Gradul unei cereri

Gradul de implementare continuă între soiuri de aceeași dimensiune este o generalizare a conceptului de lichidare un cerc pe el însuși. Este un invariant omologic cu valori întregi .

Definiția sa, rezervată inițial pentru mapări diferențiate, se extinde la mapări continue prin trecerea la limită datorită invarianței sale de homotopie. Dar construcția grupurilor de omologie face posibilă și propunerea unei definiții directe pentru aplicații continue.

Serpuit, cotit

Pentru o aplicare continuă a cercului unitar S 1 în sine, $f: S ^ {1} \ to S ^ {1},$ gradul de înfășurare este definit după cum urmează .

Noi parametru S 1 de $p: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}, \ quad t \ mapsto {{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} t}}.$

O teoremă de ridicare arată apoi că pentru orice hartă continuă $γ$ : ℝ → S 1 și orice alegere a unui t real astfel încât $γ$ (0) = p ( t ), există o hartă continuă unică $Γ$ : ℝ → ℝ astfel încât $γ = p \circ Γ$ și $Γ (0) = t$ .

Prin aplicarea acestei teoreme la $γ: = f \circ p$ , găsim deci o aplicație continuă ${\ tilde f}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R},$ unic până la o constantă aditivă (multiplu de $2π$ ), astfel încât $f \ circ p = p \ circ {\ tilde f}.$

Deoarece funcția este continuă și valorile sale sunt multipli întregi de $2π$ , este constantă. Factorul întreg al acestui multiplu se numește gradul de înfășurare a lui $f$ . $x \ mapsto {\ tilde f} (x + 2 \ pi) - {\ tilde f} (x)$

În geometria diferențială

Definiție

Fie M și N două colectoare diferențiale orientate (fără margini) de aceeași dimensiune , astfel încât M este compact și N este conectat .

Să f o cartografiere diferențiabilă de M în N .

(Definiția poate fi extinsă și la colectoarele cu margine, cu condiția ca funcția f să păstreze marginea.)

Conform teoremei lui Sard , există un punct y al lui N care este o valoare regulată a lui f .

În orice punct x al preimaginii , diferențialul induce, prin urmare, o hartă liniară surjectivă între spațiile tangente (orientate) și . $\ f ^ {{- 1}} (\ {y \})$ ${\ mathrm D} _ {x} f$ $\ T_ {x} M$ $\ T_ {y} N$

Prin egalitate de dimensiuni, aceste hărți liniare sunt izomorfisme ale spațiilor vectoriale orientate.

Semnul lor , notat , este definit ca egal cu +1 dacă se păstrează orientarea și cu –1 în caz contrar. $\ operatorname {sign} ({\ mathrm D} _ {x} f)$ ${\ mathrm D} _ {x} f$

Prin compactitatea lui M , preimaginea este finită și gradul de f în y poate fi definit prin suma: $\ f ^ {{- 1}} (\ {y \})$

\ deg (f, y) = \ sum _ {{x \ in f ^ {{- 1}} (y)}} {\ operatorname {sign} ({\ mathrm D} _ {x} f)}.

Semnul întregului depinde de alegerea direcțiilor de M și N . Pentru soiurile direcționate, dar nu direcționate , gradul de f din el este, prin urmare, definit doar ca număr natural .

În cazul în care distribuitorul de M și N nu ambele sunt orientabil, gradul de f într - o valoare obișnuită y poate fi pur și simplu , definit de paritatea a cardinalitatea a preimage, cu alte cuvinte:

\ deg (f, y) = \ sum _ {{x \ in f ^ {{- 1}} (y)}} {1} \ in \ mathbb {Z} / (2)

Rezultatul acestui calcul este independent de alegerea valorii obișnuite. Prin urmare, gradul de f este notat pur și simplu deg ( f ).

Exemple

Cererea de identitate este de gradul 1.
Harta antipodală pe sfera S n este de grad (–1) n +1 .
Dacă harta f nu este surjectivă, un punct al lui N care nu este în imaginea lui f este o valoare regulată, deci gradul lui f este egal cu zero.
Acesta este cazul în special dacă N este necompact sau dacă f este constant și N nu este redus la un punct.
Dacă f este o acoperire a colectoarelor diferențiale compacte orientabile fără margine, gradul de f este egal cu numărul de pliante.

Principalul interes al acestei noțiuni constă în faptul că, dacă două hărți sunt homotopice , acestea au același grad.

În consecință, sferele S n nu sunt contractile, iar harta antipodală nu este omotopă cu identitatea de pe sferele uniforme.

Gradul constituie chiar un invariant complet pentru sfere: două hărți de la S n la S n sunt homotopice dacă și numai dacă au același grad.

Mai general, teorema lui Hopf asigură faptul că pentru orice colector M de dimensiune n , orientabil, compact și fără margini, două hărți continue de la M la S n sunt homotopice dacă (și numai dacă) au același grad.

Definiție

Fie M și N două varietăți compacte orientate de aceeași dimensiune n , ale căror clase de orientare respective sunt notate [ M ] și [ N ]. Condiția de orientare poate fi eliminată dacă grupurile de omologie sunt calculate cu coeficienți în ℤ / (2).

Dacă colectorul N este conectat, clasa [ N ] este un generator al grupului . $H_ {n} (N, \ parțial N)$

Fie f o hartă continuă de la M la N care păstrează limita. Cei induse hartă omologie asociază cu clasa [ M ] un element de λ [ N ] a . $f _ {*}$ $H_ {n} (N, \ parțial N)$

Numărul λ este apoi numit grad de f și notat deg ( f ).

Proprietatea de excizie a omologiei face posibil să se arate că această definiție se extinde pe cea dată de geometria diferențială.

Mai general, noțiunea de grad poate fi extinsă la orice aplicație între perechi de spații prevăzute cu o clasă generând un grup de omologie într-o dimensiune fixă. Aceasta va include discuții despre grad pentru o aplicație între Poincaré complex (în) sau între spații Thom .

Proprietăți

Gradul este deci un invariant omologic.

Prin dualitatea Poincaré folosind cohomologia De Rham , gradul poate fi obținut și prin integrarea pe varietatea sursă a unei forme de volum a varietății obiectivului.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Teorema Hopf ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) John Milnor , Topologia din punct de vedere diferențiat [ ediții cu amănuntul ], p. 31 .
(în) Enrique Outerelo și Jesús Ruiz, Teoria gradului de cartografiere , Providence, AMS,2009, 244 p. ( ISBN 978-0-8218-4915-6 , citit online ).

Articol asociat

Index (analiză complexă)