În matematică , într-un inel , un divizor de zero este un element diferit de zero al cărui produs de un element diferit de zero este zero.
Fie un inel și astfel încât , unde este elementul neutru pentru lege .
Spunem că este un divizor stâng al zero în dacă
Spunem că este un divizor de zero în dreapta în cazul în care
Spunem că este un divizor de zero în dacă este un divizor de zero la stânga în sau un divizor de zero la dreapta în .
Se spune că un element al este regulat dacă nu este nici zero, nici divizorul lui zero.
Un divizor de zero nu poate fi inversabil ; în special, un câmp comutativ (sau chiar un câmp stâng ) nu conține un divizor de zero. Într-adevăr, să fie un element al unui inel divizor de zero. Presupunem că este inversabil. Apoi, prin definiție, există non-zero astfel încât , și prin compunerea din stânga vine , contradicție.
Se spune că un inel comutativ este integral dacă nu este redus la zero și nu admite niciun divizor al zero.
Inelul Z al numerelor întregi relative este integral, precum și câmpul comutativ al numerelor raționale , sau reale sau complexe (orice câmp în general).
În inelul Z / 6 Z , clasa 4 este un divizor al zero, deoarece 4 × 3 este congruent cu 0 modul 6, în timp ce 3 și 4 nu sunt congruente cu 0 modul 6.
Mai general, în inelul Z / n Z pentru n > 0, ca în orice inel finit, orice element regulat este inversabil, astfel încât divizorii zero sunt exact elementele nenule și neinversibile . În consecință (conform teoremei Bachet-Bézout ) acestea sunt clasele modulo n de numere întregi relative care nu sunt nici divizibile cu n , nici prime cu n .
Inelul de matrice pătrat în două rânduri și două coloane conține divizori zero reali. De exemplu, matricea
este un divizor al zero, într-adevăr este non-zero și avem
Mai general, divizorii zero din dreapta într-o algebră a matricilor cu coeficienți într-un câmp sunt matricile nesurjective și divizorii din stânga sunt matricile neinjective . Când , divizorii stânga și dreapta ai zero coincid și acestea sunt matricile neinversibile.
Setul de funcții în sine este un inel care admite divizori ai zero. Într-adevăr, dacă luăm funcția caracteristică a raționalelor, precum și funcția caracteristică a iraționalelor, este clar că aceste două funcții sunt diferite de funcția nulă , totuși produsul lor oferă funcția nulă, deoarece un număr real este rațional sau altfel irațional.
Mai general, dacă este o algebră asociativă , haideți să denotăm prin algebra funcțiilor , unde este orice mulțime neocupată. Divizorii zero ai sunt exact funcții diferite de zero care au zero sau un divizor de zero în imaginea lor.