Geometrie proiectivă

În matematică , geometria proiectivă este câmpul geometriei care modelează noțiuni intuitive de perspectivă și orizont . Ea studiază proprietățile neschimbate ale figurilor prin proiecție centrală .

Considerații istorice

Matematicianul și arhitectul Girard Desargues fondează geometria proiectivă în proiectul său de proiect al unui atac la evenimentele întâlnirilor conului cu un plan publicat în 1639, unde îl folosește pentru o teorie unificată a conicelor . Dar avem deja concepte proiective în lucrările lui Pappus din Alexandria (  sec . IV ), care a introdus raportul încrucișat și se referă la Apollonius din Perga . Activitatea Desargues a avut prea mult succes în timpul său și a fost uitat până redescoperit de către editor și bibliofil Poudra mijlocul XIX - lea  secol . Contemporanii săi nu au înțeles profunzimea lucrării sale, cu excepția tânărului Blaise Pascal , care le-a continuat și, în special, a demonstrat o teoremă apropiată de cea numită astăzi teorema lui Pascal .

Poncelet reinventează geometria proiectivă la începutul secolului al XIX - lea  secol , cu siguranță influențată de geometrie descriptivă predate de un profesor la Politehnica , Gaspard Monge . În 1822, a publicat Tratatul privind proprietățile geometrice ale figurilor . În mod independent, un alt elev al lui Monge, Joseph Gergonne a descoperit în același timp și câteva dintre principiile geometriei proiective. Poncelet și Gergonne, prin diferite mijloace, evidențiază principiul dualității , specific geometriei proiective, unde, de exemplu, două linii distincte ale planului sunt întotdeauna secante.

August Ferdinand Möbius a introdus în 1827 coordonate omogene care permit aplicarea metodelor geometriei analitice geometriei proiective, lucrare căreia i se dedică și Julius Plücker . În același timp, Jakob Steiner dezvoltă abordarea geometriei sintetice .

Dar a fost Felix Klein , care , la sfârșitul XIX - lea  secol, precizează relația dintre geometria proiectivă și geometria euclidiană . Sub influența programului său Erlangen are loc o evoluție conceptuală majoră; în timp ce, până atunci, geometria a fost știința cifrelor, a devenit studiul transformărilor de cifre: de geometri ale secolului acum sa concentrat asupra compoziției de transformări , structura anumitor grupuri de transformări, de invarianții de astfel de sau o astfel de familie de transformări, axiomele minime permițând aceste proprietăți ale transformărilor.

Astăzi, unele noțiuni de bază ale geometriei proiective sunt utilizate în sistemele de vizualizare computerizată și de redare grafică, cum ar fi OpenGL .

Prezentare generală de bază

Într-o abordare rezultată din programul Erlangen , geometria proiectivă se distinge de geometria euclidiană obișnuită, fiind interesată doar de studiul a ceea ce, în figuri, rămâne neschimbat după proiecție, în timp ce geometria euclidiană este studiul a ceea ce rămâne invariant după deplasare (una o poate vedea și ca știința figurilor desenate cu o riglă și o busolă); din acest punct de vedere, geometria proiectivă are mai puține axiome decât geometria euclidiană și, prin urmare, este mai generală.

Geometria proiectivă ignoră linii paralele, perpendiculare linii , izometrii , cercuri , drepte triunghiuri , isoscel , echilateral , etc. ; se poate spune, de exemplu, că pentru ea, cercurile, elipsele și hiperbolele constituie o singură figură.

Este posibil, folosind anumite convenții de limbaj (de exemplu, apelând două linii paralele care se intersectează pe o linie aleasă a planului) pentru a găsi rezultatele geometriei afine din cele ale geometriei proiective (a se vedea mai jos ) și prin introducerea numerelor complexe , pentru a le găsi și pe cele de geometrie euclidiană.

Axiome ale geometriei proiective

Mai multe sisteme de axiome au fost enunțate pe baza geometriei proiective, în special de Enriques , Coxeter și Rossier, care prezintă doar ușoare diferențe. Elementele de bază sunt punctele. Liniile și planurile sunt anumite seturi de puncte. Există o relație ternară, cunoscută ca de ordin ciclic , între punctele aparținând aceleiași drepte sau între planurile care trec prin aceeași linie dreaptă sau între liniile drepte aparținând aceluiași plan și care trec prin același punct.

Axiome ale incidenței

Axioma I1 : Există cel puțin o linie dreaptă și un punct care nu aparține acestei linii drepte.

