Vector de ucidere

În matematică , un vector Killing , sau câmpul Killing , este un câmp vector pe o varietate (pseudo-) Riemanniană care păstrează metrica acestei varietăți și îi evidențiază simetriile continue.

Intuitiv un vector Killing poate fi văzut ca un „câmp de deplasare ” , adică asocierea cu un punct M al varietății punctul M ' definit de deplasarea lui M de -a lungul curbei care trece prin M al cărui vector tangent este. Proprietatea sa fundamentală este că acest câmp reprezintă o izometrie , adică păstrează distanțele. Astfel, distanța dintre două puncte M și N este egală cu distanța dintre imaginile lor M ' și N' prin acțiunea lui . $\ xi$ $\ xi$ $\ xi$

Aplicat pe o suprafață (varietatea dimensiunii 2) văzută ca fiind scufundată într-un spațiu tridimensional, un astfel de câmp face posibil, de exemplu, să-l „alunece” pe sine, fără ca acesta să se rupă sau să se încrețească.

Formularea matematică a acestei proprietăți se numește ecuația Killing . Aceasta precizează că derivatul Lie al metrică în raport cu vectorul Killing este zero, adică, în orice sistem de coordonate , $\ xi$

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

D fiind derivatul covariant asociat metricei.

Din aceasta, deducem un anumit număr de proprietăți asociate vectorilor Killing.

Istorie

Eponim vectorului este Wilhelm KJ Killing (1847-1923), un matematician german care l-a introdus în1892.

Proprietăți

Divergenţă

Prin contractarea ecuației Killing cu metrica, obținem imediat:

{\ displaystyle D_ {a} \ xi ^ {a} = 0}

Un vector Killing este întotdeauna divergență zero.

Constantele mișcării

Produsul punct al unui vector Killing cu vectorul tangent al unei geodezice este constant de-a lungul unei căi. Dacă notăm acest vector tangent, avem deci ${\ displaystyle u ^ {a}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

operatorul reprezentând derivata în raport cu un parametru afin al geodeziei. ${\ displaystyle D / d \ tau}$

Demonstrație

Operatorul se poate rescrie singur, în conformitate cu definiția unui geodezic, ${\ displaystyle D / d \ tau}$

{\ displaystyle D / d \ tau = u ^ {b} D_ {b}}

Deci avem

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a} )}}

Folosind regula derivatelor a lui Leibniz , obținem apoi

{\ displaystyle u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} u ^ {a} D_ {b} \ xi _ {a} + u ^ { b} \ xi _ {a} D_ {b} u ^ {a}}

Al doilea termen de egalitate este zero. Într-adevăr, însăși definiția unui geodezic este că vectorul său tangent este păstrat de-a lungul geodeziei, adică

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} u ^ {a} = u ^ {b} D_ {b} u ^ {a} = 0}

Primul termen de egalitate este, de asemenea, zero. Într-adevăr, ecuația Killing indică faptul că tensorul este antisimetric. Prin urmare, contracția sa cu un tensor simetric este zero. Deci avem ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

Această proprietate este utilă în special pentru integrarea ecuației geodezice. Într-adevăr, existența unui număr suficient de vectori Killing face posibilă prezentarea unui număr suficient de constante de mișcare care permit rezoluția imediată și explicită a ecuației geodezice . Un exemplu simplu este cel al metricei Schwarzschild , care este simetrică sferic și static. Prima proprietate permite prezentarea a doi vectori Killing și a doua un vector Killing suplimentar. Constantele mișcării sunt asociate cu standardul momentului unghiular , proiecția acestuia de-a lungul unei axe și o cantitate în care o abordare nerelativistă ar putea fi identificată cu energia particulelor. Astfel, legile obișnuite ale conservării energiei și ale impulsului unghiular al mecanicii clasice sunt traduse în relativitate generală prin existența vectorilor Killing.

