Element absorbant

În matematică ( algebră ), un element absorbant (sau element permis ) al unui set pentru o lege de compoziție internă este un element al acestui set care transformă toate celelalte elemente în element absorbant atunci când este combinat cu ele prin această lege.

Definiție

Sau o magmă . Se spune un element al : $(E, \ stea)$ $la$ $E$

absorbant pe stânga dacă ; ${\ displaystyle \ forall x \ în E, \ a \ stea x = a}$
absorbant pe dreapta dacă ; ${\ displaystyle \ forall x \ in E, \ x \ star a = a}$
absorbant dacă este absorbant în dreapta și în stânga.

Proprietăți

Într-o baltă

Într-o magmă , elementul absorbant, dacă există: (E,⋆){\ displaystyle (E, \ star)} $(E, \ stea)$
- este unic dacă și sunt doi membri absorbanți ; $a_1$ $a_ {2}$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ star a_ {2} = a_ {2}}$
- este idempotent : dacă este absorbant . $la$ ${\ displaystyle a \ star a = a}$
Dacă o magmă are un element absorbant în stânga și un element absorbant în dreapta, aceste două elemente sunt egale, iar magma are un element absorbant. Într-adevăr, dacă este absorbant la stânga și absorbant la dreapta, atunci . $a_1$ $a_ {2}$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ star a_ {2} = a_ {2}}$
Mai multe elemente absorbante în stânga sau în dreapta pot exista într-o magmă dată, dar dacă există mai multe elemente absorbante în stânga, nu există niciunul în dreapta. Într-adevăr, să presupunem și două elemente absorbante la stânga și un membru absorbant la dreapta . Prin simetrie, dacă există mai multe elemente absorbante în dreapta, nu există niciunul în stânga. $a_1$ $a_ {2}$ $b$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {1} \ stea b = b = a_ {2} \ stea b = a_ {2}}$

Într-un inel

Într-un inel ( A , +, ×), elementul neutru 0 din + este absorbant pentru ×.

Într-adevăr, pentru toate x , y ∈ A :

( x × y ) + 0 = x × y = ( x + 0) × y (deoarece 0 este neutru pentru +), deci
( x × y ) + 0 = ( x × y ) + (0 × y ) (deoarece × este distributiv față de +), deci
0 = 0 × y (deoarece + este regulat , ca orice distribuție de grup )

și (în mod similar):

0 = y × 0.

Exemple

Elementul absorbant al multiplicării între numerele reale este zero : (acesta este, de asemenea, un exemplu de element neutru al primei legi a inelului, absorbant pentru al doilea). În mod similar, vectorul zero este un element absorbant pentru produsul încrucișat, iar setul gol este un element absorbant pentru intersecția mulțimilor. $a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0$
Elementul absorbant al disjuncției este ADEVĂRAT și cel al conjuncției este FALS. Cu alte cuvinte, 1 este elementul absorbant al funcției SAU (sau inclusiv) și 0 este elementul absorbant al funcției ȘI .
În mulțimea P ( E ) a părților unei mulțimi E , elementul E este absorbant pentru reunire .
Singurul grup cu un element absorbant este grupul trivial .
În setul de hărți ale lui ℝ în ℝ dotat cu legea , elementele absorbante din stânga sunt funcții constante și nu există niciun element absorbant în dreapta. ${\ displaystyle (f, g) \ mapsto f \ circ g}$

Vezi și tu