Axioma I2 : La orice linie dreaptă aparțin cel puțin trei puncte.

Axioma I3 : Având în vedere două puncte distincte, există o linie dreaptă și doar una căreia îi aparțin aceste două puncte.

Axioma I4 : Dacă ABC și D sunt patru puncte distincte, astfel încât liniile AB și CD conțin un punct comun, atunci liniile AC și BD conțin un punct comun.

Definiție : date trei puncte AB și C, numim plan ABC, ansamblul de puncte aparținând unei linii care conține punctul C și care conține un punct comun cu dreapta AB.

Axioma I5 : Pentru orice plan ABC, există cel puțin un punct care nu aparține planului ABC.

Axioma I6 : Orice două planuri distincte conțin cel puțin două puncte comune distincte.

Axiome de comandă

Definiție : Grupăm împreună sub forma de nume de primul fel : - un set de puncte care aparțin aceleiași linii drepte, set numit linie punctuală , - un set al tuturor planurilor care conțin aceeași linie dreaptă, numit pachet de planuri , - un ansamblu de toate liniile aparținând aceluiași plan și care trec prin același punct al acestui plan, un ansamblu numit fascicul de linii .

Axioma O1 : Pe orice formă de prima natură există două relații ternare inverse, astfel încât, oricare ar fi elementele AB și C, tripletul (A, B, C) satisface una și numai una dintre aceste două relații, numite ordinea ABC.

Axioma O2 : oricare ar fi cele trei elemente A, B și C ale formei, ordinea ABC este o relație de ordine ciclică , adică verificarea următoarelor condiții:

R(LA,B,VS)=>R(VS,LA,B){\ displaystyle R (A, B, C) => R (C, A, B)}

R(LA,B,VS)=>nuonuR(LA,VS,B){\ displaystyle R (A, B, C) => nonR (A, C, B)}

R(LA,B,VS)etR(LA,VS,D)=>R(B,VS,D){\ displaystyle R (A, B, C) șiR (A, C, D) => R (B, C, D)}

Axioma O3 : Oricare ar fi elementele A și B ale unei forme de primul fel, există cel puțin un element C al formei, cum ar fi R (A, C, B).

Definiții :

Se spune că perechile de elemente AB și CD ale unei forme de primul fel sunt perechi separate dacă ordinele ABC și ADB sunt aceleași.

Numim secțiunea unui pachet de linii cu vârful O printr-o linie corespondența care asociază cu orice linie a fasciculului intersecția sa cu linia. Corespondența reciprocă dintre linia punctului și fasciculul se numește proiecția liniei punctului din punctul O.

Numim secțiunea unui fascicul de planuri de margine D printr-o linie dreaptă corespondența care asociază cu orice plan al fasciculului intersecția sa cu linia dreaptă. Corespondența reciprocă dintre linia punctului și fasciculul se numește proiecția liniei punctului de la linia D.

Având în vedere trei elemente AB și C, numim segmentul AB din afara C ansamblul elementelor M astfel încât perechile AB și CM să fie separate.

Axioma O4 : Proiecția și secțiunea păstrează perechi separate.

Axioma continuității

Definiție: Spunem că un element M al unui segment AB precede un element N al acestui segment sau că N urmează M, dacă perechile AN și MB sunt separate.

Axioma C1 : Dacă elementele unui segment AB sunt împărțite în două clase, cum ar fi:

- orice element al segmentului AB aparține uneia sau alteia dintre cele două clase;

- elementul A aparține primei clase și B aparține celei de-a doua;

- orice element din prima clasă precede orice element din a doua clasă;

atunci există un element C al segmentului AB (aparținând primei sau celei de-a doua clase), astfel încât orice element care precede C aparține primei clase și orice element care urmează C aparține clasei a doua.

Model algebric de geometrie proiectivă

Un spațiu proiectiv este definit în algebră ca setul de linii vectoriale ale unui spațiu vectorial  ; ne putem imagina ochiul unui observator plasat pe originea unui spațiu vectorial și fiecare element al spațiului proiectiv corespunde unei direcții a privirii sale.

Un spațiu proiectiv diferă de un spațiu vector prin omogenitatea sa  : nu se poate distinge în interiorul său niciun punct particular, cum ar fi originea unui spațiu vector. În aceasta se apropie de un spațiu afin .