Relația cu tensorul Riemann

Luând derivata ecuației Killing și folosind proprietățile de comutare a derivatelor covariante, obținem o ecuație care leagă a doua derivată a unui vector Killing cu tensorul Riemann . Această relație este scrisă:

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

. Demonstrație

Din ecuația Killing, efectuăm o derivare suplimentară. Prin urmare, obținem:

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {cb} \ xi _ {a} = 0}

Derivații covarianți nu fac naveta în general, dar pot fi comutați dacă le adăugăm un termen suplimentar folosind tensorul Riemann (aceasta este chiar definiția tensorului Riemann):

{\ displaystyle D_ {cb} \ xi _ {a} = D_ {bc} \ xi _ {a} -R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Obținem astfel

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} = R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Putem rescrie această ecuație efectuând permutări pe indicii a , b și c :

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ca} \ xi _ {b} = R _ {\; bac} ^ {d} \ xi _ {d}}

{\ displaystyle D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = R _ {\; cba} ^ {d} \ xi _ {d}}

Luând suma acestor trei egalități, obținem

{\ displaystyle 2D_ {ca} \ xi _ {b} + 2D_ {bc} \ xi _ {a} + 2D_ {ab} \ xi _ {c} = (R _ {\; acb} ^ {d} + R_ {\; bac} ^ {d} + R _ {\; cba} ^ {d}) \ xi _ {d}}

În virtutea primei identități a lui Bianchi , termenii membrului din dreapta se anulează reciproc. Deci avem

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = 0}

Prin scăderea acestui lucru din prima egalitate care implică tensorul Riemann, atunci vine

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Această relație are o serie de consecințe interesante:

Prin contractarea lui a și b , obținem o relație între d'Alembertianul câmpului și tensorul Ricci : ${\ displaystyle D_ {a} D ^ {a} \ xi _ {c} = - R _ {\; c} ^ {d} \ xi _ {d}}$ .
Aceasta este o ecuație destul de similară cu cea a potențialului vectorial în electromagnetism în gabaritul Lorentz (mai ales că, așa cum potențialul vectorial este de divergență zero în gabaritul Lorentz, vectorul Killing este, de asemenea, prin construirea unei divergențe zero). Singura diferență vine de la semnul tensorului Ricci, care este opusul celui găsit în electromagnetism. În cazul în care tensorul Ricci dispare, analogia dintre vectorul Killing și potențialul vector este chiar mai mare (ambele respectă exact aceeași ecuație).
Această ecuație, aplicată de-a lungul unei geodezii, implică faptul că vectorul Killing de-a lungul acestei geodezii este în întregime determinat de valoarea sa și de derivatele sale într-un punct. Prin extensie, vectorul Killing din întregul colector este în întregime determinat de valorile sale și de cele ale derivatelor sale într-un singur punct.
În consecință, dacă dimensiunea varietății este n , baza vectorului Killing este determinată de n numere (componentele sale), iar derivatele sale de n ( n - 1) / 2 componente (datorită antisimetriei l 'ecuației Killing ). Numărul maxim de vectori de ucidere care pot exista pe o varietate de dimensiuni n este deci n ( n + 1) / 2. Se spune că o varietate cu numărul său maxim de vectori de ucidere are simetrie maximă . Spațiul de Sitter este un exemplu de spațiu cu simetrie maximă.
Mai general, este convenabil să clasificăm varietățile dimensionale date în funcție de vectorii lor de ucidere. Această clasificare, aplicată unei anumite categorii de spațiu-timp de dimensiunea 4 ( spații omogene ), se numește clasificare Bianchi .

