Modelul Ising

Modelul Ising este un model de fizică statistică . A fost folosit pentru a modela diferite fenomene în care efectele colective sunt produse de interacțiunile locale dintre particulele cu două stări.

Exemplul principal este feromagnetismul pentru care modelul Ising este un model de rețea de moment magnetic , în care particulele sunt întotdeauna orientate de-a lungul aceleiași axe spațiale și pot lua doar două valori, + M și -M.

Acest model este uneori denumit modelul Lenz-Ising . Își datorează numele fizicienilor Wilhelm Lenz și Ernst Ising .

Aplicații

Materiale feromagnetice

Acest model face posibilă descrierea relativ simplă a magnetismului materialelor feromagnetice care prezintă o anizotropie foarte puternică cu o direcție privilegiată foarte marcată.

Aliaje binare

O altă aplicație a modelului Ising este descrierea aliajelor binare . În acest caz, momentele magnetice + M reprezintă una dintre speciile atomice, iar momentele magnetice -M reprezintă celelalte specii atomice. Ordinea pe termen lung a modelului Ising poate descrie o separare de fază între cele două specii (în cazul în care faza de temperatură scăzută este egală cu -M sau + M) sau o fază ordonată în care una dintre subrețele poartă atomi ai unei specii (momente + M) și cealaltă subrețea de atomi a celorlalte specii. Faza dezordonată a modelului Ising descrie respectiv o stare în care cele două specii se amestecă sau o stare în care subrețelele sunt echivalente. Al doilea caz se numește tranziție ordine-tulburare. Această versiune a modelului Ising se numește model Bragg și Williams (en) (1934-1936).

Tranziția lichid-gaz

O a treia aplicație a acestui model este descrierea unei tranziții gazoase lichide. În această versiune, site-urile cu un moment + M reprezintă site-urile ocupate de un atom, iar cele cu un moment -M reprezintă site-urile neocupate. Câmpul magnetic devine în această descriere potențialul chimic al atomilor. Deoarece tranziția de fază are loc în prezența câmpului magnetic , este o tranziție de prim ordin între o stare lichidă de densitate mare și o stare gazoasă de densitate mică. Această versiune a modelului Ising se numește modelul cu rețea de gaz.

Hamiltoniană

Hamiltonianul acestui model este scris:

$H = - \ sum _ {{i, j}} J _ {{ij}} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} -h \ sum _ {{i}} \ sigma _ {i} ~$

$J _ {{ij}}$ este interacțiunea de schimb a modelului și a câmpului magnetic. În general, considerăm modelul Ising cu interacțiune numai între primii vecini. $h$

Starea de bază

În acest caz , starea de bază pentru este cea în care toate momentele au aceeași valoare. În cazul unei rețele bipartite, fundamentalul este, de asemenea, ușor de găsit, toate momentele având valoarea pe una dintre subrețele și pe cealaltă subrețea. În cazul unei rețele non-bipartite, și pentru , situația este mai complicată, deoarece toate energiile de interacțiune dintre momente nu pot fi minimizate simultan. În acest caz, se spune că modelul Ising este frustrat. Pentru un model Ising frustrat, elementul fundamental poate să nu fie unic și poate avea chiar degenerescență macroscopică (este cazul modelului Ising frustrat de pe rețeaua triunghiulară bidimensională). În unele cazuri, este posibil să se calculeze exact degenerarea fundamentală (GH Wannier, 1950). $J _ {{ij}}> 0$ $h = 0$ $J _ {{ij}} <0$ $M$ $-M$ $J _ {{ij}} <0$

De asemenea, este posibil să se ia în considerare modelele Ising cu interacțiuni aleatorii (modelul Edwards-Anderson dacă interacțiunile sunt cu rază scurtă de acțiune, modelul Sherrington și Kirkpatrick dacă interacțiunile sunt cu rază lungă de acțiune). Aceste modele descriu materiale în care impuritățile magnetice au fost diluate într-un metal. Frustrarea împiedică aceste modele să dezvolte o ordine convențională pe termen lung și joacă un rol important în formarea unei stări de sticlă rotativă.

În cele ce urmează, ne vom ocupa doar de modelul nefrustrat cu interacțiuni deterministe.