Definirea vectorului

Fie un spațiu K-vector (K este un câmp, în general sau ), neredus la . Definim pe următoarea relație de echivalență : E{\ displaystyle E \, \!}R{\ displaystyle \ mathbb {R} \, \!}VS{\ displaystyle \ mathbb {C} \, \!}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}E-{0}{\ displaystyle E - \ {0 \} \, \!}

X∼y⇔∃λ∈K∗,X=λy{\ displaystyle x \ sim y \ Leftrightarrow \ există \ lambda \ în K ^ {*}, x = \ lambda y \, \!}.

Așa-numitul spațiu proiectiv pe multimea cât a relației de echivalență  : . E{\ displaystyle E \, \!}E-{0}{\ displaystyle E - \ {0 \} \, \!}∼{\ displaystyle \ sim \, \!}P(E)=(E-{0})/∼{\ displaystyle P (E) = (E - \ {0 \}) / \ sim \, \!}

Pentru fiecare element să fie notat clasa sa de echivalență: . Prin urmare, avem: dacă și numai dacă și sunt coliniare . X≠0{\ displaystyle x \ neq 0 \, \!}E{\ displaystyle E \, \!}π(X)∈P(E){\ displaystyle \ pi (x) \ în P (E) \, \!}π(X)={λX,λ∈K∗}{\ displaystyle \ pi (x) = \ {\ lambda x, \ lambda \ în K ^ {*} \} \, \!}π(X)=π(y){\ displaystyle \ pi (x) = \ pi (y) \, \!}X{\ displaystyle x \, \!}y{\ displaystyle y \, \!}

Aplicația se numește proiecție canonică . π:E-{0}→P(E){\ displaystyle \ pi: E - \ {0 \} \ rightarrow P (E) \, \!}

Mai simplu, spațiul proiectiv este setul de linii vectoriale ale  ; elementul spațiului proiectiv este linia vectorială a cărei vector de direcție este . P(E){\ displaystyle P (E) \, \!}E{\ displaystyle E \, \!}π(X){\ displaystyle \ pi (x) \, \!}E{\ displaystyle E \, \!}X{\ displaystyle x \, \!}

În cazul în care este de dimensiune finită , atunci spunem că este de dimensiune finită și notăm dimensiunea spațiului proiectiv. În special : E{\ displaystyle E \, \!}nu{\ displaystyle n \, \!}P(E){\ displaystyle P (E) \, \!}nu-1=deumP(E){\ displaystyle n-1 = dim \, P (E) \, \!}

• Dacă n = 1 atunci este un singur (dimensiune zero);P(E){\ displaystyle P (E) \, \!}
• Dacă n = 2 atunci este un plan vector și se numește linie proiectivă .E{\ displaystyle E \, \!}P(E){\ displaystyle P (E) \, \!}
• Dacă n = 3 atunci se numește plan proiectiv  ; acesta este cadrul cel mai comun pentru realizarea geometriei.P(E){\ displaystyle P (E) \, \!}

Dacă spațiul este spațiul vectorial de dimensiune „tipică”, adică atunci avem o notație specială pentru spațiul proiectiv: în loc de . E{\ displaystyle E \, \!}nu{\ displaystyle n \, \!}Knu{\ displaystyle K ^ {n} \, \!}Pnu-1(K){\ displaystyle P ^ {n-1} (K) \, \!}P(Knu){\ displaystyle P (K ^ {n}) \, \!}

Definiție afină

Aspectul formal al definiției vectoriale nu trebuie să ne facă să uităm că noțiunea de spațiu proiectiv s-a născut din proiecția centrală și este, mai presus de toate, o noțiune geometrică. Pentru a lua exemplul spațiului proiectiv , putem observa opusul desen în cazul în care punctele , și aparțin planul afin ( care nu trece prin origine). Trebuie să ne imaginăm un observator plasat în . Acest observator vede toate punctele liniei în , cele ale liniei în și cele ale liniei în . Liniile planului nu sunt văzute ca puncte ale . Prin urmare, există o bijecție între liniile vectoriale care nu sunt paralele cu și punctele planului . R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}m{\ displaystyle m}nu{\ displaystyle n}r{\ displaystyle r}(P′){\ displaystyle (P ')}O{\ displaystyle O}(OM){\ displaystyle (OM)}m{\ displaystyle m}(OR){\ displaystyle (OR)}r{\ displaystyle r}(ONU){\ displaystyle (ON)}nu{\ displaystyle n}(d){\ displaystyle (d)}(P){\ displaystyle (P)}(P′){\ displaystyle (P ')}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(P){\ displaystyle (P)}(P′){\ displaystyle (P ')}