Relațiile cu teorema lui Noether

Contracția unui vector Killing cu tensorul energie-impuls face posibilă prezentarea unui vector de divergență zero. $T ^ {{ab}}$

Demonstrație

Într-adevăr, divergența cantității dă ${\ displaystyle T ^ {ab} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = T ^ {ab} D_ {a} \ xi _ {b} + \ xi _ {b} D_ {a} T ^ { ab}}

Primul termen este zero, deoarece este contracția unui tensor simetric ( ) și a unui tensor antisimetric ( , conform ecuației Killing). Al doilea termen este, de asemenea, zero, deoarece impulsul tensorului energetic este, prin definiție, divergența zero ( ). Deci avem $T ^ {{ab}}$ ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle D_ {a} T ^ {ab} = 0}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = 0}

Existența acestui vector de divergență zero face posibilă definirea mărimilor conservate prin intermediul teoremei lui Noether .

În spațiul Minkowski și în coordonatele carteziene , vectorul notat este un vector Killing, care spune pur și simplu că spațiul Minkowski este invariant de translație în timp. Aceasta implică apoi conservarea energiei . La fel, vectorii sunt și vectori Killing. Implică conservarea impulsului . Niciunul dintre acești vectori nu este, totuși, un vector Killing într-un univers în expansiune . Acesta este motivul pentru care energia radiației electromagnetice nu este conservată în timp: este fenomenul de redshift . În general, nu există neapărat vectori Killing în orice spațiu-timp . Acest lucru implică faptul că, în relativitatea generală , nu există conservare a energiei, cu excepția cazurilor speciale, cum ar fi spațiile plane asimptotic . ${\ displaystyle \ partial / \ partial t}$ $\ partial _ {t}$ ${\ displaystyle \ partial _ {x ^ {i}}}$

De asemenea , în spațiu Minkowski, vectorii , , sunt , de asemenea , vectori Killing. Existența acestor vectori implică conservarea impulsului unghiular . La fel, vectorii sunt trei vectori Killing. În limita nerelativist, acestea corespund cantității , adică valoarea i - lea de coordonate în acest moment . Acești vectori, în număr de 10, formează toți vectorii Killing liniar independent de spațiul Minkowski. ${\ displaystyle x \ partial _ {y} -y \ partial _ {x}}$ ${\ displaystyle y \ partial _ {z} -z \ partial _ {y}}$ ${\ displaystyle z \ partial _ {x} -x \ partial _ {z}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ partial _ {t} + t \ partial _ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle x ^ {i} -v ^ {i} t}$ $t = 0$

Algebra Lie a vectorilor Killing

Cârligul Lie a doi vectori Killing și este , de asemenea , un vector Killing $\ xi$ $\ zeta$

Demonstrație

Cârligul Lie al parului este scris, în termeni de componente, $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle \ zeta ^ {b} D_ {b} \ xi ^ {a} - \ xi ^ {b} D_ {b} \ zeta ^ {a}}

Pentru ca acest vector să fie un vector Killing, trebuie și este suficient să satisfacă ecuația Killing. Prin urmare, calculăm

{\ displaystyle D_ {a} \ left (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {b} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {b} \ right) -D_ {b } \ left (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {a} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {a} \ right)}

{\ displaystyle = \ zeta ^ {c} \ left (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {bc } \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) + D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a } \; D_ {b} \ xi ^ {c}}

Termenii care conțin produse din primele două derivate pot fi manipulate folosind ecuația Killing pentru și , astfel încât indicele c să nu se raporteze la derivatul covariant, ci la vector. Astfel, avem $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = - D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {b} \ xi _ {c} + D_ {b} \ zeta _ {c} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ { c} \; D_ {a} \ xi _ {c} + D_ {a} \ zeta _ {c} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = 0}

deoarece termenii se anulează reciproc. Pentru termeni care includ derivate secundare, ecuațiile Killing sunt de asemenea utilizate pentru a elimina indicele c din derivatele covariante. Avem

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ left (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {bc} \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) = \ zeta ^ {c} \ left (-D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ba} \ xi _ { c} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {ba} \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ right).}

Recunoaștem comutatorul derivatelor covariante, pe care îl putem rescrie folosind tensorul Riemann :

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ left (-D_ {ab} \ xi _ {c} -D_ {ba} \ xi _ {c} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {ba } \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ right) = \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ { c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d}}

Folosind în cele din urmă relațiile de antisimetrie pe cele două perechi de indici ai tensorului Riemann și prin inversarea indicilor silențioși c și d pe unul dintre cei doi membri ai rezultatului, obținem

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ {c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab} - \ xi ^ {c} \ zeta ^ {d} R_ {dcba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab } - \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {cdba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {cdba}) = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {dcab}) = 0}

. Deci, cârligul Lie al a doi vectori Killing este, de asemenea, un vector Killing.

