest

Pentru sistemele cuantice cu un analog clasic, teorema lui Ehrenfest aplicată operatorilor de poziție și impuls oferă:

ddt⟨X^⟩=1m⟨p^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle} ddt⟨p^⟩=⟨F⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle F \ rangle}

Aici recunoaștem ecuațiile canonice ale lui Hamilton aplicate mărimilor medii. Este suficient să diferențiem prima în raport cu timpul pentru a găsi a doua lege a lui Newton .

Demonstrarea acestor relații

Pentru o particulă într-un câmp potențial arbitrar, funcția Hamilton considerată ia forma:

H^(X,p,t)=p^22m+V^(X,t){\ displaystyle {\ hat {H}} (x, p, t) = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ hat {V}} (x, t )}}

Operator de impulsuri

Presupunem că vrem să cunoaștem variația impulsului mediu . Folosind teorema lui Ehrenfest, avem ⟨p^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} \ rangle}

ddt⟨p^⟩=⟨∂p^∂t⟩+1euℏ⟨[p^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ partial {\ hat {p}}} {\ partial t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ rangle}

Ne plasăm într-o reprezentare „de poziție”: operatorul de impuls este apoi scris . Întrucât un operator navighează trivial cu el însuși și din moment ce impulsul nu este o funcție explicită a timpului, relația Ehrenfest se reduce la: p^=-euℏ∇{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar \ nabla}

ddt⟨p^⟩=1euℏ⟨[p^,V^(X,t)]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{ \ hat {p}}, {\ hat {V}} (x, t)] \ rangle}

este

ddt⟨p^⟩=⟨-∇V^(X,t)⟩=⟨F⟩,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle - \ nabla {\ hat {V}} (x, t ) \ rangle = \ langle F \ rangle,}

(ne putem aplica unei funcții de testare pentru a fi convinși) 1euℏ⟨[p^,V^]⟩{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {V}}] \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}

Poziția operatorului

Același calcul se efectuează și pentru operatorul de poziție , încă în reprezentare „poziție”. Deoarece potențialul depinde doar de poziție și timp, acesta comută cu operatorul de poziție, iar relația Ehrenfest se reduce la: X^{\ displaystyle {\ hat {x}}}

ddt⟨X^⟩=⟨∂X^∂t⟩+1euℏ⟨[X^,H^]⟩=1euℏ⟨[X^,p^22m]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ partial {\ hat {x}}} {\ partial t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ rangle = {\ frac {1} { i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}] \ rangle}

Folosind relația de comutare,

[X^,p^2]=p^[X^,p^]+[X^,p^]p^=2euℏp^{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {2}] = {\ hat {p}} [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] + [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] {\ hat {p}} = 2i \ hbar {\ hat {p}}}

noi obținem :

ddt⟨X^⟩=1m⟨p^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle}  

Vezi și tu

• Teorema lui Liouville
• Reprezentarea lui Heisenberg

Bibliografie

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu și F. Laloë , Mecanica cuantică [ detaliul ediției ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">