Dublă pereche

În analiza funcțională , o pereche duală sau un sistem dual denotă o pereche de spații vectoriale dotate cu o formă bilineară nedegenerată .

În analiza funcțională, studiul spațiilor vectoriale normalizate necesită uneori să-i analizăm relația cu dualul său topologic , care este spațiul vectorial format din toate hărțile liniare continue definite pe spațiul de pornire. O pereche duală generalizează acest concept, dualitatea fiind exprimată printr-o hartă biliniară. Din această hartă biliniară, putem folosi semi-norme pentru a construi o topologie polară (ro) pe spații vectoriale și pentru a forma spații convexe local , care sunt generalizarea spațiilor vectoriale normale.

Definiții

Fie și să fie două spații vectoriale pe același câmp comutativ . Să fie algebrică dualul a și cea a ( pe parcursul acestui articol vom presupune că axioma de alegere să fie adevărat). $X$ $Da$ $K$ $X ^ {*}$ $X$ $Y ^ {*}$ $Da$

Definiție (formă bilineară nedegenerată): Fie o formă biliniară . Induce două aplicații liniare ${\ displaystyle B: X \ times Y \ to K}$

${\ displaystyle X \ to Y ^ {*}; x \ mapsto B (x, \ cdot)}$
${\ displaystyle Y \ to X ^ {*}; y \ mapsto B (\ cdot, y)}$

Se spune că aplicația biliniară este: $B$

nu este degenerat în stânga dacă este injectiv , ${\ displaystyle X \ to Y ^ {*}}$
nu degenerează pe dreapta dacă este injectiv, ${\ displaystyle Y \ to X ^ {*}}$
nu degenerează dacă nu este degenerată în stânga și în dreapta. $B$

Definiție (pereche duală): Fie și să fie două spații vectoriale pe același câmp comutativ . Luați în considerare o formă biliniară. Spunem apoi că X și Y sunt puse în dualitate de . Dacă, în plus, nu este degenerat: $X$ $Da$ $K$ ${\ displaystyle B: X \ times Y \ rightarrow K}$ $B$ $B$

$X$ și se spune că sunt în dualitate (sau sunt puse în dualitate separatoare ), $Da$
scriem în loc de , $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $B$
se spune că tripletul este o pereche duală , ${\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$
se spune că harta biliniară este o împerechere duală . $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

Două elemente și sunt ortogonale dacă $x \ în X$ $y \ în Y$

{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}

Două seturi și sunt ortogonale dacă există o pereche de elemente ale și sunt ortogonale. ${\ displaystyle M \ subseteq X}$ ${\ displaystyle N \ subseteq Y}$ $M$ $NU$

Perechi duale slabe și puternice

Definiție (pereche duală puternică): Fie o pereche duală. Împerecherea duală induce două aplicații ${\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

${\ displaystyle X \ to Y ^ {*}; x \ mapsto \ langle x, \ cdot \ rangle}$
${\ displaystyle Y \ to X ^ {*}; y \ mapsto \ langle \ cdot, y \ rangle}$

Se spune că perechea duală este puternică (iar perechea duală se spune că este puternică ) atunci când aceste ultime două hărți sunt surjective . O pereche duală care nu este neapărat puternică ( adică perechea duală nu neapărat puternică) se spune că este slabă . ${\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$

Notă: Folosind faptul că injecția naturală a în bidual sale algebrică este surjectivă dacă și numai dacă este de dimensiune finită, este ușor de a dovedi că o pereche dublă este puternică dacă și numai dacă și sunt finite dimensiuni . În funcție de context, această ultimă (proto-) definiție a unei perechi duale puternice poate fi modificată (luând în considerare surjectivitatea față de anumite sub spații ale și ) pentru a explica proprietățile mai subtile ale unei perechi duale date (a se vedea exemplul 3 de mai jos. ). ${\ displaystyle J: X \ to X ^ {**}}$ $X$ ${\ displaystyle X ^ {**}}$ $X$ $X$ $Da$ $X ^ {*}$ $Y ^ {*}$

Exemple

Exemplul 1: Fieun spațiu vectorial (sau un modul pe un inel ) și dualul său algebric . Luați în considerare aplicația biliniară $X$ $X ^ {*}$

{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ times X \ rightarrow K: (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}

cuplarea dualității corespunzătoare între și . Corespunde cu două aplicații liniare $X ^ {*}$ $X$