Spațiul proiectiv al lui este astfel în bijecție cu un plan afin care nu trece prin originea la care adăugăm setul de linii vectoriale ale direcției lui . Prin urmare, putem vedea un plan proiectiv constituit dintr-un plan afin la care adăugăm linia proiecțională având pentru elemente toate liniile (sau direcțiile) vectoriale ale , numite în acest context direct la infinit . Fiecare punct al liniei la infinit este numit apoi punct la infinit sau punct necorespunzător (punctele de a fi punctele proprii). Această noțiune permite, de exemplu, să vorbim, într-un plan, de intersecție între oricare două linii drepte: liniile se vor intersecta într-un punct adecvat sau altfel într-un punct necorespunzător dacă liniile sunt paralele. Într-un plan proiectiv, orice linie dreaptă poate fi aleasă ca linie dreaptă la infinit, iar aceasta induce o structură plană afină pe complement. În schimb, orice plan afin poate fi încorporat ca un plan afin non-vectorial al unui spațiu vectorial de dimensiunea 3 și, prin urmare, completat într-un plan proiectiv. R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(P′){\ displaystyle (P ')}(P){\ displaystyle (P)}(P′){\ displaystyle (P ')} P′~{\ displaystyle {\ tilde {P '}}}(P′){\ displaystyle (P ')}(P){\ displaystyle (P)}(P′){\ displaystyle (P ')}(P′){\ displaystyle (P ')}

Această noțiune este generalizată la orice spațiu proiectiv de dimensiune  : este un spațiu afin de dimensiune la care adăugăm toate direcțiile . P~{\ displaystyle {\ tilde {P}}}nu{\ displaystyle n}(P){\ displaystyle (P)}nu{\ displaystyle n}(P){\ displaystyle (P)}

În special, dacă = , linia proiecțională asociată este mulțimea în care se află un punct în afara , extinzând operațiile algebrice după cum urmează: (P){\ displaystyle (P)}K{\ displaystyle K}K~=K∪{∞}{\ displaystyle {\ tilde {K}} = K \ cup \ {\ infty \} \, \!}∞{\ displaystyle \ infty}K{\ displaystyle K \, \!}

• pentru toate de ,X{\ displaystyle x}K{\ displaystyle K}X/∞=0{\ displaystyle x / \ infty = 0}
• pentru toate de ,X{\ displaystyle x}K∗{\ displaystyle K ^ {*}}X/0=∞{\ displaystyle x / 0 = \ infty}

Această dublă relație, pe de o parte cu un spațiu vector citat, pe de altă parte cu un spațiu afin complet, face ca studiul geometriei proiective să fie bogat. La fel, acest dublu aspect va fi important de păstrat atunci când vine vorba de a da coordonate punctelor spațiului proiectiv.

Observarea

Coordonate omogene

Într-un spațiu proiectiv de dimensiune n , asociat deci cu un spațiu vectorial de dimensiune n + 1 , fiecare punct m de este asociat cu o familie de vectori de E care sunt toți coliniari. Dacă E are o bază canonică, numim coordonate omogene ale punctului m , coordonatele unui vector arbitrar x astfel încât . Prin urmare, un punct are o familie de coordonate care sunt proporționale între ele. Aceasta este, în cazul în care este un sistem de coordonate omogene de m , acesta este același pentru fiecare element k nenul K . P(E){\ displaystyle P (E)}π(X)=m{\ displaystyle \ pi (x) = m}(X1,X2,...,Xnu+1){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(kX1,kX2,...,kXnu+1){\ displaystyle (kx_ {1}, kx_ {2}, ..., kx_ {n + 1}) \,}

Dintre toate aceste coordonate, se întâmplă adesea ca unul să fie favorizat pentru a găsi un spațiu afin de dimensiune n . Dintre toți reprezentanții lui m , preferăm, de exemplu, cel a cărui ultimă coordonată este egală cu 1 . Aceasta înseamnă să spunem că am proiectat spațiu în hiperplanul ecuației . Dacă este un sistem de coordonate de m , preferăm sistemul de coordonate . Acest lucru este în mod evident valabil numai dacă m este un punct adecvat al . Xnu+1=1{\ displaystyle x_ {n + 1} = 1 \,}(X1,X2,...,Xnu+1){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(X1Xnu+1,X2Xnu+1,...,XnuXnu+1,1){\ displaystyle ({x_ {1} \ over x_ {n + 1}}, {x_ {2} \ over x_ {n + 1}}, ..., {x_ {n} \ over x_ {n + 1 }}, 1)}P(E){\ displaystyle P (E)}

Punctele necorespunzătoare sunt reprezentate de sisteme de coordonate omogene a căror ultimă coordonată este zero.