O dimensiune

La o dimensiune, modelul Ising este exact solubil prin metoda matricei de transfer. Din punct de vedere istoric, această soluție datează din teza lui Ising ( 1925 ) sub conducerea lui Wilhelm Lenz . Această soluție arată că energia liberă este analitică pentru orice temperatură, ceea ce înseamnă că acest model nu are o tranziție de fază. Un argument fizic foarte general, expus în Landau și Lifshitz , permite să arate că orice model unidimensional cu interacțiuni cu rază scurtă de acțiune nu poate avea o tranziție de fază la temperatură pozitivă, energia necesară pentru a crea defecte fiind întotdeauna contrabalansată în mare măsură de câștigul de entropie . FJ Dyson a studiat modelele Ising cu interacțiune pe distanțe lungi într-o singură dimensiune, cum ar fi . El a arătat că pentru aceste modele erau comandate la orice temperatură și pentru aceste modele erau dezordonate la orice temperatură. Numai cazul ar putea da naștere unei tranziții de fază. Lucrarea ulterioară a lui PW Anderson , G. Yuval și DR Hamman asupra efectului Kondo a arătat că există o relație între modelul Ising pe termen lung și efectul Kondo. Prin urmare, modelul cu poate prezenta o tranziție de fază, care prezintă analogii cu tranziția lui Berezinsky, Kosterlitz și Thouless . $J _ {{ij}} = | ij | ^ {{- \ sigma}}$ $\ sigma <2$ $\ sigma> 2$ $\ sigma = 2$ $\ sigma = 2$ $\ sigma = 2$

Două dimensiuni

Soluție exactă

În cazul bidimensional, Rudolf Peierls a reușit să demonstreze în 1936 că modelul Ising avea o tranziție de fază . Argumentele teoretice (dualitate) datorate lui Kramers și Wannier au făcut posibilă prezicerea în 1941 a temperaturii la care are loc această tranziție de fază. Soluția modelului, în câmp zero, în sensul calculului exact al energiei libere se datorează lui Lars Onsager în 1944. Metoda lui Onsager generalizează metoda matricei de transfer în cazul bidimensional. Necesită studierea unei algebre matriciale (vezi cartea lui Kerson Huang). Această metodă fiind foarte complicată, alți fizicieni au căutat să dezvolte tehnici de rezoluție mai simple pentru acest model. O abordare datorată lui Kauffmann a condus la punerea modelului bidimensional Ising în raport cu un model unidimensional de fermion fără interacțiuni. Această abordare a fost dezvoltată ulterior folosind metode de algebre Grassmann de către Samuel. Este descris în carte de C. Itzykson și JM Drouffe. O altă abordare datorată lui Kac și Ward (1952) constă în reducerea calculului funcției de partiție la o enumerare a graficelor. Această abordare este descrisă în cartea lui Landau și Lifchitz .

Comportamentul parametrului de ordine sub temperatura de tranziție a fost conjecturat de Onsager în 1949. Conjectura lui Onsager a fost demonstrată de CN Yang în 1952. O metodă mai simplă, care folosește matricele Toeplitz și lema de Szego a fost introdusă de EW Montroll, JC Ward și Renfrey B. Potts în 1963. Funcțiile de corelație au fost obținute de Tracy, McCoy și Wu în 1976 în ceea ce privește funcțiile Painlevé III. Rezultatele lui Tracy, MacCoy și Wu nu sunt limitate la punctul critic al modelului Ising, ci sunt valabile și pentru modelul Ising non-critic.

Pe de altă parte, dualitatea Kramers-Wannier a fost extinsă de L. Kadanoff și H. Ceva în 1971, care au introdus operatorul tulburării . În faza de temperatură ridicată și . Situația este inversată în faza de temperatură ridicată. Dualitatea Kramers-Wannier schimbă operatorii de ordine și tulburare (și, evident, schimbă și funcțiile lor de corelație). $\ mu$ $\ langle \ sigma \ rangle = 0$ $\ langle \ mu \ rangle \ neq 0$

Importanța modelului Ising pentru dezvoltarea teoriei fenomenelor critice

Interesul modelului Ising provine din faptul că acest model exact solubil are exponenți critici diferiți de cei dați de teoriile medii de câmp. De exemplu, exponentul critic al lungimii corelației în câmpul mediu este ν = 1/2 în timp ce este ν = 1 în modelul Ising. Un alt exemplu este exponentul parametrului de ordine care valorează β = 1/8 în cazul modelului Ising și β = 1/2 în cazul unei teorii medii a câmpului. Soluția modelului Ising bidimensional a făcut astfel posibilă demonstrarea faptului că mecanica statistică era capabilă să prezică tranzițiile de fază și să descrie comportamente critice mai complexe decât cele ale teoriilor medii de câmp. Acest lucru a pregătit calea pentru lucrările ulterioare ale lui ME Fisher, LP Kadanoff și H. Widom privind presupunerea universalității și invarianța la scară aproape critică din anii 1960 . În special, modelul Ising satisface relațiile dintre exponenții critici care rezultă din ipoteza omogenității Widom, precum și relația de hiperscalare. Dezvoltarea grupului de renormalizare pentru tranzițiile de fază în anii 1970 a făcut posibilă justificarea acestor ipoteze.