Acest lucru face posibilă dotarea spațiului vectorilor Killing cu o structură algebră Lie . În relativitatea generală, prin aceasta se efectuează anumite clasificări ale spațiului-timp, cum ar fi clasificarea Bianchi menționată mai sus, care se referă la spațiu-timpurile cu patru dimensiuni ale căror secțiuni spațiale sunt omogene .

Transformare conformă

În timpul unei transformări conformale , un vector Killing își pierde proprietatea fundamentală și nu mai satisface ecuația Killing. Cu toate acestea, satisface o altă ecuație care, în anumite cazuri, se poate dovedi a fi interesantă. Vorbim apoi despre un vector de ucidere conform .

Spațiu-timp static

În relativitatea generală , un spațiu-timp (sau o regiune a acestuia) se spune că este static dacă admite un vector Killing de tip timp care poate fi văzut ca normal la hipersuprafețe. Pentru aceasta, pe lângă ecuația Killing, vectorul Killing trebuie să fie proporțional cu un gradient (hipersuprafețele pot fi văzute ca regiuni în care un anumit parametru este constant). Această ultimă condiție este scrisă în formă

{\ displaystyle \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

pe care o dovedim datorită unei teoreme a lui Frobenius . Într-un spațiu-timp cu patru dimensiuni, această condiție este atunci echivalentă cu cea de pe forma duală asociată,

{\ displaystyle \ epsilon ^ {dabc} \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

unde este un tensor complet antisimetric în toți indicii săi. $\ epsilon$

Schwarzschild metric este un exemplu de statică spațiu-timp în regiune în afara razei Schwarzschild . Reissner-Nordström metrica are aceeași proprietate. Metrica unor astfel de spații poate fi scrisă într-un anumit sistem de coordonate în formă ${\ displaystyle (t, x ^ {i})}$

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ sum _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j}}

Staticitatea poate fi văzută:

Prin faptul că metrica nu depinde de coordonata t (ecuația Killing)
Prin faptul că nu există termeni în (ortogonalitate față de suprafețe) ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}$

Spațiu-timp staționar

Se spune că un spațiu-timp este staționar dacă admite un vector Killing de tip timp, fără ca acesta din urmă să aibă proprietatea de ortogonalitate față de suprafețe. În sistemul de coordonate precedent, valoarea asociată este mai generală:

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ sum _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j} + \ sum _ {i} N_ {i} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d} } t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}

Spațiu-timp axisimetric

Se spune că un spațiu-timp este aximetric dacă este staționar (are deci un vector Killing de tip timp , vezi mai sus) și are un alt vector Killing de tip spațial al cărui flux formează curbe închise și care face naveta cu precedentul: $\ xi$ $\ eta$

{\ displaystyle [\ xi, \ eta] = 0}

Kerr metric și Kerr-Newman metrice sunt cunoscute exemple de valori axisimetrice. Spus bivector , din motive evidente, Sacrificarea joacă un rol important în dovezile teoreme singularitate . ${\ displaystyle \ xi _ {[a} \ eta _ {b]}}$

Spațiu-timp la simetrie maximă

Se spune că un spațiu-timp este la simetrie maximă - sau simetrică maxim - dacă are un număr maxim de vectori de ucidere, și anume:, unde este numărul de dimensiuni ale spațiului-timp. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} n \ left (n + 1 \ right)}$ $nu$

Generalizări

O ecuație de tipul ecuației Killing poate fi generalizată la tensori de ordin superior . Se vorbește atunci, conform generalizării alese, de tensorul uciderii sau tensorul uciderii-Yano . În cadrul teoremelor asupra singularităților , introducem uneori conceptul de bivector Killing , format folosind doi vectori Killing.