Observăm apoi corespondența dintre

• punctele proprii și punctele unui spațiu afin de dimensiune n  ;P(E){\ displaystyle P (E)}
• punctele improprii și direcțiile unui spațiu vectorial de dimensiune n  ;P(E){\ displaystyle P (E)}

Alegerea arbitrară de a pune o coordonată la 1 în coordonatele omogene face posibilă definirea diferitelor hărți .

Referința unui spațiu proiectiv

Un spațiu vectorial de dimensiune n este identificat printr-o bază de n vectori independenți. Un spațiu afin de dimensiune n este identificat folosind n + 1 puncte fără legătură. Un spațiu proiectiv de dimensiune n este identificat folosind n + 2 puncte. Am putea crede că n + 1 puncte ar fi suficiente luând, de exemplu, unde se formează o bază a spațiului vectorial de dimensiune n + 1 asociat cu spațiul proiectiv. Coordonatele unui punct din acest cadru de referință ar fi atunci unde sunt coordonatele astfel încât, dar ar fi necesar ca aceste coordonate să fie independente de reprezentantul ales pentru vectorii bazei:, de exemplu, are un alt reprezentant care este . Și în bază nu are același sistem de coordonate . (π(e1),π(e2),...,π(enu+1)){\ displaystyle (\ pi (e_ {1}), \ pi (e_ {2}), ..., \ pi (e_ {n + 1})) \,}(eeu)eu∈{1;nu+1}{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ in \ {1; n + 1 \}}}m{\ displaystyle m \,}(X1,...,Xnu+1){\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}(X1,...,Xnu+1){\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}X{\ displaystyle x \,}π(X)=m{\ displaystyle \ pi (x) = m \,}π(e1){\ displaystyle \ pi (e_ {1}) \,}2e1{\ displaystyle 2e_ {1} \,}(2e1,e2,...,enu+1){\ displaystyle (2e_ {1}, e_ {2}, ..., e_ {n + 1}) \,} X{\ displaystyle x \,}(X1/2,X2,...,Xnu+1){\ displaystyle (x_ {1} / 2, x_ {2}, ..., x_ {n + 1}) \,}

Prin urmare, trebuie să prevenim această ambiguitate și să limităm alegerea altor reprezentanți ai vectorilor de bază la vectori coliniari cu cei anteriori, dar cu același coeficient de co-liniaritate. Pentru aceasta, este suficient să se definească un n + 2 punct corespunzător . Astfel, dacă alegem alți reprezentanți ai cu coeficienți diferiți de colinearitate, vectorul nu va mai fi un reprezentant al . π(e1+e2+⋯+enu+1){\ displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}π(e1)...π(enu+1){\ displaystyle \ pi (e_ {1}) ... \ pi (e_ {n + 1}) \,}k1e1+⋯+knu+1enu+1{\ displaystyle k_ {1} e_ {1} + \ cdots + k_ {n + 1} e_ {n + 1} \,}π(e1+e2+⋯+enu+1){\ displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}

Subspatiu proiectiv

Deoarece există subspatii vectoriale ale spatiului vector precum si subspatii afine ale spatiului afin, exista si subspatii proiective ale spatiului proiectiv. Acestea sunt alcătuite din proiecțiile subspaiilor vectoriale ale spațiului vectorial asociat. Vom vorbi, așadar, despre o linie proiectivă într-un plan proiectiv, despre un plan proiectiv într-un spațiu proiectiv. Regula dimensiunilor și existența punctelor la infinit fac posibilă simplificarea regulilor de incidență.

