Dualitatea lui Poincaré

În matematică , teorema de dualitate Poincare este un rezultat de bază privind structura grupurilor de coomologie de soiuri , în care, în cazul în care M este o varietate ( de exemplu , „închis“ compact și fără margine ) orientate dimensiune n , k -lea coomologia grupul M este izomorfă la grupul său de omologie ( n - k ), pentru orice număr natural k ≤ n :

H ^ {k} (M) \ simeq H _ {{nk}} (M).

Dualitatea Poincaré are loc indiferent de inelul coeficienților, de îndată ce a fost aleasă o orientare în raport cu acest inel; în special, deoarece orice varietate are o orientare mod 2 unică , dualitatea este adevărată mod 2 fără nici o presupunere de orientare.

Istorie

O formă a dualității Poincaré a fost declarată pentru prima dată fără demonstrație de Henri Poincaré în 1893, cu privire la numerele Betti : numerele k -th și ( n - k ) -th Betti ale unei n -variete orientabile sunt egale. Noțiunea de cohomologie nu va fi clarificată decât după aproximativ 40 de ani mai târziu. În analiza articolului său situs din 1895, Poincaré a încercat să demonstreze teorema folosind teoria topologică a intersecției (în) , inventată de el. Criticile lui Poul Heegaard asupra operei sale l-au făcut să-și dea seama că dovezile sale erau false, fără îndoială. În primele două complemente ale Analizei Situs , Poincaré a făcut o altă demonstrație, în problema dublei triangulații .

Dualitatea lui Poincaré nu și-a luat forma modernă până la nașterea cohomologiei în anii 1930, când Eduard Čech și Hassler Whitney au inventat produsele pentru cupe și capace și au formulat această dualitate în acești noi termeni.

Formulare modernă

Declarația modernă a teoremei de dualitate Poincaré este în termeni de omologie și coomologie: dacă M este închis orientat n -variety apoi, pentru toți întreg k , există un canonic izomorfism al lui k -lea coomologia grup H k ( M ) în ei ( n - k ) -lea grup de omologie H n - k ( M ). (Aici, omologie și coomologie sunt luate la coeficienți în inelul de întregi, dar aceeași teorema este valabil pentru orice inel de coeficienți.) Această izomorfism este aplicarea plafonare produs de clasa fundamentală (ro) de M corespunzătoare orientării .

Pentru o varietate orientată non-compactă, este necesar să se înlocuiască cohomologia cu cohomologia cu suport compact (en) .

Grupurile de omologie și cohomologie în grade strict negative fiind zero prin definiție, un corolar al dualității Poincaré este că, pentru o varietate închisă orientabilă, ele sunt, de asemenea, zero în grade strict mai mari decât n .

Structuri celulare duale

Orice triangulație T a unei n -variații M corespunde unei descompuneri duale de poliedru, ale cărei celule k- sunt în bijecție cu celulele ( n - k ) ale triangulației, care generalizează noțiunea de poliedru dual .

Mai exact, lăsați S un simplex al lui T , vom defini DS-ul său cu celule duale . Fie un Δ n -implex de T care conține S , astfel încât să puteți vedea S ca un subset de Δ vârfuri. Definim Δ ∩ DS ca convexă (Δ în) din isobarycentres tuturor subseturi de vârfuri care conțin Δ S . Se poate verifica dacă S are dimensiunea i atunci DS este o celulă ( n - i ) . În plus, aceste celule formează o descompunere a celulei duale a lui M , iar singura ( n - i ) celulă duală care îndeplinește i- celula S este DS . Astfel, ambreiajul C i M ⊗ C n - i M → ℤ dat de intersecții induce un izomorfism al lui C i M în C n - i M , unde C i denotă aici omologia triangulației celulare T , și C n - i M și C n - i M sunt celula de cohomologie a descompunerii duale. Pentru a demonstra dualitatea Poincaré, rămâne să dovedim că aceste izomorfisme sunt un complex de izomorfisme . Acest lucru se datorează faptului că relația de margine pentru triangulația T este prin S ↦ DS , relația de incidență cu descompunerea duală.

Naturaleţe

Functor H k este contravariant, în timp ce H n - k este covariantă. Familia de izomorfisme

D M : H k ( M ) → H n - k ( M )

este natural în următorul sens: dacă o hartă continuă f : M → N între două n -variații direcționate este compatibilă cu orientările, adică dacă trimite clasa fundamentală a lui M peste cea a lui N , atunci D N = f ∗ D M f *, unde f ∗ și f * sunt hărțile induse de f în omologie și în cohomologie.