Invarianța conformă a modelului Ising

La fel ca multe alte modele bidimensionale, modelul punct critic Ising are proprietatea invarianței conformale , cu sarcina centrală . $c = 1/2$

Această proprietate face posibilă calcularea exactă la punctul critic a tuturor funcțiilor de corelație n-punct (și nu doar a funcțiilor în două puncte). Mai mult, invarianța conformală face posibilă și construirea unei algebre de operatori care implică magnetizarea greutății conformale (1 / 16,1 / 16), operatorul tulburării Kadanoff și Ceva de greutate conformă (1/16, 1/16), Fermiunea Kauffmann operatorii de greutate conformă (1 / 2,0) și (0,1 / 2) și operatorul de densitate energetică a greutății conforme (1 / 2,1 / 2). Avem relațiile: $\ sigma$ $\ mu$ $\ psi$ $\ epsilon$

$\ sigma \ sigma \ sim 1+ \ epsilon ~$

$\ mu \ sigma \ sim \ psi ~$

$\ mu \ mu \ sim 1+ \ epsilon ~$

$\ psi \ psi \ sim \ epsilon ~$

unde produsele sunt înțelese ca evoluții ale produselor operatorilor. Această algebră poate fi generalizată pentru a conduce la teorii parafermionice conformale. Modelul Ising poate fi obținut și din modelele Wess-Zumino-Witten printr-o procedură de coeficient. Modelul Ising este coeficientul . $(SU (2) _ {1} \ ori SU (2) _ {1}) / SU (2) _ {2}$

Teoria conformală a modelului Ising poate fi deranjată de un operator al formei . AB Zamolodchikov a reușit să arate că această teorie perturbată era integrabilă și a putut conjectura matricea teoretică a câmpului masiv care descrie modelul perturbat. $h \ sigma (x)$ $S$

Faptul că modelul Ising are sarcina centrală face posibilă reducerea modelului dublu Ising la o teorie centrală a sarcinii care poate fi descrisă ca un orbifold al teoriei bosonului liber. $c = 1/2$ $c = 1$

Trei dimensiuni

Pentru modelul Ising în trei dimensiuni, nu am găsit încă o soluție analitică. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze exponenții critici ai modelului Ising lângă tranziție folosind grupul de renormalizare sau prin bootstrap conform . Un tabel al acestor expozanți poate fi găsit în cartea lui Claude Itzykson și JM Drouffe.

Am putut calcula temperatura critică a acesteia prin intermediul simulărilor pe computer (Monte Carlo).

Patru dimensiuni și mai mult

Deși acest caz este non-fizic, exponenții critici ai modelului Ising sunt apoi cei ai teoriei câmpului mediu. În limbajul grupului de renormalizare, patru este dimensiunea critică superioară a modelului Ising. De asemenea, teoria câmpului mediu este soluția exactă a unui model Ising cu interval infinit definit de Hamiltonian :

H = - {\ frac JN} (\ sum _ {i} \ sigma _ {i}) ^ {2} ~

În mod formal, acest model descrie un moment magnetic care interacționează cu un număr de vecini care tinde spre infinit. Prin urmare, poate fi văzută ca limita dimensiunii infinite a modelului Ising. Dacă în loc să definim modelul Ising în dimensiune infinită folosind o interacțiune de domeniu infinit, fixăm numărul vecinilor luând în considerare un model pe un arbore Cayley (numit și rețeaua Bethe), găsim că soluția exactă este dată de Bethe- Aproximarea Peierls. Această aproximare oferă o estimare mai bună a temperaturii în comparație cu câmpul mediu, dar, deoarece este și o metodă auto-consistentă, reproduce exponenții câmpului mediu.