Bir raport pe o linie proiectivă

În cazul în care , , și sunt patru puncte distincte ale unei linii D proiectivă, există un izomorfism unic de D ca la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}d{\ displaystyle d}fla,b,vs.{\ displaystyle f_ {a, b, c}}K~{\ displaystyle {\ tilde {K}}}

• fla,b,vs.(la)=∞{\ displaystyle f_ {a, b, c} (a) = \ infty}
• fla,b,vs.(b)=0{\ displaystyle f_ {a, b, c} (b) = 0}
• fla,b,vs.(vs.)=1{\ displaystyle f_ {a, b, c} (c) = 1}

Chemat cross-raport , , ,la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}d{\ displaystyle d} , a remarcat valoarea . [la:b:vs.:d]{\ displaystyle [a: b: c: d]}fla,b,vs.(d){\ displaystyle f_ {a, b, c} (d)}

În cazul în care , , și sunt patru puncte de a separa propriile D includ definiția clasică a raportului incrucisat sau raportul anarmonic: . la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}d{\ displaystyle d}vs.la¯/vs.b¯dla¯/db¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {ca}} \, / \, {\ overline {cb}}} {{\ overline {da}} \, / \, {\ overline {db}}}}}

Demonstrație

Omografia poate fi scrisă prin definiție fla,b,vs.{\ displaystyle f_ {a, b, c}}fla,b,vs.(z)=αz+βγz+δ{\ displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ frac {\ alpha z + \ beta} {\ gamma z + \ delta}}}

• γla+δ=0{\ displaystyle \ gamma a + \ delta = 0}(pole in )la{\ displaystyle a \;}
• αb+β=0{\ displaystyle \ alpha b + \ beta = 0}
• αvs.+β=γvs.+δ{\ displaystyle \ alpha c + \ beta = \ gamma c + \ delta}

fii nemișcat

• δ=-laγ{\ displaystyle \ delta = -a \ gamma}
• β=-bα{\ displaystyle \ beta = -b \ alpha}
• α=vs.-lavs.-bγ{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {ca} {cb}} \ gamma}

Luând obținem expresia:, care dă concluzia dorită. γ=1{\ displaystyle \ gamma = 1}fla,b,vs.(z)=vs.-lavs.-bz-bz-la{\ displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ frac {ca} {cb}} {\ frac {zb} {za}}}

Această definiție a raportului încrucișat facilitează demonstrarea următorului rezultat: omografiile păstrează raportul încrucișat . Mai precis :

Invarianța proiectivă a raportului încrucișat  -  a, b, c și d sunt patru puncte ale unei linii proiective D (a, b, c distincte) și e, f, g și h patru puncte pe o dreaptă D '(e, f , g distinct) atunci există o omografie care trimite primul cvadruplet la al doilea dacă și numai dacă raporturile încrucișate [a: b: c: d] și [e: f: g: h] sunt egale.

Transformare proiectivă sau omografie

Transformările proiective sau omografiile sunt transformări studiate în geometria proiectivă. Acestea sunt obținute ca fiind compuse dintr-un număr finit de proiecții centrale. Ei descriu ce se întâmplă cu pozițiile observate ale diferitelor obiecte atunci când ochiul observatorului își schimbă locul. Transformările proiective nu păstrează întotdeauna distanțele sau unghiurile, dar păstrează proprietățile incidenței și ale raportului încrucișat - două proprietăți importante în geometria proiectivă. Găsim transformări proiective pe linii, în planuri și în spațiu.

Proprietate fundamentală  : În dimensiunea finită, o transformare proiectivă este în întregime determinată de imaginea unui cadru de referință în spațiul proiectiv.

Definiția analitică a unei omografii

Fie două spații proiective și asociate respectiv cu spații vectoriale și . Notăm prin și de proiecțiile canonice ale (resp. ) Pe (resp. ). P1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}π1{\ displaystyle \ pi _ {1}}π2{\ displaystyle \ pi _ {2}}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}P1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Putem apoi efectua un „pasaj către coeficientul” hărților injective liniare de in . O astfel de hartă liniară fiind dată, putem defini o hartă a în transformarea punctului în , ceea ce denotă un reprezentant al . Desigur, pentru ca această definiție să fie consecventă, trebuie să verificăm dacă nu depinde de reprezentantul ales, care este imediat având în vedere liniaritatea și definiția lui . E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}φ{\ displaystyle \ varphi}h{\ displaystyle h}P1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}M{\ displaystyle M}h(M)=π2∘φ(m){\ displaystyle h (M) = \ pi _ {2} \ circ \ varphi (m)}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi _ {2}}

Aplicația este omografia asociată cu . Este atât de concis definită de ecuația: .h{\ displaystyle h}φ{\ displaystyle \ varphi}π2∘φ=h∘π1{\ displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi = h \ circ \ pi _ {1}}