Presupunerea de compatibilitate este foarte puternică și crucială, deoarece pentru un f continuu , f * nu este, în general, injectiv : de exemplu, dacă f este o acoperire , f * trimite clasa fundamentală a lui M pe un multiplu al celui de N , multiplicatorul fiind gradul hărții f .

Formulare de cuplare biliniară

De-a lungul acestei secțiuni, grupurile de omologie sunt coeficienți întregi.

Două cuplaje

Să presupunem că M este o varietate închisă orientabilă și notăm τ H i ( M ) grupul sub- răsucit al lui H i ( M ) și λ H i ( M ) = H i ( M ) / τ H i ( M ) partea sa liberă . Există apoi mapări biliniare care sunt cuplaje de dualitate (într-un sens explicat mai târziu):

produsul intersecție (în)

\ lambda H_ {i} M \ otimes \ lambda H _ {{ni}} M \ to \ mathbb {Z}

și forma de cuplare a răsucirilor

\ tau H_ {i} M \ otimes \ tau H _ {{ni-1}} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z},

unde ℚ / ℤ denotă grupul coeficient al grupului rațional aditiv prin cel al numerelor întregi. În aceasta din urmă apare un –1 în dimensiune, astfel încât suma celor două grade este n - 1 și nu n .

Dacă varietatea M este netedă , se poate calcula intersecția a două clase de omologie în produsul perturbator pentru a face transversală și calcularea numărului de intersecție (en) orientat. În ceea ce privește cuplarea a două elemente de torsiune x și y , acesta se calculează realizând nx ca muchia unei clase z . Forma trimite ( x , y ) pe fracția cu numitorul n și numărătorul egal cu numărul de intersecție transversală a lui z cu y .

Afirmația că aceste două forme sunt cuplaje ale dualității înseamnă că numesc

\ lambda H_ {i} M \ to {{\ rm {Hom}}} _ {{\ mathbb {Z}}} (\ lambda H _ {{ni}} M, \ mathbb {Z})

și

\ tau H_ {i} M \ to {{\ rm {Hom}}} _ {{\ mathbb {Z}}} (\ tau H _ {{ni-1}} M, \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})

sunt izomorfisme ale grupurilor.

Deducem atât dualitatea Poincaré

H_ {i} M \ simeq H ^ {{ni}} M

și teorema coeficienților universali cu coeficienți întregi, adică izomorfisme

\ lambda H ^ {{ni}} M \ simeq {{\ rm {Hom}}} (H _ {{ni}} M, \ mathbb {Z})

și

\ tau H ^ {{ni}} M \ simeq {{\ rm {Ext}}} (H _ {{ni-1}} M, \ mathbb {Z}) \ simeq {{\ rm {Hom}}} (\ tau H _ {{ni-1}} M, \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}).

Rezultă că λ H i ( M ) și λ H n - i ( M ) sunt izomorfe (nu în mod natural ) și la fel, τ H i ( M ) și τ H n - i - 1 ( M ) sunt izomorfe.

Dimensiune intermediară

În timp ce pentru majoritatea dimensiunilor, dualitatea Poincaré induce o cuplare între diferite grupuri de omologie, în dimensiunea intermediară induce o formă biliniară pe același grup de omologie. Forma de intersecție rezultată este un invariant topologic foarte important. Ceea ce se numește „dimensiunea intermediară” depinde de paritate.

Dacă varietatea are o dimensiune uniformă n = 2 k , care este cazul cel mai adesea luat în considerare, dimensiunea intermediară este dimensiunea jumătate, k = n / 2 și avem o formă pe partea liberă a omologiei de grad k : $\ lambda H_ {k} M \ otimes \ lambda H_ {k} M \ to \ mathbb {Z}.$
Dacă M are o dimensiune ciudată n = 2 k + 1, un caz mai puțin menționat, dimensiunea intermediară este partea întreagă k a jumătății dimensiunii și avem o formă pe partea de torsiune a omologiei de grad k : $\ tau H_ {k} M \ otimes \ tau H_ {k} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.$ Cu toate acestea, există și o cuplare între partea liberă a acestei omologii de grad k și cea a omologiei de grad k + 1: $\ lambda H_ {k} M \ otimes \ lambda H _ {{k + 1}} M \ to \ mathbb {Z}.$

Grupurile implicate, nici un singur grup cu o formă biliniară, formează un singur diferențial complex și sunt studiate în teoria L (in) algebrică.

Aplicații

Această abordare a dualității Poincaré a fost utilizată de Przytycki (en) și Yasuhara pentru a da o clasificare elementară, până la homotopie și până la difeomorfism , a spațiilor lenticulare de dimensiunea 3 .