Note și referințe

Note

Termenul de vector este un abuz al limbajului clasic în fizică, care asimilează cu ușurință element și set, vector și câmp de vectori .
Cantitatea conservată este factorul Lorentz γ, care este o constantă egală în limita nerelativistă cu suma energiei de masă și a energiei cinetice .
În cazul relativist, cantitatea conservată este poziția înmulțită cu factorul Lorentz , care în sine este o cantitate conservată deoarece este un vector Killing (vezi mai sus). $\ partial _ {t}$

Referințe

Alkseevskiĭ 1995 , p. 391, col. 2 .
Penrose 2007 , cap. 14 , § 14.7 , p. 312.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Killing (vector of), p. 411, col. 1 .
Hawkins 2000 , cap. 4 , § 4.5 , p. 128, nr. 20 .
Hawkins 2000 , p. 530.
Misner, Thorne și Wheeler 1973 , cap. 25 , § 25.2 , p. 650, n. istor. .
Misner, Thorne și Wheeler 1973 , p. 1238, col. 1 .
Uciderea 1892 , p. 167.
Peter și Uzan în 2012 , 2 e hand. , cap. 3 , sect. 3.6 , § 3.6.1 , p. 176.
Barrau și Grain 2016 , cap. 7 , sect. 7.1 , § 7.1.2 , p. 129.
Heyvaerts 2012 , cap. 10 , sect. 10.2 , § 10.2.1 , p. 142.
Carroll 2019 , cap. 3 , § 3.9 , p. 140.
Hawking și Ellis 1973 , cap. 2 , § 2.6 , p. 44.

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) Robert M. Wald , General Relativity , University of Chicago Press ,1984, 498 p. ( ISBN 0226870332 ), paginile 119, 120, 312 până la 324 și 441 până la 443.
(ro) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum și E. Herlt , Soluții exacte ale ecuațiilor de câmp ale lui Einstein , Cambridge, Cambridge University Press ,1980, 428 p. ( ISBN 0521230411 ), capitolul 6 (pag. 76 și 77), capitolul 8 (pag. 94 până la 97 și 99 până la 102) și capitolul 17 (pag. 192).
[Hawking și Ellis 1973] (ro) SW Hawking și GFR Ellis , The large scale structure of space-time ["The large-scale structure of space-time"], Cambridge, CUP , al. „ Cambridge Monogr. Matematica. Fizic. ",1973, 1 st ed. , 1 vol. , XI -391 p. , bolnav. , 15,1 × 22,7 cm ( ISBN 978-0-521-20016-5 și 978-0-521-09906-6 , EAN 9780521099066 , OCLC 299342801 , notificare BnF n o FRBNF37358308 , DOI 10.1017 / CBO9780511524646 , Bibcode 1973lsss .book .. ... H , SUDOC 004735110 , prezentare online , citiți online ).
[Hawkins 2000] (ro) Th. Hawkins , Apariția teoriei grupurilor Lie : un eseu în istoria matematicii,1869-1926 ["Apariția teoriei grupurilor Lie: un eseu în istoria matematicii, 1869-1926 »], New York, Springer , col. „ Surse de știfturi. Hist. Matematica. Fizic. Știință. ",Iul. 2000, 1 st ed. , 1 vol. , XIII -564 p. , bolnav. , 24 cm ( ISBN 0-387-98963-3 , EAN 9780387989631 , OCLC 468567740 , notificare BnF n o FRBNF37734028 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1202-7 , SUDOC 058886435 , prezentare online , citiți online ).
[Lachièze-Rey 2006] M. Lachièze-Rey , „Spațiul și observatorii în cosmologie” , în M. Lachièze-Rey ( dir. ), Spațiu fizic între matematică și filosofie , Les Ulis, EDP Sci. , col. „Gândirea cu științele”,Martie 2006, 1 st ed. , 1 vol. , 362 p. , bolnav. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-86883-821-6 , OCLC 469695981 , BnF notice n o FRBNF40034776 , SUDOC 103231013 , prezentare online ) , cap. 15 , p. 325-344.
[Misner, Thorne și Wheeler 1973] (ro) Ch. W. Misner , KS Thorne și JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 vol. , XXVI -1279 p. , bolnav. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 și 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , notificare BnF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , citiți online ).
[Penrose 2007] R. Penrose ( tradus din engleză de C. Laroche ), Descoperirea legilor universului: istoria uimitoare a matematicii și fizicii [„ Drumul către realitate: un ghid complet al legilor universului ”], Paris, O. Jacob , col. „Științe”,august 2007, 1 st ed. , 1 vol. , XXII -1061 p. , bolnav. și fig. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , notificare BnF n o b41131526q , SUDOC 118177311 , prezentare online , citiți online ).