De asemenea, putem vorbi mai general despre aplicația proiectivă, nefiind necesară injectivitatea aplicației liniare inițiale; același proces de trecere la coeficient va oferi o aplicație definită numai pe o parte din  :, și cu valori în . Nu vom vorbi atunci de omografie. φ{\ displaystyle \ varphi}P1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P1-π1-1(ker⁡(φ)){\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} - \ pi _ {1} ^ {- 1} (\ ker (\ varphi))}P2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Există o infinitate de hărți liniare asociate cu o homography dar aceste hărți liniare formează o linie vector de deoarece le presupune . L(E1,E2){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E_ {1}, E_ {2})}h1=h2{\ displaystyle h_ {1} = h_ {2}}π2∘φ1=π2∘φ2{\ displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {1} = \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {2}}

În dimensiunile finite p, n, dacă avem un sistem de coordonate omogen, o omografie poate fi definită printr-o clasă de matrice non-zero de format (n + 1) * (p + 1) toate multiple ale unuia d 'ei. A fiind una dintre aceste matrice și X o matrice de coloane cu coordonate omogene a , AX va fi o matrice de coloane cu coordonate omogene a (toate acestea fiind definite, așadar, până la un factor). M{\ displaystyle M}h(M){\ displaystyle h (M)}

Exemplu și discuție (geometrie plană). Luăm pentru și spațiu . este planul proiectiv . Luați în considerare o omografie definită de matricea 3 * 3 A pe care presupunem că este diagonalizabilă . Prin urmare, putem calcula coordonatele omogene ale transformărilor oricărui punct.E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}P1=P2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} = {\ mathcal {P}} _ {2}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}h{\ displaystyle h} Cele 3 direcții proprii sunt independente și definesc 3 puncte invariante prinh{\ displaystyle h} de . Aceste 3 puncte au, respectiv, matrice-coloană de coordonate omogene (vectori proprii ai matricei, cu un factor diferit de zero aproape).P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}X1,X2,X3{\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}} În schimb, cunoașterea acestor 3 puncte invariante determină omografia, adică A , până la un factor? Pentru aceasta ar fi necesar să se poată calcula valorile proprii ale lui A (cu un factor de proporționalitate aproape întotdeauna). Cu toate acestea, în mod evident, nu avem mijloace pentru aceasta, cunoscând doar direcțiile adecvate. Pe de altă parte, dacă se dă, de exemplu, transformarea punctului de coordonate omogene în punctul de coordonate omogene , se va avea prin desemnarea prin valorile proprii ale lui A: orice diferit de zero, care permite calculul prin rezolvare sistemul valorile proprii, cu excepția unui coeficient de proporționalitate.X1+X2+X3{\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + X_ {3}}Da{\ displaystyle Y}λ1,λ2,λ3{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}λ1X1+λ2X2+λ3X3=kDa,k{\ displaystyle \ lambda _ {1} X_ {1} + \ lambda _ {2} X_ {2} + \ lambda _ {3} X_ {3} = kY, k} Cele 4 puncte (3 puncte invariante plus 4 - lea definit mai sus) definesc un cadru proiectiv de referință (vezi mai sus) și cunoașterea transformării acestui cadru proiectiv de referință determină în întregime homography. Exemplu de omografie De Transformările prin polarizatori reciproce .

Topologie

Dacă E este un spațiu vectorial pe sau de dimensiune finită, se poate defini pe E o topologie rezultată din distanța indusă de normă în cazul real și în cazul complex. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}||X||=X12+X22+....+Xnu2{\ displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + .... + x_ {n} ^ {2}}}}||X||=X1X1¯+X2X2¯+....+XnuXnu¯{\ displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} {\ overline {x_ {1}}} + x_ {2} {\ overline {x_ {2}}} + .... + x_ { n} {\ overline {x_ {n}}}}}}

Această topologie este utilizată pentru a defini topologia spațiului coeficient , numită topologie coeficient . Dacă denotă aplicarea trecerii la coeficient, vom spune că o parte este deschisă dacă imaginea sa reciprocă este deschisă în . Verificăm că definim un spațiu topologic în acest felP(E)=E-0/∼{\ displaystyle P (E) = E- {0} / \ sim}p:E∖{0}→P(E){\ displaystyle p: E \ setminus \ {0 \} \ rightarrow P (E)}LA⊂P(E){\ displaystyle A \ subset P (E) \,}p-1(LA){\ displaystyle p ^ {- 1} (A) \,}E∖{0}{\ displaystyle E \ setminus \ {0 \} \,}

Arătăm că este compact . P(E){\ displaystyle P (E) \,}

Prin urmare, vom furniza spațiul proiectiv P (E) cu această topologie. Permite să vorbim despre homeomorfism și să observăm, de exemplu, că linia proiecțională reală este homeomorfă pentru un cerc, linia proiecțională complexă fiind homeomorfă pentru o sferă (a se vedea articolul Riemann sfera pentru un homeomorfism explicit).

