Legea compoziției interne

În matematică , în special în algebra generală , o lege internă compoziție este aplicată , care în două elemente ale unui set E , combină un element E . Cu alte cuvinte, este o operație binară prin care E este stabil .

Adăugarea și multiplicarea în setul de numere naturale sunt exemple clasice de drept intern compoziție.

Cele interne și externe legile compoziției servesc pentru definirea structurilor algebrice , care ocupă un loc privilegiat în algebra generală .

Prezentare

Cu toții avem din școala elementară o idee destul de bună despre conceptul de operații precum adunarea, scăderea, înmulțirea sau divizarea. O operație (internă) într-un set este o relație internă în acest set, care, cu oricare două elemente ale acestui set, numite operanzi , asociază eventual un al treilea, unic, numit rezultat , întotdeauna în același set.

Pentru ca operațiunea considerată să fie efectiv o lege a compoziției interne , aceasta trebuie să aibă o semnificație indiferent de cele două elemente ale mulțimii alese (spunem formal că operațiunea trebuie definită peste tot). Asa de :

• divizarea nu este o lege a compoziției interne în ℝ , deoarece nu putem împărți la zero: de exemplu, „3/0” nu are sens. Dar aceeași diviziune este o lege a compoziției interne în ℝ * (set de numere reale private de 0). În cele din urmă, aceeași operație nu este o lege de compoziție internă în ℤ * deoarece 2/3 nu este un număr întreg relativ .
• scăderea poate fi sau nu o lege internă a compoziției, în funcție de setul de numere considerate:
  • dacă este vorba despre mulțimea numerelor obișnuite, cunoscute ca numere întregi naturale {0, 1, 2, 3, ...}, nu este una, deoarece „3 - 5”, de exemplu, n nu are ca rezultat dintre aceste numere obișnuite.
  • dacă, dimpotrivă, alegem setul de numere întregi relative, care pe lângă numerele întregi naturale conține numerele întregi negative {..., –3, –2, –1}, atunci scăderea este într-adevăr o lege de compoziție internă .

Practic o lege compoziție internă într - un set E , sau pur și simplu o lege în E , este un proces care dă un rezultat în E pentru toate perechile posibile ale elementelor E .

Exemple

În setul de numere întregi relative, adunarea este o lege internă a compoziției având printre altele următoarele proprietăți, care vor fi definite mai formal în a doua parte a articolului:

• 0 este un element neutru pentru această lege: adăugarea acestuia la orice număr dă din nou acest număr: de exemplu, 5 + 0 = 5 și 0 + 8 = 8;
• pentru orice număr întreg, există un alt număr, opusul său (termenul general este element simetric ), cum ar fi adăugat la primul, dă înapoi elementul neutru 0. Opusul este notat ca semnul inițial schimbat întreg. Deci: 3 + (–3) = 0;
• putem schimba cele două elemente din jurul semnului "   ": 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Spunem că operațiunea este comutativă  ;+{\ displaystyle +}
• putem grupa elementele după cum dorim când adăugăm mai mult de două: 3 + 5 + 4 pot fi calculate în două moduri:
  • calculând mai întâi 3 + 5 = 8 apoi adăugând 4 la rezultat,
  • sau calculând 5 + 4 = 9 înainte de a calcula 3 + 9.

Aceste două metode conduc la același rezultat, pe care îl observăm: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4). Spunem că operațiunea este asociativă .

Aceste patru proprietăți, existența unui element neutru , existența simetricelor , comutativitatea , asociativitatea , pot fi găsite pentru alte seturi și alte legi. Astfel, putem studia toate traducerile (adică deplasările în linie dreaptă: de exemplu, pentru a vă deplasa cu 3 metri spre stânga și cu 2 metri în sus), și o lege de compoziție internă pentru acest set, compoziția  : compoziția din două traduceri constând pur și simplu în efectuarea primei deplasări, apoi a doua. Se găsesc aceleași proprietăți pentru compoziție ca și pentru adăugare:

• neutru este traducerea la zero, care constă în a nu se deplasează;
• simetria unei traduceri constă în a face aceeași deplasare în direcția opusă (3 metri la dreapta și 2 metri în jos pentru exemplul anterior): dacă facem ambele succesiv, este ca și cum am face deplasarea zero;
• putem face deplasările în ordinea pe care o dorim, găsim comutativitatea și asociativitatea .