{\ displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}}

{\ displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}

Prima aplicație este identitatea pe (și, prin urmare, este injectivă). A doua aplicație este injecția naturală în bidual algebric . Această ultimă aplicație este injectivă deoarece separă punctele de , adică pentru tot ceea ce există tq (acest lucru se datorează axiomei de alegere). Făcând acest lucru, nu este degenerat și este o împerechere duală, numită împerechere naturală (sau împerechere duală canonică ), între și dublul său algebric . ${\ displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ ${\ displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}$ $X$ ${\ displaystyle X ^ {**}}$ $X ^ {*}$ $X$ ${\ displaystyle x \ in E \ backslash \ {0 \}}$ ${\ displaystyle f \ in E ^ {*}}$ ${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $X$ $X ^ {*}$

Exemplul 2: Fieo pereche duală. Atunci tripletuleste o pereche duală unde. ${\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle ')}$ ${\ displaystyle \ langle y, x \ rangle ': = \ langle x, y \ rangle}$

Exemplul 3: Fieun evt local convex pe un câmp comutativși să fie dualul său topologic . Luați în considerare aplicația biliniară $E$ $K$ $E '$

{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E '\ times E \ rightarrow K; (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}

corespunzătoare cuplării dualității între și . Aplicației biliniare îi corespund două aplicații $X '$ $X$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {*}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle}

{\ displaystyle J: E \ rightarrow (E ') ^ {*}; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}

Primul este includerea canonică a en . Să dăm topologie . Deoarece , harta liniară este -continuă și topologia este mai fină decât aceasta , se află în bidualul topologic al spațiului convex local . Luând în considerare co-restricțiile $E '$ $E ^ {*}$ $E '$ ${\ displaystyle \ beta (E ', E)}$ $x \ în E$ ${\ displaystyle J (x) \ in (E ^ {'}) ^ {*}}$ $\ sigma (E ', E)$ ${\ displaystyle \ beta (E ', E)}$ $\ sigma (E ', E)$ $J (x)$ $E ''$ $E$

{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {'}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle}

{\ displaystyle J: E \ rightarrow E ''; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}

vedem atunci că este identitatea pe (adică este un izomorfism) și că este includerea naturală a acestuia în bidualul său topologic (care este injectiv prin teorema Hahn-Banach pe spații convexe local). Rezultă că triplul este o pereche duală. În special, această pereche duală va fi puternică dacă injecția naturală este surjectivă (adică dacă este semi-reflexivă ). $\iotă$ $E '$ $J$ $E$ $E ''$ ${\ displaystyle (E ', E, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle J: E \ rightarrow E ''}$ $E$

Exemplul 4: Un spațiu de secvențe ℓp și beta-dual (en) asociate cu harta biliniară definită de $E$ ${\ displaystyle E ^ {\ beta}}$

{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x_ {i} y_ {i} \ quad x \ in E, y \ in E ^ {\ beta}}

formează o pereche duală.

Exemplul 5: Să fieovarietate netedă și reală de dimensiune finită. Fiespațiul- forme diferențiale reale cu suport compact activat. Este $M$ $nu$ ${\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {k} (M)}$ $k$ $M$

{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: \ Omega _ {c} ^ {k} (M) \ times \ Omega _ {c} ^ {nk} (M) \ to \ mathbb {R}; ( \ alpha, \ beta) \ mapsto \ langle \ alpha, \ beta \ rangle: = \ int _ {M} \ alpha \ wedge \ beta}

Deci triplul este o pereche duală. ${\ displaystyle (\ Omega _ {c} ^ {k} (M), \ Omega _ {c} ^ {nk} (M), \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Dublă pereche ” ( vezi lista autorilor ) .

(ro) Hans Jarchow, Spații local convexe , Springer ,2012( 1 st ed. 1981) ( citit on - line ) , p. 145-146.
(în) R. Abraham , JE Marsden și T. Ratiu , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications , Springer,1988, p. 103.
(în) Halmos, Paul R. , Finite-Dimensional Vector Spaces (Ediția a II-a) , New York / Heidelberg / Berlin, Princeton, NJ: Van Nostrand,1958, 199 p. ( ISBN 0-387-90093-4 ) , p. 25, 28.

Vezi și tu