Manuale de curs

[Barrau și Grain 2016] A. Barrau și J. Grain , Relativitate generală (cursuri și exerciții corectate), Malakoff, Dunod , col. "Științe Sup. ",august 2016, A 2 -a ed. ( 1 st ed. august 2011), 1 vol. , VIII -231 p. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , notificare BnF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , prezentare online , citiți online ).
[Carroll 2019] SM Carroll , Spațiu și geometrie : o introducere în relativitatea generală [„Spațiu-timp și geometrie: o introducere în relativitatea generală”], Cambridge, CUP , hors coll. ,august 2019, 3 e ed. ( 1 st ed. Septembrie 2003), 1 vol. , XIV -513 p. , bolnav. , 19,2 × 25,2 cm ( ISBN 978-1-108-48839-6 , EAN 9781108488396 , OCLC 1101387240 , notificare BnF n o FRBNF45756876 , DOI 10.1017 / 9781108770385 , SUDOC 237699117 , prezentare online , citiți online ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofizică: stele, univers și relativitate (cursuri și exerciții corectate), Paris, Dunod , col. "Științe Sup. ",August 2012, A 2 -a ed. ( 1 st ed. Septembrie 2006), 1 vol. , X -384 p. , bolnav. și fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , notificare BnF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , prezentare online , citiți online ).
[Peter și Uzan 2012] P. Peter și J.-Ph. Uzan ( pref. Of Th. Damour ), Cosmologie primordială , Paris, Belin , col. „Scări”,Februarie 2012, A 2 -a ed. ( 1 st ed. Septembrie 2005), 1 vol. , 816 p. , bolnav. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793482816 , notificare BnF n o FRBNF42616501 , SUDOC 158540697 , prezentare online , citiți online ).

Dicționare și enciclopedii

[Alkseevskiĭ 1995] (ro) DV Alkseevskiĭ , „ Killing vector ” , în M. Hazewinkel ( ed. ), Enciclopedia matematicii , t. III : Hea - mama , Dordrecht și Boston, Kluwer Academic ,1995, 1 st ed. , 1 vol. , 950 p. , bolnav. , 30 cm ( ISBN 1-556-08010-7 , EAN 9781556080104 , OCLC 36916612 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3793-3 , SUDOC 030252288 , prezentare online , citiți online ) , sv Killing vector ["vector of Killing ”], P. 391-392.
[Taillet, Villain și Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain și P. Febvre , Dicționar de fizică , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , cu excepția col. ,Ianuarie 2018, A 4- a ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 p. , bolnav. și fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , prezentare online , citit online ) , sv Killing (vector of), p. 411, col. 1.

Articol original

[Killing 1892] (de) W. Killing , „ Über die Grundlagen der Geometrie ” , J. queen angew. Matematica. , vol. 109,Dec. 1892, p. 121-186 ( Bibcode 1892JRAM..109 ..... K , citiți online ).

Articole similare