Setul de numere întregi relative cu adunare și setul de traduceri cu compoziție au aceste proprietăți simple în comun. Un set și o lege care au aceste patru proprietăți particulare se numesc în algebră un grup abelian . Algebra generală se va strădui apoi să caute proprietăți mai complexe provin de la aceste primele patru. Aceste proprietăți noi vor fi apoi valabile și pentru setul de numere întregi relative ca și pentru cea a traducerilor, precum și pentru orice alt set și orice altă lege a compoziției interne având structura unui grup abelian, fără a fi necesar să se facă acest lucru. Repornire pentru fiecare.

Definiție formală

Chemat dreptul intern compoziție pe un set de E orice punere în aplicare a produsului cartezian E × E în E . ∗{\ displaystyle * \,}

Un set E prevăzut cu o lege de compoziție internă constituie o structură algebrică numită magmă și notată „( E , )”. ∗{\ displaystyle * \,} ∗{\ displaystyle * \,}

Câteva exemple triviale, pentru un set E gol:

• hărți constante: dacă c aparține lui E  : ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = c  ;∗{\ displaystyle \, *}
• aplicația selectând termenul din stânga: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = x  ;∗{\ displaystyle \, *}
• aplicația selectând termenul din dreapta: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = y .∗{\ displaystyle \, *}

Elemente speciale

Pătrate și derivate

• se spune că un element este pătrat dacă:   vs.{\ displaystyle c \,}∃ X∈E, X∗X=vs.{\ displaystyle \ există \ x \ în E, \ x * x = c \,}

Dimpotrivă, fiecare element x   are un pătrat unic, de obicei notat „  x 2  ”. Dacă legea este notată aditiv, termenul de dublu va fi folosit în preferință față de cel de pătrat . Exemplu: în ℤ, dublul lui 3 (pentru adunare) este 6, iar pătratul său (pentru multiplicare) este 9.

• se spune că un element este idempotent (de ordinul 2) sau proiector dacă:   s{\ displaystyle s \,}s∗s=s{\ displaystyle s * s = s \,}

Cu alte cuvinte, acest element este propriul său pătrat . Exemple:

• fiecare element neutru al unei legi este idempotent pentru această lege;
• în orice set numeric care le conține, 0 și 1 sunt singurele elemente idempotente pentru multiplicare.

Neutri și derivați

Se spune un element : e{\ displaystyle e}

• neutru în stânga dacă  ;∀X∈Ee∗X=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad e * x = x}
• neutru în dreapta dacă  ;∀X∈EX∗e=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * e = x}
• neutru atunci când este neutru în dreapta și în stânga.

Exemple

• În ℝ, elementul neutru al adunării este 0, iar cel al multiplicării este 1.
• În setul de părți ale unei mulțimi X , mulțimea goală este neutră pentru uniune și mulțimea X este neutră pentru intersecție .

Orice este neutru în stânga sau în dreapta este idempotent.

Dacă există un element neutru în stânga și un element neutru în dreapta, atunci legea admite un element neutru unic, iar orice element neutru din stânga sau din dreapta este egal cu acesta.

Când există un element neutru  : e{\ displaystyle e}

• se spune că un element este involutiv dacă . s{\ displaystyle s}s∗s=e{\ displaystyle s * s = e}Singurul element involutiv și idempotent este elementul neutru;
• se spune că un element este simetric la stânga elementului si . Elementul este apoi simetric la dreapta elementului .la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}la∗b=e{\ displaystyle a * b = e}b{\ displaystyle b}la{\ displaystyle a}

Absorbanți și derivați

Se spune un element : la{\ displaystyle a}

• absorbant pe stânga dacă  :;∀X∈Ela∗X=la{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * x = a}
• absorbant pe dreapta dacă  :;∀X∈EX∗la=la{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * a = a}
• absorbant dacă este absorbant în dreapta și în stânga.

Exemple

• În ℝ, 0 este absorbant pentru înmulțire.
• În setul de părți ale unui set X , setul gol este absorbant pentru intersecție și setul X este absorbant pentru unire.