Formularea izomorfismului Thom

Poincaré dualitate este strâns legată de izomorfismul Thom în omologie. Întotdeauna ia în considerare o n -Variety închis orientate M . Sunt M × M sunetul produs de sine și V o vecinătate tubular deschide diagonală în M × M . Considerăm următoarele aplicații:

produsul încrucișat în omologie ${\ displaystyle H _ {*} M \ otimes H _ {*} M \ to H _ {*} (M \ times M)}$ ;
includere ${\ Displaystyle H _ {*} (M \ times M) \ to H _ {*} \ left (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right)}$ ;
hărții excizie , unde $ν$ M denotă normală bilă mănunchiul diagonalei în M × M ${\ displaystyle H _ {*} \ left (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right) \ to H _ {*} (\ nu M, \ partial \ nu M)}$ ;
Izomorfismul lui Thom ${\ displaystyle H _ {*} (\ nu M, \ partial \ nu M) \ to H _ {* - n} M}$ ,care este bine definit grație identificării standard a $ν$ M cu pachetul orientat TM .

Prin compoziție, obținem un produs de intersecție

H_ {i} M \ otimes H_ {j} M \ to H _ {{i + jn}} M

care generalizează pe cel văzut mai sus . Generalizăm în același mod forma de cuplare pe torsiuni, utilizând teorema lui Künneth .

Această formulare a dualității Poincaré își datorează popularitatea faptului că se extinde la orice teorie homologică generalizată având o noțiune de orientabilitate, adică a unui izomorfism Thom. De exemplu, pentru teoria K topologică complexă, noțiunea bună de orientabilitate este existența unei structuri de spin ℂ .

Generalizări și rezultate conexe

Teorema de dualitate Poincare-Lefschetz (in) este o generalizare pentru distribuitoarele cu frontiera .

În cazul neorientabil, luând în considerare pachetul de orientări locale, putem da o afirmație independentă de orientabilitate: vezi dualitatea Poincaré cu coeficienți locali (en) .

Dualitatea Blanchfield este o versiune a dualității Poincaré, care oferă un izomorfism între omologia unei acoperiri abeliene a unui distribuitor și cohomologia corespunzătoare la suporturile compacte. Este utilizat pentru rezultatele de bază ale structurii pe modulul Alexander și poate fi utilizat pentru a defini semnăturile (în) un nod .

Odată cu dezvoltarea, din jurul anului 1955, a așa-numitelor teorii homologice „extraordinare”, omologia H ∗ ar putea fi înlocuită cu alte teorii prin generalizarea formulării prin izomorfismul lui Thom, așa cum s-a explicat mai sus .

Dualitatea Verdier (in) este generalizarea adecvată a obiectelor geometrice (cu singularitati posibile) ca spații analitice (în) sau modele , în timp ce omologie intersecție (în) a fost dezvoltat de Mark Goresky si Robert MacPherson pentru spații stratificat (ro) ca reale sau varietăți algebrice complexe, tocmai cu intenția de a generaliza această dualitate la astfel de spații stratificate.

Există multe alte forme de dualitate geometrică în topologia algebrică , cum ar fi Lefschetz (în) , Alexander , Hodge și Spanier-Whitehead (în) .

Mai algebric, ea poate abstractă noțiunea de complex Poincaré (in) , un obiect algebrică care se comportă ca complexe lanțurile singulare ale unei varietăți și în controale special dualitate Poincaré asupra grupurilor de omologie, în ceea ce privește elementul privilegiat joacă rolul clasa fundamentală. Teoria intervenției chirurgicale folosite pentru a algébriser întrebări cu privire la soiurile. Un „spațiu Poincaré” este un spațiu al cărui complex de lanțuri singular este un complex Poincaré. Nu este întotdeauna o varietate, dar eșecul său de a fi unul este măsurată prin teoria obstrucția .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Poincaré duality ” (a se vedea lista autorilor ) .

Patrick Popescu-Pampu, " La dualité de Poincaré " , CNRS,28 noiembrie 2012
(în) „ Formular de conectare ” pe Atlasul Manifold .
(în) Józef H. Przytycki și Akira Yasuhara , " Simetria legăturilor și clasificarea spațiilor lentilelor " , Geom. Ded. , vol. 98, n o 1, 2003, arXiv : math / 0011119 .
(în) Yuli Rudyak (în) , noi Thom Spectra Orientabilitate și cobordism , Springer ,1998, 587 p. ( ISBN 978-3-540-62043-3 , citit on - line ).
(în) RC Blanchfield , " Teoria intersecției varietăților cu operatori cu aplicații la teoria nodurilor " , Ann. Matematica. , vol. 65, n o 21957, p. 340–356 ( JSTOR 1969966 ).

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

(ro) Phillip Griffiths și Joseph Harris , Principles of Algebraic Geometry , Wiley,1994( ISBN 978-0-471-05059-9 )