Dualitate

Dacă E este un spațiu K-vector cu dimensiuni finite, E-ul său dual este, de asemenea, un spațiu K-vector n-dimensional. Prin urmare, putem asocia spațiul proiectiv P (E) cu P-ul său dual (E *). O linie din P (E *) va corespunde unui pachet de hiperplane din P (E). Trecerea la dual face posibilă inversarea unui număr mare de proprietăți geometrice.

Utilitate

1. Geometria proiectivă a făcut posibilă simplificarea semnificativă a enunțului și a dovezii teoremelor geometriei plane, cum ar fi teorema lui Pappus sau teorema lui Desargues , prin reducerea cazului general la cazuri particulare în care liniile sunt paralele.
2. Dacă spațiul proiectiv, în comparație cu spațiul obișnuit, adică spațiul afin, poate părea a fi un obiect mai complicat, este de necontestat că, pentru multe situații, spațiul proiectiv este cadrul potrivit. Pentru a da un exemplu, dacă și sunt două curbe plane (complexe) de gradul respectiv și apoi, dacă vedem aceste curbe ca submanifolduri ale planului afin, teorema lui Bézout spune că numărul de puncte de intersecție între și este întotdeauna mai mic sau egal la . Pe de altă parte, dacă vedem aceste curbe ca sub-varietăți ale planului proiectiv, atunci teorema spune că numărul de puncte de intersecție (numărate cu multiplicitate) este egal cu . Există multe alte situații în care teoremele sunt enunțate într-o formă mai frumoasă în geometria proiectivă.VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}d{\ displaystyle d}d′{\ displaystyle d '}VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}dd′{\ displaystyle dd '}dd′{\ displaystyle dd '}
3. Cele grafica pe calculator tri-dimensională folosește intens geometria proiectivă, pentru că în această traduceri și rotații de geometrie, adică, transformările din grupul euclidian , se dovedesc a fi transformări liniare , care facilitează foarte mult tratamentul lor.

Note și referințe

1. René Taton , „Opera lui Pascal în geometrie proiectivă” , Revue d'histoire des sciences et de leurs applications , 1962, vol. 15, nr 3-4, p. 197-252.
2. (în) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , „Joseph Diaz Gergonne” în arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews ( citiți online ).
3. (în) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , „Julius Plücker” în arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews ( citește online ).
4. Coxeter 1994 .
5. Rossier .
6. Coxeter 1961 .
7. Enriques .
8. Michèle Audin , Geometrie , Științe EDP ,2006, 3 e  ed. , 428  p. ( ISBN  978-2-7598-0180-0 , citit online ) , p.  196.

Vezi și tu

Bibliografie

• Marcel Berger , Geometrie [ detaliu ediții ]( t. 1 )
• (ro) HSMCoxeter, Geometrie proiectivă, Springer-Verlag ,1994
• (ro) HSMCoxeter, The real projective plane, Cambridge University Press, retipărit ,1961
• Jean-Denis Eiden, Geometrie analitică clasică , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• De la geometria proiectivă la geometria euclidiană , hexagrama mistică a lui Pascal
• Federigo Enriques, Lecții de geometrie proiectivă, Gauthier-Villard Paris ,1930
• Mică Enciclopedie a Matematicii , Didier
• Jean Fresnel, Metode moderne în geometrie
• Daniel Lehmann și Rudolphe Bkouche , Initiation à la géometry , PUF , 1988 ( ISBN  2 13 040160 0 )
• Jean-Claude Sidler, Geometrie proiectivă , InterEditions, 1993
• Pierre Samuel, Geometrie proiectivă , PUF, 1986
• Robert Rolland, Geometrie proiectivă, Ellipses 2015
• Paul Rossier, Geometrie sintetică modernă, Vuibert Paris ,1960

linkuri externe

• Nicolas Jacon, „  Geometrie proiectivă  ” , la CNRS
• Daniel Perrin , "  Geometria planului proiectiv și aplicații la geometriile euclidiene și neeuclidiene  "

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">