Orice element absorbant din stânga sau din dreapta este idempotent.

Dacă există un element absorbant în stânga și un element absorbant în dreapta, atunci legea admite un singur element absorbant, iar orice element absorbant din stânga sau din dreapta este egal cu acesta.

Când legea admite un element absorbant , se spune că un element este nilpotent (de ordinul 2) dacă . 0{\ displaystyle 0}X{\ displaystyle x}X∗X=0{\ displaystyle x * x = 0}

Centrul unei structuri

Se spune că un element este central dacă . vs.{\ displaystyle c}∀X∈EX∗vs.=vs.∗X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * c = c * x}

Elementele bilaterale neutre și absorbante sunt centrale.

Numit centrul de E , si scriem Z ( E ), toate elementele centrale E .

Obiective regulate și derivate

Se spune un elements∈E{\ displaystyle s \ în E}

• regulat pe stânga sau simplificat pe stânga dacă:

∀ (X,y)∈E2 (s∗X=s∗y⇒X=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ în E ^ {2} \ (s * x = s * y \ Rightarrow x = y)} ;

• regulat pe dreapta sau simplificat pe dreapta dacă:

∀ (X,y)∈E2 (X∗s=y∗s⇒X=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ în E ^ {2} \ (x * s = y * s \ Rightarrow x = y)};

• regulat sau simplificat atunci când este regulat la dreapta și la stânga  ;
• divizor de zero în stânga dacă există un element absorbant (evident unic), diferit deși dacă:;la{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠la∧s∗r=la){\ displaystyle \ există \ r \ în E \ (r \ neq a \ wedge s * r = a)}
• divizor de la zero la dreapta în cazul în care există un element absorbant diferit de și: .la{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠la∧r∗s=la){\ displaystyle \ există \ r \ în E \ (r \ neq a \ wedge r * s = a)}

Cei divizorii lui zero sunt neregulate . Elementele nilpotente , altele decât elementul absorbant , sunt divizori ai zero .

Perechi de elemente

Perechile de elemente pot avea, de asemenea, proprietăți particulare:

• două elemente și se va spune că este permutabil sau comutator dacă:r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}r∗s=s∗r{\ displaystyle r * s = s * r \,}
• două elemente permutabile și se va spune că sunt simetrice sau inversabile dacă: r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • există un element neutru ,e{\ displaystyle e \,}
  • și :;r∗s=e{\ displaystyle r * s = e}
• două elemente permutabile și se vor numi divizori ai zero sau dezintegranți dacă: r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • există un element absorbant ,la{\ displaystyle a \,}
  • și niciunul dintre cele două elemente nu este egal cu ,la{\ displaystyle a \,}
  • și :;r∗s=la{\ displaystyle r * s = a}

Exemplu: pentru numerele întregi relative, 0 este neutru pentru adunare, absorbant pentru înmulțire și neutru drept pentru scădere.

Proprietăți

Anumite proprietăți ale legilor compoziției interne, care prezintă un interes deosebit, au primit un nume. Lasă o magmă ( E , ); legea poate prezenta următoarele proprietăți: ∗{\ displaystyle * \,}∗{\ displaystyle * \,}

Existența unor elemente remarcabile

Se spune o lege

• unificați în stânga dacă există un element neutru în stânga. O lege poate avea mai multe elemente neutre în stânga, cu condiția să nu aibă un element neutru în dreapta;
• unificați în dreapta dacă există un element neutru în dreapta. O lege poate prezenta mai multe elemente neutre în dreapta, cu condiția să nu prezinte un element neutru în stânga;
• unificat (uneori unitar ) dacă există un element neutru (care este atunci unic).