Funcția de partiție a unui set de rotiri Ising în câmpul mediu

Fără interacțiune între primii vecini

Acesta este cel mai simplu model. Energia fiecărui moment poate lua doar pentru valoare + MH sau -MH, H fiind câmpul mediu. Funcția de partiție ia deci valoarea:

Z = (e ^ {{\ beta MH}} + e ^ {{- \ beta MH}}) ^ {N} ~

din care se poate deduce cu ușurință magnetizarea, susceptibilitatea magnetică, mărimile termodinamice etc.

Cu interacțiunea dintre primii vecini

Cea mai simplă formă de interacțiune între primii vecini este de tipul în care J este constanta de cuplare. Într-un astfel de caz, energia implicată în interacțiune ia în cazul în care Ising întoarce valoarea sau. Energia întregului lanț ia forma $JM_ {i} M _ {{i + 1}}$ $JM ^ {2}$ $-JM ^ {2}$

E = \ sum _ {i} HM_ {i} + \ sum _ {i} JM_ {i} M _ {{i + 1}} ~

iar funcția de partiție ia forma

Z = \ sum _ {{\ {M_ {i} \}}} \ exp (- \ beta \ sum _ {i} (HM_ {i} + JM_ {i} M _ {{i + 1}})) ~

În acest caz, putem fi reduși la problema rotirilor fără interacțiune prin următorul truc: Înlocuim variabilele cu variabilele . Rezultă din aceasta o posibilă factorizare a lui Z: $Mijloc}$ $M_ {i} '= {M_ {i} + M _ {{i + 1}} \ peste 2}$

Z = \ sum _ {{\ {M_ {i} '\}}} \ exp (\ beta \ sum _ {i} (- HM_ {i}' + 2JM_ {i} '^ {2} - {JM ^ {2} \ peste 2})) ~

= \ prod _ {i} (\ sum _ {{valM_ {i} '}} \ exp (\ beta (-HM_ {i}' + 2JM_ {i} '^ {2} - {JM ^ {2} \ peste 2}))) ~

sau din nou:

\ exp (- \ beta {NJM ^ {2} \ over 2}) (\ exp (\ beta (-HM + 2JM ^ {2})) + \ exp (\ beta (HM + 2JM ^ {2})) +1) ^ {N} ~

În acest fel, diferitele variabile termodinamice pot fi calculate în continuare cu relativă simplitate.

Interesul modelului

În ciuda simplității calculului unidimensional, calculul bidimensional este foarte complex. În ceea ce privește calculul tridimensional exact prin metode tradiționale, este imposibil. Prin urmare, simplitatea extremă a interacțiunii elementare face posibilă arătarea într-un mod foarte elegant a tuturor complexității datorită geometriei materialului studiat. Dacă adăugăm că spinul Ising este un model foarte potrivit pentru simulări numerice pe computer, nu vom fi surprinși de popularitatea unui model aparent atât de simplu.

Note și referințe

Articole similare

Bibliografie

LD Landau și EM Lifchitz, curs teoretic de fizică t. 5, Fizică statistică (Mir)

Kerson Huang, Mecanica statistică (Wiley)

R. Kubo, T. Toda, J. Hashitsume, Fizica statistică I (Springer-Verlag)

C. Itzykson și JM Drouffe, Teoria statistică a câmpurilor I (CNRS-Interéditions)

P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Sénéchal Conformal Field Theory (Springer)

C. Itzykson și JM Drouffe Statistic Field Theory II (CNRS-Interéditions)

H.-O. Georgii, Gibbs Measures And Phase Transitions (de Gruyter Studies in Mathematics)

S. Friedli și Y. Velenik, Mecanica statistică a sistemelor de rețea: o introducere matematică concretă (Cambridge University Press); disponibil și pe această pagină

M. Héritier Introducere în tranzițiile de fază

M. Bauer Introducere în legăturile dintre mecanica statistică și teoria câmpului

V. Dotsenko Introducere în teoriile conformale

BM McCoy Legătura dintre mecanica statistică și teoria câmpului cuantic

MR Gaberdiel O introducere în teoria câmpului conform

Y. Velenik Modelul Ising

linkuri externe

Marie Théret, „ De ce căldura și magnetismul nu merg mână în mână? » , Despre imaginile matematicii ,4 iulie 2014(accesat la 15 iulie 2014 )
Raphaël Cerf , „ Modelul Ising și coexistența fazelor ” , despre Imagini ale matematicii ,15 octombrie 2004(accesat la 15 iulie 2014 )