Regularitate și proprietăți conexe

• ∗{\ displaystyle * \,}se spune că este regulat în stânga sau simplificabil în stânga dacă toate elementele lui E sunt regulate în stânga , adică dacă:

∀ (X,y,z)∈E3, (X∗y=X∗z)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ în E ^ {3}, \ (x * y = x * z) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}se spune că este regulat în dreapta sau simplificabil în dreapta dacă toate elementele lui E sunt regulate în dreapta , adică dacă:

∀ (X,y,z)∈E3, (y∗X=z∗X)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ în E ^ {3}, \ (y * x = z * x) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}se spune că este regulat sau simplificabil dacă toate elementele lui E sunt regulate , adică dacă:

∀ (X,y,z)∈E3, [ (X∗y=X∗z)∨(y∗X=z∗X) ]⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ în E ^ {3}, \ [\ (x * y = x * z) \ lor (y * x = z * x) \] \ Rightarrow (y = z) \,} O lege este regulată dacă și numai dacă este regulată la stânga și regulată la dreapta .

Asociativitate și proprietăți analoge

Se spune o lege : ∗{\ displaystyle *}

• asociativ dacă: ∀(X,y,z)∈E3X∗(y∗z)=(X∗y)∗z{\ displaystyle \ forall \ left (x, y, z \ right) \ în E ^ {3} \ quad x * (y * z) = (x * y) * z}. Asociativitatea unei legi face posibilă renunțarea la paranteze atunci când se repetă legea; majoritatea legilor interesante sunt asociative (exemple: adunare, multiplicare, alcătuirea relațiilor binare ...);
• alternativă dacă: ∀(X,y)∈E2[X∗(X∗y)=(X∗X)∗yși(X∗y)∗y=X∗(y∗y)]{\ displaystyle \ forall \ left (x, y \ right) \ în E ^ {2} \ quad \ left [x * (x * y) = (x * x) * y \ quad {\ text {și}} \ quad (x * y) * y = x * (y * y) \ right]}. Această proprietate este mai slabă decât asociativitatea;
• puteri asociative dacă, atunci când un element este compus de el însuși de mai multe ori, ordinea în care sunt realizate aceste compoziții nu influențează rezultatul (ceea ce implică în special :). X∗(X∗X)=(X∗X)∗X{\ displaystyle x * (x * x) = (x * x) * x}Când această proprietate este verificată, este posibil să se introducă noțiunea de putere a unui element (de unde și numele proprietății):
  • puterea n- a unui element x , de obicei notată cu x n , este egală cu rezultatul compoziției lui x în funcție de , ( n - 1) ori cu el însuși; deci, x 1 = x , x 2 = x x , x 3 = x x x ,  etc.∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *}
  • dacă în plus legea prezintă un element neutru e , stabilim x 0 = e∗{\ displaystyle *}
  • dacă în plus elementul x este inversabil ( vezi mai jos ), stabilim x –n = ( x n ) −1 .

Alte proprietăți

Se spune o lege∗{\ displaystyle *}

• se integrează dacă admite un element absorbant și dacă niciun element nu este divizor de zero;
• comutativ dacă.∀ (X,y)∈E2X∗y=y∗X{\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ în E ^ {2} \ quad x * y = y * x}

Lista de proprietăți de mai sus nu este exhaustivă, departe de ea. Cu toate acestea, în acest paragraf ne vom ocupa doar de un alt caz: în structurile algebrice care cuprind mai multe legi, unele dintre aceste legi au proprietăți legate de alte legi. Cea mai importantă dintre aceste legi relative este distributivitatea.

• O lege este distributivă în stânga cu privire la o altă lege dacă:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3X∗(y⊥z)=(X∗y)⊥(X∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ în E ^ {3} \ quad x * (y \ bot z) = (x * y) \ bot (x * z) \,}
• O lege are drept efect distributiv în raport cu o altă lege dacă:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3(X⊥y)∗z=(X∗z)⊥(y∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ în E ^ {3} \ quad (x \ bot y) * z = (x * z) \ bot (y * z) \,}
• O lege este distributivă față de o altă lege dacă este atât distributivă drept și stânga față de∗{\ displaystyle *}⊥{\ displaystyle \ bot}⊥{\ displaystyle \ bot}

De exemplu, multiplicarea este distributivă în ceea ce privește adunarea.

Notă: dacă în plus este regulat și unificat, atunci elementul său neutru este neapărat absorbant pentru lege . Acest lucru explică, printre altele, de ce, într-un câmp comutativ , elementul neutru al primei legi nu are simetrie în legea a doua. ⊥{\ displaystyle \ bot}∗{\ displaystyle *}

Reversibilitate

Această proprietate importantă merită un paragraf separat. Ne vom plasa într-o magmă ( E , ) a cărei lege unificată o vom presupune având un element neutru . Apoi este posibil să se definească următoarele concepte: ∗{\ displaystyle * \,}e{\ displaystyle e \,}

• se spune că un element este simetrizabil în stânga sau inversabil în stânga dacă:s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s′∗s=e{\ displaystyle \ există \ s '\ în E, \ s' * s = e \,} s ' este numit apoi un element simetric în stânga lui s  ;

• se spune că un element este simetrizabil în dreapta sau inversabil în dreapta dacă:s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s∗s′=e{\ displaystyle \ există \ s '\ în E, \ s * s' = e \,} s ' este numit apoi un element simetric în dreapta lui s  ;

• Orice element reversibil din stânga este regulat în stânga și la fel în dreapta. Dacă E este finit, invers este adevărat deoarece orice injecție de E în E este atunci surjectivă (vezi proprietățile bijecțiilor ).
• se spune că un element este simetrizabil sau inversabil atunci când este inversabil spre dreapta și spre stânga și cele două simetrice sunt egale;s{\ displaystyle s \,}

s ' este numit apoi un element simetric al lui s .

• se spune că legea este simetrizabilă în stânga sau inversabilă în stânga dacă toate elementele lui E sunt inversabile în stânga ;∗{\ displaystyle * \,}
• se spune că legea este dreaptă-simetrizabilă sau dreapta- inversabilă dacă toate elementele lui E sunt dreapta-inversabile  ;∗{\ displaystyle * \,}
• se spune că legea este simetrizabilă sau inversabilă dacă toate elementele lui E sunt inversabile .∗{\ displaystyle * \,}

Dacă legea este mai mult asociativă , există unicitate, pentru elementele simetrizabile la stânga (respectiv la dreapta ), a simetricelor lor la stânga (respectiv la dreapta). Și dacă un element s este simetrizabil la dreapta și la stânga, atunci simetricul său la stânga și la dreapta este neapărat egal unul cu celălalt și, prin urmare, acest element este simetrizabil. Simetria sa este de obicei denotată „  s -1  ”. ∗{\ displaystyle * \,}

Exemple:

• 2 nu este simetrizabil pentru adunarea în numere naturale  ;
• 2 este simetrizabil, cu simetric –2, pentru adunare în numere întregi relative  ;
• 2 nu este inversabil pentru produs în numere întregi relative;
• 2 este inversabil, invers 1/2, pentru produsul din rațional .

Notă :

Când legea este notată aditiv, simetricul este mai degrabă numit opus , iar când legea este notată în mod multiplicativ, simetricul este numit mai degrabă invers .

Numărul legilor compoziției interne pe un set cu n elemente

Fie E o mulțime cu n elemente.

Numărul legilor compoziției interne pentru E este numărul de mapări de la E × E la E , adică

nu(nu2){\ displaystyle n ^ {(n ^ {2})}}.

De asemenea, putem număra câte dintre ele sunt comutative. O lege comutativă pentru E este în întregime determinată de valoarea sa x✲y = y✲x pentru perechile { x, y } și valoarea sa x✲x pentru singletoni { x }. Numărul acestor perechi și singletons fiind , numărul de legi comutative pe E este , prin urmare ,Γnu2=(nu+12)=nu(nu+1)2{\ displaystyle \ Gamma _ {n} ^ {2} = {n + 1 \ alege 2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

nunu(nu+1)/2 {\ displaystyle n ^ {n (n + 1) / 2} ~}.

Vezi și tu

• Algebră universală
• Morfism

Notă

1. Această utilizare a expresiei „operație binară” este inspirată de expresia engleză „operație binară” , utilizată în locul „legii compoziției”. În matematică, cuvântul „  operație  ” poate desemna și altceva decât o lege a compoziției interne.

Referințe

• N. Bourbaki , Elemente de matematică , vol.  II: Algebră, capitolele 1-3 , Berlin, Springer,1970( Repr.  2007), ed. A 2- a  . ( ISBN  978-3-540-33849-9 , prezentare online )
• Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">